2026-2027学年浙江省A9协作体高三（上）暑假返校学情诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年浙江省A9协作体高三（上）暑假返校学情诊断数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B=(

)A.{3} B.{3,4} C.{1,2,3,4,5,6} D.⌀2.已知i是虚数单位，则复数1i=(

)A.i B.−i C.1 D.−13.向量a=(−1,2)，b=(λ,4)，若a⊥b，则A.2 B.−2 C.8 D.−84.在160和−5之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为(

)A.−12 B.12 C.−25.设x，y∈R+，若lgx与lgy互为相反数，则(

)A.xy=1 B.xy=1 C.x+y=0 6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)，若将军从点A(1,−1)处出发，河岸线所在直线方程为x−y=0.则“将军饮马”的最短总路程为(

)A.17 B.13 C.5 7.sin40°(tan10°−3)的值为A.1 B.2 C.−2 D.−18.已知三个数a，b，c，a=ln10，b=10，c=log2A.a<c<b B.b<a<c C.a<b<c D.c<a<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.7个样本数据：5，6，3，1，9，6，12，则下列说法正确的是(

)A.极差是10 B.平均数是6 C.众数是6 D.中位数是610.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，其焦点F到准线的距离为2，且B为C上的动点，则(

)A.C的方程为：y=4x2

B.已知点A(2,3)，则|BA|+|BF|的最小值为4

C.直线y=kx+1被抛物线截得的弦长最小值为4

D.若抛物线准线与y轴交于点N，设BN斜率为k，则|k|11.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，E、F分别为AB、BD1中点，点MA.Γ是矩形

B.Γ所围图形的面积为52

C.点B与Γ所围成的空间几何体的体积是34

D.点H∈线段BB1，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(x+1)6展开式中第4项系数是

.(用数字作答13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=−12，S914.过椭圆x29+y24=1上一点P作椭圆的切线分别交x、y轴于点A、B，|PA|=2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，点D在边BC上，且满足BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°．

(1)求边AC的长；

(2)若点P是BC中点，求cos∠APC．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax2(a∈R)．

(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a的值和切线方程；

(2)若f(x)在(0,+∞)17.(本小题15分)

如图，矩形ABCD中，AB=33，AD=3.将△BCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C′−ABD，C′在底面上的投影O在AB上．

(1)证明：AD⊥BC′；

(2)证明：平面DBC′⊥平面ADC′；

(3)求AB与平面BC′D所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，且左右焦点分别为F1，F2，点F2到渐近线的距离为22．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点F2的直线l与C的左右两支交于A、B两点．

(i)若直线l的斜率为−119.(本小题17分)

甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为p(0<p<1)，乙胜概率为q，且p+q=1.比赛进行到有1人连胜两局时结束.记X为比赛的局数，P(X=k)(k∈N∗)表示比赛进行k局结束的概率．

(1)若p=23，求P(X=2)，P(X=3)；

(2)求P(X=2k)，P(X=2k+1)(结果用p，q表示)；

(3)E(X)表示X的期望．

(i)求E(X)(结果用p，q表示)；

(ii)证明：E(X)≤3．

(参考公式：无穷等比数列{an}，公比为q，若1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】20

13.【答案】3

14.【答案】3

15.【答案】解：(1)作出△ABC，如图所示，∠BAD=∠ADC−∠B=150°−60°=90°，

在Rt△ABD中，BD=2，∠B=60°，所以AD=BDsin60°=3，

在△ADC中，由余弦定理可得AC2=AD2+DC2−2⋅AD⋅DC⋅cos150°

=3+1−2×3×1×(−32)=7，所以AC=7．

(2)由(1)得AB=BDcos60°=1，

16.【答案】解：(1)因为f(x)=ex−ax2，所以f′(x)=ex−2ax，

则f′(1)=e−2a，而曲线f(x)的切线与x轴平行，可得f′(1)=e−2a=0，

解得a=e2，此时得到f(x)=ex−e2x2，f(1)=e2，故切线方程为y=e2．

(2)因为f(x)在(0,+∞)上有2个零点，

所以ex−ax2=0在(0,+∞)上有2个解，得到a=exx2在(0,+∞)上有2个解，

即y=a与g(x)=exx2在(0,+∞)上有2个交点，

而g′(x)=ex(x−2)x17.【答案】解：(1)证明：如图，作BG⊥面ABD，以B为原点建立空间直角坐标系，

由题意得B(0,0,0)，A(0,33,0)，D(3,33,0)，

设O(0,t,0)，C′(0,t,h)，

由折叠性质得BC′=BC=3，C′D=CD=33，

由两点间距离公式得t2+h2=332+(33−t)2+h2=33，

解得t=3,h=6，

则O(0,3,0)，C′(0,3,6)，

可得AD=(3,0,0),AF=(2,−3,1),PC=(3,0,−3)，BC′=(0,3,6)，

得到AD⋅BC′=0，故AD⊥BC′得证；

(2)证明：由题意得B(0,0,0)，D(3,33,0)，C′(0,3,6)，A(0,33,0)，

则BD=(3,33,0)，BC′=(0,3,6)，18.【答案】解：(1)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，

则ca=1+(ba)2=3，所以ba=22，即b=22a，

设双曲线C的右焦点为F2(c,0)，根据双曲线对称性不妨取渐近线方程为22x−y=0，

根据点到直线的距离公式可得点F2(c,0)到其距离为：

d=|22c|(22)2+(−1)2=22，解得c=3，

因为c2=a2+b2，把b=22a代入，得9=8a2+a2，

解得a2=1，b2=8，

故双曲线C的标准方程为x2−y28=1；

(2)过点F2的直线l与C的左右两支交于A、B两点；

(i)由(1)知F2(3,0)，因为直线l的斜率为−1，所以直线l的方程为y=−x+3，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=−x+3x2−y28=1，消去y并化简得7x2+6x−17=0，

19.【答案】解：(1)若p=23，则q=13．

X=3表示第

3

局结束，说明前两局胜负交替，第

2、3

局同一个人连胜．，比赛序列：甲乙甲、乙甲乙，

P(X=3)=p2q+pq2=pq(p+q)=pq=23×13=29；

X=2表示前两局连胜结束：甲连胜

2

局，或乙连胜

2

局．

P(X=2)=p2+q2=(23)2+(13)2=59；

(2)X=2k(偶数局结束)：前2k−1局必须交替胜负，不能出现连续两局胜，

最后第2k−1，2k局为同一人连胜．交替胜负序列共

2

种：