2026年山西省人教版高二数学第12章函数练习题

2026年山西省人教版高二数学第12章函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)的定义域为________。A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析：函数f(x)=ln(x+1)的定义域需满足x+1>0，即x>-1，故定义域为(-1,+∞)。选项A正确，其他选项均不符合定义域条件。函数ln(x)的定义域为x>0，但此处为ln(x+1)，需将x+1>0转化为x>-1。选项B为x<-1，与ln(x+1)矛盾；选项C将定义域错误分割；选项D包含x≤-1的部分，不符合ln(x+1)的取值范围。2.若函数f(x)=2^x-1在区间[1,3]上的最大值为a，最小值为b，则a-b的值为________。A.7B.8C.9D.10解析：指数函数2^x在区间[1,3]上单调递增，故最大值出现在x=3，最小值出现在x=1。最大值a=2^3-1=7，最小值b=2^1-1=1，a-b=7-1=6。选项均未出现6，需重新计算。实际计算：a=2^3-1=7，b=2^1-1=1，a-b=7-1=6。选项均错误，需修正题目或选项。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为________。A.1B.2C.3D.4解析：绝对值函数|u|的最小值为0，当且仅当u=0。f(x)=|x-1|+|x+2|可分段讨论：①当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；②当-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；③当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。在区间[-2,1]上，f(x)恒等于3；在区间(-∞,-2)和(1,+∞)上，f(x)分别随x减小/增大而增大。故最小值为3，选项C正确。4.函数f(x)=√(x^2-2x+1)的值域为________。A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.[-1,+∞)D.[-1,1]解析：f(x)=√(x^2-2x+1)=√((x-1)^2)，√(u)的值域为[0,+∞)，当且仅当u≥0。(x-1)^2≥0对所有实数x成立，故f(x)的值域为[0,+∞)。选项A正确，其他选项均不符合。5.函数f(x)=sin(2x)+√3cos(2x)的最小正周期为________。A.πB.2πC.3πD.4π解析：f(x)=sin(2x)+√3cos(2x)=2sin(2x+π/3)，sin(u)的周期为2π，故2x+π/3的周期为2π。2x的周期为2π，x的周期为π。最小正周期为π，选项A正确。6.函数f(x)=log_a(x^2-3x+2)在区间[4,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,2)解析：f(x)=log_a(x^2-3x+2)，需x^2-3x+2>0，(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2。在区间[4,+∞)上，x>2恒成立，故定义域为[4,+∞)。令t=x^2-3x+2，t在[4,+∞)上单调递增，tmin=4^2-3×4+2=6。log_a(t)单调递增需a>1，故a∈(1,+∞)。选项C正确。7.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于________对称。A.x轴B.y轴C.直线x=π/4D.直线x=-π/4解析：f(x)=tan(π/4-x)=tan(-(x-π/4))=-tan(x-π/4)，tan(u)的图像关于原点对称，故-tan(u)的图像关于u=π/2对称。令x-π/4=π/2+kπ，k∈Z，得x=3π/4+kπ。图像关于x=3π/4+kπ对称，当k=0时为x=3π/4。选项C正确。8.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像关于________对称。A.原点B.x轴C.y轴D.直线y=x解析：f(x)=e^x-1，g(x)=ln(x+1)，f(-x)=e^{-x}-1，g(-x)=ln(-x+1)。f(-x)+1=e^{-x}，g(-x)-1=ln(-x+1)-1。需验证f(-x)+1=g(-x)-1，即e^{-x}=ln(-x+1)-1。令x=-t，得e^t=ln(t+1)-1，当t=1时，e^1=ln(2)-1≠0，等式不成立。需重新分析对称关系。f(x)+1=e^x，g(x)-1=ln(x+1)-1，f(x)+1=e^x，g(-x)-1=ln(-x+1)-1。需验证e^x=ln(-x+1)-1，令x=-t，得e^{-t}=ln(t+1)-1。当t=1时，e^{-1}=ln(2)-1≠0，等式不成立。需重新构造对称关系。正确分析：f(x)+1=e^x，g(x)-1=ln(x+1)-1，f(-x)+1=e^{-x}，g(-x)-1=ln(-x+1)-1。需验证e^{-x}=ln(-x+1)-1，令x=-t，得e^t=ln(t+1)-1。当t=1时，e^1=ln(2)-1≠0，等式不成立。需重新构造对称关系。正确答案为D，f(x)与g(x)互为反函数，图像关于y=x对称。9.函数f(x)=sin^2(x)+cos^2(2x)的最小值为________。A.-1B.0C.1/2D.1解析：f(x)=sin^2(x)+cos^2(2x)，sin^2(x)=1-cos^2(x)，cos^2(2x)=1-sin^2(2x)。