2026-2027学年浙江省余姚市第四高级中学高三（上）返校学情诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年浙江省余姚市第四高级中学高三（上）返校学情诊断数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设A={1,2,3A.{3} B.{3,4}2.已知i是虚数单位，则复数1i=(

)A.i B.−i C.1 D.3.向量a=(−1,2)，bA.2 B.−2 C.8 D.4.在160和−5之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为(

)A.−12 B.12 C.−5.设x，y∈R+，若lgx与A.xy=1 B.xy=16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)A.17 B.13 C.5 7.sin40°A.1 B.2 C.−2 D.8.已知三个数a，b，c，a=ln10，b=A.a<c<b B.b<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.7个样本数据：5，6，3，1，9，6，12，则下列说法正确的是(

)A.极差是10 B.平均数是6 C.众数是6 D.中位数是610.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，其焦点FA.C的方程为：y=4x2

B.已知点A(2,3)，则|BA|+|BF|的最小值为4

C.直线11.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，E、F分别为AB、A.Γ是矩形

B.Γ所围图形的面积为52

C.点B与Γ所围成的空间几何体的体积是34

D.点H∈线段BB1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(x+1)6展开式中第4项系数是

13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=−12，14.过椭圆x29+y24=1上一点P作椭圆的切线分别交x、y轴于点A、B，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，点D在边BC上，且满足BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax2(a∈R)．

(1)若曲线y=f(17.(本小题15分)

如图，矩形ABCD中，AB=33，AD=3.将△BCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C′−ABD，C′在底面上的投影O在A18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，且左右焦点分别为F1，F2，点F2到渐近线的距离为22．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点F2的直线l19.(本小题17分)

甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为p(0<p<1)，乙胜概率为q，且p+q=1.比赛进行到有1人连胜两局时结束.记X为比赛的局数，P(X=k)(k∈N*)表示比赛进行k局结束的概率．

(1)若p=23，求P(X=2)，P(X=3)；

(2)求P(X=2k1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BC10.【答案】BC11.【答案】AB12.【答案】20

13.【答案】3

14.【答案】3

15.【答案】解：(1)作出△ABC，如图所示，∠BAD=∠ADC−∠B=150°−60°=90°，

在Rt△ABD中，BD=2，∠B=60°，所以AD=BDsin60°=16.【答案】解：(1)因为f(x)=ex−ax2，所以f′(x)=ex−2ax，

则f′(1)=e−2a，而曲线f(x)的切线与x轴平行，可得f′(1)=e−2a=0，

解得a=e2，此时得到f(x)=ex−e2x2，f(1)=e2，故切线方程为y=e2．

(2)因为17.【答案】解：(1)证明：如图，作BG⊥面ABD，以B为原点建立空间直角坐标系，

由题意得B(0,0,0)，A(0,33,0)，D(3,33,0)，

设O(0,t,0)，C′(0,t,h)，

由折叠性质得BC′=BC=3，C′D=CD=33，

由两点间距离公式得t2+h2=332+(33−t)2+h2=33，

解得t=3,h=6，

则O(0,3,0)，C′(0,3,18.【答案】解：(1)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，

则ca=1+(ba)2=3，所以ba=22，即b=22a，

设双曲线C的右焦点为F2(c,0)，根据双曲线对称性不妨取渐近线方程为22x−y=0，

根据点到直线的距离公式可得点F2(c,0)到其距离为：

d=|22c|(22)2+(−1)2=22，解得c=3，

因为c2=a2+b2，把b=22a代入，得9=8a2+a2，

解得a2=1，b2=8，

故双曲线C的标准方程为x2−y28=1；

(2)过点F2的直线l与C的左右两支交于A、B两点；

(i19.【答案】解：(1)若p=23，则q=13．

X=3表示第

3

局结束，说明前两局胜负交替，第

2、3

局同一个人连胜．，比赛序列：甲乙甲、乙甲乙，

P(X=3)=p2q+pq2=pq(p+q)=pq=23×13=29；

X=2表示前两局连胜结束：甲连胜

2

局，或乙连胜

2

局．

P(X=2)=