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§2.3不定积分：复积分的牛顿－莱布尼兹公式

和分别称为积分的上限和下限。当下限固定，而上限在区域D内变动时，积分可以看作是上限的单值函数，记为

对，有以下的定理：定理2.3.1如果在单连通域内处处解析，则在D内也解析，并且F(z)是f(z)的原函数。与实函数类似，路积分的值等于上式称为复积分的牛顿－莱布尼兹公式例2.3计算积分

【解】在整个复平面上解析，且运用复积分的牛顿－莱布尼兹公式有

例2.4计算积分因而积分与路径无关，可用分部积分法得【解】由于

在复平面内处处解析，

例2.5计算积分将l变形为以z0为圆心半径为R的圆C,R是相当任意的。l不包围z0l包围点z0n>=0n<0z0Rl在C上，有C的方程:n=-1l包围点z0其它情况l包围点z0§2.4柯西积分公式

一、单连通区域定理（柯西积分公式）如果在闭单通区域处处解析，l为闭区域内的任何一条正向简单闭曲线，为l内的任一点，那么

称为柯西积分公式，简称柯西公式。在连续，则对任意小的即

这就证明了证明对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了。如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等。例

求下列积分的值

【解】（1）注意到在复平面内解析，而-i在积分环路C内，由柯西积分公式得

（2）注意到函数在内解析，

而i在内，由柯西积分公式得二、有界复连通区域的柯西积分公式三、无界区域中的柯西积分公式

若f(z)在某一闭曲线L的外部解析，并且当

时，则对于L外部区域中的点有

这就是无界区域的柯西积分公式。

注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别：（1）有界区域中柯西积分公式中的是闭合曲线L内部的一点，而无界区域柯西积分公式中的为闭合曲线L外部的一点；（2）应用有界柯西积分公式的条件是在L内部解析，而无界区域柯西积分公式的条件是在L外部解析，且当时；（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进行，而无界区域的公式积分沿顺时针方向进行（两种情况下都是正方向，即为沿此方向环行时，所讨论的区域在左手边）。

说明例2.8

计算积分设L为

四、

解析函数的无限次可微性（高阶导数公式）

解析函数的导函数仍为解析函数，也就是说解析函数具有任意阶导数。请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在。

定理解析函数的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

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