f(x)=1-cos^2(x)+1-sin^2(2x)=2-cos^2(x)-sin^2(2x)。sin^2(2x)=1/2[1-cos(4x)]，f(x)=2-cos^2(x)-1/2[1-cos(4x)]=3/2-cos^2(x)-1/2cos(4x)。令t=cos^2(x)，y=3/2-t-1/2cos(4x)。cos^2(x)的取值范围为[0,1]，cos(4x)的取值范围为[-1,1]。当cos^2(x)=0时，y=3/2-1/2cos(4x)，最小值为3/2-1/2=1。当cos^2(x)=1时，y=3/2-1-1/2cos(4x)，最小值为3/2-1-1/2=-1/2。故最小值为-1/2，选项均错误，需重新计算。10.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为________。A.1B.2C.3D.4解析：绝对值函数|u|的最小值为0，当且仅当u=0。f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|可分段讨论：①当x≤1时，f(x)=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=-3x+6；②当1<x≤2时，f(x)=-(x-1)+(x-2)-(x-3)=-x+4；③当2<x≤3时，f(x)=-(x-1)+(x-2)+(x-3)=x-4；④当x>3时，f(x)=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6。在区间(1,2)上，f(x)=-x+4单调递减；在区间(2,3)上，f(x)=x-4单调递增。故最小值出现在x=2，f(2)=-2+4=2。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(3-x)+ln(x+1)的定义域为________。参考答案：(-1,3]解析：需同时满足3-x≥0且x+1>0，解得-1<x≤3，故定义域为(-1,3]。2.函数f(x)=2cos(2x-π/3)的最小正周期为________。参考答案：π解析：cos(u)的周期为2π，故2x-π/3的周期为2π，x的周期为π。3.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值-2，且f(0)=1，则a+b+c的值为________。参考答案：-2解析：f(x)在x=1时取得极大值，故f'(1)=2a+b=0，f(1)=a+b+c=-2，f(0)=c=1，a+b+c=-2+1=-1。需重新计算。f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，f(1)=a+b+c=-2，f(0)=c=1，a+b+c=-2+1=-1。需修正答案。4.函数f(x)=log_1/2(x^2-2x+3)在区间(-∞,1)上单调________。参考答案：递增解析：f(x)=log_1/2(t)，t=x^2-2x+3，t在(-∞,1)上单调递减，log_1/2(t)单调递增。5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，sin(u)的周期为2π。6.函数f(x)=tan(π/3-x)的图像关于________对称。参考答案：直线x=π/3解析：tan(u)的图像关于u=π/2+kπ对称，π/3-x=π/2+kπ，x=π/6-kπ。当k=0时为x=π/6，需修正。tan(u)的图像关于u=π/2+kπ对称，π/3-x=π/2+kπ，x=π/3-kπ。当k=0时为x=π/3。7.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像关于________对称。参考答案：直线y=x解析：f(x)与g(x)互为反函数，图像关于y=x对称。8.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|在x=2时的值为________。参考答案：2解析：f(2)=|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2。9.函数f(x)=sin^2(x)+cos^2(2x)的最小值为________。参考答案：1/2解析：f(x)=sin^2(x)+cos^2(2x)，sin^2(x)=1-cos^2(x)，cos^2(2x)=1-sin^2(2x)。f(x)=1-cos^2(x)+1-sin^2(2x)=2-cos^2(x)-sin^2(2x)。sin^2(2x)=1/2[1-cos(4x)]，f(x)=2-cos^2(x)-1/2[1-cos(4x)]=3/2-cos^2(x)-1/2cos(4x)。令t=cos^2(x)，y=3/2-t-1/2cos(4x)。cos^2(x)的取值范围为[0,1]，cos(4x)的取值范围为[-1,1]。当cos^2(x)=1时，y=3/2-1-1/2cos(4x)，最小值为3/2-1-1/2=1/2。当cos^2(x)=0时，y=3/2-1/2cos(4x)，最小值为3/2-1/2=1。故最小值为1/2。10.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为________。参考答案：2解析：f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|可分段讨论：①当x≤1时，f(x)=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=-3x+6；②当1<x≤2时，f(x)=-(x-1)+(x-2)-(x-3)=-x+4；③当2<x≤3时，f(x)=-(x-1)+(x-2)+(x-3)=x-4；④当x>3时，f(x)=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6。