2027届山东省青岛市42中学数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

2027届山东省青岛市42中学数学九上期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．过反比例函数图象上一点作两坐标轴的垂线段，则它们与两坐标轴围成的四边形面积为（）A．－6 B．－3 C．3 D．62．已知，，那么ab的值为（）A． B． C． D．3．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图1．则旋转的牌是（）A． B． C． D．4．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，点在上的对应点的的坐标为()A． B． C． D．6．对于题目“如图，在中，是边上一动点，于点，点在点的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，求阴影部分面积的大小变化的情况"甲的结果是先增大后减小，乙的结果是先减小后增大，其中（）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确C．甲、乙的结果都不正确，应是一直增大 D．甲、乙的结果都不正确，应是一直减小7．下列哪个方程是一元二次方程（）A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣38．在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=2∠A，则cosB等于（）A． B． C． D．9．下列函数是二次函数的是().A．y＝2x B．y=+xC．y＝x+5 D．y＝(x+1)(x﹣3)10．如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题3分,共24分)11．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m，再从盒子中摸出一个小球，设该小球上的数字为n，点P的坐标为，则点P落在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是________.12．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．13．若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____．14．如图，将含有45°角的直角三角板ABC（∠C=90°）绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，连接BB′，已知AC=2，则阴影部分面积为_____．15．已知在反比例函数图象的任一分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是______．16．如图，的顶点均在上，，则的半径为_________．17．如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm.18．已知，则_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．（1）求该函数的解析式；（2）连结AB、AC，求△ABC面积．20．（6分）如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC＝1米，CD＝6米，求电视塔的高ED．21．（6分）在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园，要求把位于图中点处的一颗景观树圈在花园内，且景观树与篱笆的距离不小2米．已知点到墙体、的距离分别是8米、16米，如果、所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积的最大值．22．（8分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别，其中红球有个，若从中随机摸出一个，这个球是白球的概率为．（1）求袋子中白球的个数；（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，请结合树状图或列表求两次都摸到相同颜色的小球的概率．23．（8分）如图，点在上，，交于点，点为射线上一动点，平分，连接．（1）求证：；（2）连接，若，则当_______时，四边形是矩形．24．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线交于另一点，作轴于点，轴于点，连接．（1）求的值；（2）若，求直线的解析式；（3）若，其它条件不变，直接写出与的位置关系．25．（10分）如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形(顶点是格点的三角形)(1)若每个小矩形的较短边长为1，则BC=；(2)①在图1、图2中分别画一个格点三角形(顶点是格点的三角形)，使它们都与△ABC相似(但不全等)，且图1，2中所画三角形也不全等)．②在图3中只用直尺(没有刻度)画出△ABC的重心M．(保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M)26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_____________；(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；(4)若点是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为即为比例系数k的绝对值，即可得出答案．【详解】设B点坐标为（x，y），由函数解析式可知，xy＝k＝－6，则可知S矩形ABCO＝|xy|＝|k|＝6，故选：D．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是理解图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．2、C【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案.【详解】解：∵，，∴；故选择：C.本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算.3、A【解析】解：观察发现，只有是中心对称图形，∴旋转的牌是．故选A．4、A【分析】把x=1代入方程，然后解一元一次方程即可．【详解】把x=1代入方程得：1+m=0，解得：m=﹣1．故选A．本题考查了一元二次方程的解．掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．5、A【解析】根据位似的性质解答即可.【详解】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A．此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案．6、B【分析】设PD=x，AB边上的高为h，求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】解：在中，∵，∴，设，边上的高为，则.∵，∴，∴，∴，∴，∴当时，的值随的增大而减小，当时，的值随的增大而增大，∴乙的结果正确.故选B.本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．7、D【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．【详解】A.2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；B.x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；C.x2＋＝3是分式方程，故不正确；D.x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；故选：D8、B【详解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=90°，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=故选B本题考查三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．9、D【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：A、y＝2x，是一次函数，故此选项错误；B、y＝+x，不是整式，故此选项错误；C、y＝x+5，是一次函数，故此选项错误；D、y＝(x+1)(x﹣3)，是二次函数，故此选项正确．故选D．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握函数的定义是解题关键．10、D【解析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，所以∠ANM=∠AEB，则可求得②正确；根据三角形的外角的性质得到①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE＝AN，再根据相似三角形的性质得到EF＝MN，于是得到S△AEF=2S△AMN．故④正确．【详解】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF∵∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠EAF＝45°在△AEF和△AEH中∴△AEF≌△AEH（SAS）∴EH＝EF∴∠AEB＝∠AEF∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故②正确∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH∴∠ANM＝∠AEB∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；故③正确，∵AC⊥BD∴∠AOM＝∠ADF＝90°∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO∴△OAM∽△DAF故①正确连接NE，∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME∴△AMN∽△BME∴∴∵∠AMB＝∠EMN∴△AMB∽△NME∴∠AEN＝∠ABD＝45°∵∠EAN＝45°∴∠NAE＝NEA＝45°∴△AEN是等腰直角三角形∴AE＝∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME∴△AMN∽△AFE∴∴∴∴S△AFE＝2S△AMN故④正确故选D．此题考查相似三角形全等三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定定理是解决此类题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】采用画树状图法写出的所有可能出现的结果，画出函数图像，并描出在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）点，再用符合题意的点的个数除以总个数，即可求出答案．【详解】如图，由树状图可知共有20种等可能结果，由坐标系可知，在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的点有（0，0）、（1，3），（2，0）、（3，3），（3，0），（4，0），共6种结果，∴点在抛物线上的概率是=，故答案为：．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．12、【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝lr＝×12π×10＝60π米2，故答案为60π．本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝lr是解题的关键．13、﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，解得，a＝﹣1．故答案为﹣1．本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．14、1【分析】在Rt△ABC中，可求出AB的长度，再根据含30°的直角三角形的性质得到AB边上的高，最后由S阴影＝S△ABB′结合三角形的面积公式即可得出结论．【详解】过B′作B′D⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，AC＝1，∴AB′＝AB＝AC＝，又∵∠ADB′=90°，∠BAB′=30°，∴B′D＝AB′＝，∴S阴影＝S△ABC＋S△ABB′−S△AB′C′＝S△ABB′＝××＝1，故答案为：1．本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及含30°的直角三角形性质，解题的关键是得出S阴影＝S△ABB′．15、【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．【详解】解：由题意可知：，

