chapt10.1 保角变换法求解定解问题

第十章其它解法

保角变换法数值计算方法

有限差分法有限元法时域有限差分法10.1保角变换法求解定解问题

复杂的边界形状下求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题。基本思想：

通过解析函数的变换或映射将z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为w平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题，而后一问题的解易于求得,再通过逆变换求得原始定解问题的解。1.z平面上两相互正交曲线变换到w平面上两曲线仍相互正交。2.可以把一个给定的、其场域几何特征比较复杂的两维场问题变换为另一个场域几何特征比较简单的两维场问题。3.解析函数的保角性（）泊松方程亥姆霍玆方程解析函数的保角性（）方程类型不变；当

时，交角不变；满足拉普拉斯方程的物理量不变（如无源区的电势）；总电量不变；电容/电导不变。保角变换的几个不变求解步骤：1.通过解析函数的映射将z平面上的边值问题变换为w平面上的边值问题（通常是上半平面或带形域）；

2.在w平面上求解定解问题；3.再通过逆变换得到原始定解问题的解。

一、平移变换将z平面上的图形整体平移一个矢量a。二、线性变换

解析函数令故三、对数变换思考:(1)z平面上的圆周变换到w平面是什么曲线？(2)z平面上的原点出发的射线变换到w平面是什么曲线？特点:(1)z平面的圆周变换到w平面上线段(2)z平面的射线变换到w平面上直线z平面

w平面lnr0θ0z平面(3)z平面的圆环域变换到w平面的带形域

(4)z平面的以原点为顶点的角形域变换为w平面上平行于u轴的带形域；r2

w平面lnr1θ0lnr2思考：对数变换可以用于解决什么形状边界的二维场问题？θ0

例10.1试求平面静电场的电势分布，其中例题

在w平面上求定解问题，假设

运用边界条件有对w平面上的解作反变换求得原定解问题的解由

分离变量法

因此观察边界条件特征分离变量法

因此有扩展

解：运用保角变换法，选择对数函数变换。例10.2一无限长电容器的横截面结构如图所示，极板间填充的是空气(介电常数为ε0)。用保角变换法求该电容器沿轴向单位长度的电容。z平面R2

w平面lnR1lnR2R1在w平面上的计算单位长电容

w平面lnR1lnR2扩展：z

planeR2R1wplanelnR1lnR2例10.3两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径分别为R1、R2，电势分别为、。求导体间任一点的电势（假设R1和R2差值很小）。解：用保角变换法，采用对数函数变换来进行计算。z平面R2

w平面lnR1lnR2将z平面上的圆变成w平面上的直线区域，其宽度为，忽略边缘效应代换回去，有

w平面lnR1lnR2四.幂函数变换令则有解析函数思考:(1)z平面上的圆周变换到w平面是什么曲线？(2)z平面上的原点出发的射线变换到w平面是什么曲线？特点:(1)z平面的圆周变换到w平面上的圆周(2)z平面的射线变换到w平面的射线(3)z平面的单位圆变换到w平面的单位圆，正实轴变换到w平面的正实轴(4)z平面的圆环域变换到w平面的圆环域；(5)z平面的以原点为顶点的角形域变换为

以原点为顶点的角形域；思考：哪个特点具有实用价值？例10.4设z平面上有半径为2，

且在内的扇形域，请问经过映射后扇形域变成了什么图形。例10.5一个非常大的金属导体，挖去一个二面角，大小为45。，让导体充电到电势为V0，求二面角内电势和电场分布。

在w平面上求定解问题反变换求得原定解的解五.Schwarz-Chrictoffel变换平板电容器带状微波传输线电机空槽中的磁场等等带状线上式对应的变换即Schwarz-Chrictoffel变换。z-planew-plane五.Schwarz-Chrictoffel变换例9.6求角形域到上半平面的变换函数i1002∞∞因为，z=0对应w=0，可以得到B=0若要求w=1对应z=1,则A=1/4,即i1002∞∞例