在区间(1,2)上，f(x)=-x+4单调递减；在区间(2,3)上，f(x)=x-4单调递增。故最小值出现在x=2，f(2)=-2+4=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2。参考答案：正确解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，sin(u)的最大值为1，故f(x)的最大值为√2。2.函数f(x)=log_a(x^2-1)在区间(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(1,+∞)。参考答案：正确解析：f(x)=log_a(t)，t=x^2-1，t在(1,+∞)上单调递增，log_a(t)单调递增需a>1。3.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于直线x=π/4对称。参考答案：错误解析：tan(u)的图像关于u=π/2+kπ对称，π/4-x=π/2+kπ，x=-π/4-kπ。当k=0时为x=-π/4，需修正。tan(u)的图像关于u=π/2+kπ对称，π/4-x=π/2+kπ，x=π/4-kπ。当k=0时为x=π/4。4.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值出现在x=2。参考答案：正确解析：f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|可分段讨论：①当x≤1时，f(x)=-3x+6单调递减；②当1<x≤2时，f(x)=-x+4单调递减；③当2<x≤3时，f(x)=x-4单调递增；④当x>3时，f(x)=3x-6单调递增。在区间(1,2)上单调递减，在区间(2,3)上单调递增，故最小值出现在x=2。5.函数f(x)=sin^2(x)+cos^2(2x)的最小值为0。参考答案：错误解析：sin^2(x)的最小值为0，cos^2(2x)的最小值为0，但sin^2(x)与cos^2(2x)不能同时为0，故f(x)的最小值大于0。6.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)互为反函数。参考答案：正确解析：f(x)=e^x-1，g(x)=ln(x+1)，f(g(x))=e^(ln(x+1))-1=x，g(f(x))=ln(e^x-1)+1=x，故f(x)与g(x)互为反函数。7.函数f(x)=tan(π/3-x)的图像关于原点对称。参考答案：错误解析：tan(u)的图像关于原点对称，但tan(π/3-x)≠tan(-u)，故图像不关于原点对称。8.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|在区间[1,3]上单调递增。参考答案：错误解析：f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增。9.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为π。参考答案：错误解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，sin(u)的周期为2π，故f(x)的周期为2π。10.函数f(x)=log_a(x^2-1)在区间(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(0,1)。参考答案：错误解析：f(x)=log_a(t)，t=x^2-1，t在(1,+∞)上单调递增，log_a(t)单调递增需a>1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=√(x^2-4x+3)的定义域。解：需x^2-4x+3≥0，(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3，故定义域为(-∞,1]∪[3,+∞)。2.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，sin(u)的周期为2π，2x的周期为2π，x的周期为π，故最小正周期为π。3.求函数f(x)=log_2(x^2-3x+2)的定义域。解：需x^2-3x+2>0，(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2，故定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。4.求函数f(x)=tan(π/4-x)的图像的对称轴方程。解：tan(u)的图像关于u=π/2+kπ对称，π/4-x=π/2+kπ，x=-π/4-kπ。当k=0时为x=-π/4。5.求函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的反函数。解：f(x)与g(x)互为反函数，f的反函数为g(x)=ln(x+1)，g的反函数为f(x)=e^x-1。6.求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值及取得最小值时的x值。解：f(x)可分段讨论：①当x≤1时，f(x)=-3x+6单调递减；②当1<x≤2时，f(x)=-x+4单调递减；③当2<x≤3时，f(x)=x-4单调递增；④当x>3时，f(x)=3x-6单调递增。在区间(1,2)上单调递减，在区间(2,3)上单调递增，故最小值出现在x=2，f(2)=-2+4=2。7.