∴，故答案为：．本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．16、1【分析】连接AO,BO，根据圆周角的性质得到,利用等边三角形的性质即可求解．【详解】连接AO,BO，∵∴又AO=BO∴△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB=1即的半径为1故答案为1．此题主要考查圆的半径，解题的关键是熟知圆周角的性质．17、5【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．【详解】连接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴AC=4，∵OC=3，∴OA=故答案为：5.此题考查勾股定理、垂径定理及其推论，解题关键在于连接OA作为辅助线.18、【分析】由已知可得x、y的关系，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵，∴，∴.故答案为：.本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键.三、解答题(共66分)19、（1）；（2）.【分析】（1）设该二次函数的解析式为，因为顶点（2，-1），可以求出h,k,将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式.（2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图像与x轴的两个交点为B,C两点，然后利用面积公式,即可求出三角形ABC的面积.【详解】（1）设该二次函数的解析式为∵顶点为（2，）∴又∵图象经过A（0，3）∴即∴该抛物线的解析式为（2）当时，，解得，∴C（3，0）B（1，0）得∴.熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积公式是本题的解题关键.20、电视塔的高度为12米．【分析】作AH⊥ED交FC于点G，交ED于H；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．【详解】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．由题意可得：△AFG∽△AEH，AG=BC=1米，GH=CD=6米，HD=CG=AB=1.1米，∴AH=AG+GH=7米，FG=FC－CG=1.1米∴＝即＝，解得：EH＝10.1．∴ED＝EH+HD=10.1+1.1＝12（米）．∴电视塔的高度为12米．此题考查的是相似三角形的应用，掌握构造相似三角形的方法和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．21、216米2【分析】设AB=x米，可知BC=（30-x）米，根据点到墙体、的距离分别是8米、16米，求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式得出关于x的函数关系式即可得出结论．【详解】解：设矩形花园的宽为米，则长为米由题意知，解得即显然，时的值随的增大而增大所以，当时，面积取最大值答：符合要求的矩形花园面积的最大值是216米2此题主要考查二次函数的应用，关键是正确理解题意，列出S与x的函数关系式解题的关键．22、（1）袋子中白球有4个；（2）【分析】（1）设白球有

x

个，利用概率公式得方程，解方程即可求解；（2）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次摸到颜色相同的小球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）设袋中白球有x个，由题意得：，解之，得：，经检验，是原方程的解，故袋子中白球有4个；（2）设红球为A、B，白球为，列举出两次摸出小球的所有可能情况有：共有30种等可能的结果，其中，两次摸到相同颜色的小球有14种，故两次摸到相同颜色的小球的概率为：．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．23、（1）见详解；（2）1【分析】(1)先证，再证，可得，即可得出结论；

(2)根据矩形的性质可得∠BCA=90°，再证△ABC≌△ADC，即可解决问题.【详解】(1)证明：∵平分∴∵∴∵∴∴∴(2)当1时，四边形是矩形．当四边形是矩形,∴∠BCA=90°,

又∵平分，

∴∠BAC=∠DAC∴△ABC≌△ADC，

∴BC=DC又∵

∴DC=1

故答案为1．本题考查矩形判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24、(1)；

(2)；(3)

BC∥AD．【分析】（1）将点A（-4,1）代入，求的值；（2）作辅助线如下图，根据和CH=AE，点D的纵坐标，代入方程求出点D的坐标，假设直线的解析式，代入A、D两点即可；（3）代入B（0,1），C（2,0）求出直线BC的解析式，再与直线AB的解析式作比较，得证BC∥AD．【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点A（-4,1），∴（2）

如图，∵

∴∴DH=3∵CH=AE=1∴CD=2∴点D的纵坐标为﹣2，把代入得：∴点D的坐标是（2，﹣2）设：，则∴∴直线AD的解析式是：（3）

由题（2）得B（0,1），C（2,0）设：，则解得∴∵∴BC∥AD本题考查了反比例函数的应用以及两直线平行的判定，掌握反比例函数的性质以及两直线平行的判定定理是解题的关键．25、(1)；(2)①见解析；②见解析【分析】（1）根据勾股定理，计算BC即可；（2）①根据图形，令∠B′A′C′=∠BAC，且使得△A′B′C′与△ABC相似比为作出图（1）即可；令∠B″A″C″=∠BAC，△A″B″C″与△ABC相似比为2作