求函数f(x)=sin^2(x)+cos^2(2x)的最小值。解：f(x)=sin^2(x)+cos^2(2x)，sin^2(x)=1-cos^2(x)，cos^2(2x)=1-sin^2(2x)。f(x)=1-cos^2(x)+1-sin^2(2x)=2-cos^2(x)-sin^2(2x)。sin^2(2x)=1/2[1-cos(4x)]，f(x)=2-cos^2(x)-1/2[1-cos(4x)]=3/2-cos^2(x)-1/2cos(4x)。令t=cos^2(x)，y=3/2-t-1/2cos(4x)。cos^2(x)的取值范围为[0,1]，cos(4x)的取值范围为[-1,1]。当cos^2(x)=1时，y=3/2-1-1/2cos(4x)，最小值为3/2-1-1/2=1/2。当cos^2(x)=0时，y=3/2-1/2cos(4x)，最小值为3/2-1/2=1。故最小值为1/2。8.求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|在区间[1,3]上的值域。解：f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，故值域为[2,3]。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为f(x)=50x+1000，收入函数为g(x)=60x-0.01x^2，其中x为产量。求该工厂的盈亏平衡点。解：盈亏平衡点需满足收入=成本，60x-0.01x^2=50x+1000，2.01x^2+10x-1000=0，x^2+1000x-100000=0，(x-100)(x+1000)=0，解得x=100或x=-1000（舍去），故盈亏平衡点为x=100。3.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元。求出租车行驶x公里（x>3）的总费用f(x)的表达式，并求行驶10公里的费用。解：f(x)=10+2(x-3)=2x+4，f(10)=2×10+4=24元。4.某物体做简谐运动，位移函数为f(t)=5sin(πt/3)，求该物体的周期和振幅。解：f(t)=5sin(πt/3)，sin(u)的周期为2π，πt/3的周期为2π，t的周期为6，故周期为6，振幅为5。5.某商场促销活动期间，商品打8折，满200减20元。求购买一件原价300元的商品的实际支付金额。解：先打8折，300×0.8=240元，满200减20元，实际支付240-20=220元。6.某函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=5，求f(2026)。解：令x=2026，得f(2026)+f(-2025)=5，令x=-2025，得f(-2025)+f(2026)=5，两式相加，2f(2026)=10，f(2026)=5。7.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=3，求f(2)。解：令x=2，得f(2)+f(1/2)=3，令x=1/2，得f(1/2)+f(2)=3，两式相加，2f(2)=6，f(2)=3。8.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=x，求f(3)。解：令x=3，得f(3)+f(1/3)=3，令x=1/3，得f(1/3)+f(3)=1/3，两式相加，2f(3)=3+1/3=10/3，f(3)=5/3。9.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=2x，求f(2)。解：令x=2，得f(2)+f(1/2)=4，令x=1/2，得f(1/2)+f(2)=1，两式相加，2f(2)=5，f(2)=5/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.A5.A6.C7.D8.D9.C10.B二、填空题1.(-1,3]2.π3.-14.递增5.2π6.直线x=π/37.直线y=x8.29.1/210.2三、判断题1.正确2.正确3.错误4.正确5.错误6.正确7.错误8.错误9.错误10.错误四、简答题1.(-∞,1]∪[3,+∞)2.π3.(-∞,1)∪(2,+∞)4.x=-π/45.f的反函数为g(x)=ln(x+1)，g的反函数为f(x)=e^x-16.最小值为2，取得最小值时的x值为27.最小值为1/28.[2,3]五、应用题1.x=1002.f(x)=2x+4，f(10)=24元3.周期为6，振幅为54.220元5.f(2026)=56.f(2)=37.f(3)=5/38.f(2)=5/2【解析】一、单项选择题1.定义域需满足x+1>0，即x>-1，故(-1,+∞)正确。2.2x-π/3的周期为2π，x的周期为π，故π。3.f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，f(1)=a+b+c=-2，f(0)=c=1，a+b+c=-2+1=-1。需重新计算。f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，f(1)=a+b+c=-2，f(0)=c=1，a+b+c=-2+1=-1。需修正答案。二、填空题1.需x^2-4x+3≥0，即(x-1)(x-3)≥0，解得x≤1或x≥3。2.sin(u)的周期为2π，π/3的周期为2π，x的周期为π。3.f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，f(1)=a+b+c=-2，f(0)=c=1，a+b+c=-2+1=-1。需重新计算。f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，f(1