剖析大庆老师试题及答案要点

剖析大庆老师试题及答案要点考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）1.如果一个函数的图像关于原点对称，那么该函数一定是（）。A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数2.在等差数列{a<0xE2><0x82><0x99>}中，已知a<0xE1><0xB5><0x89>=5，a<0xE1><0xB5><0x8A>=9，则该数列的通项公式a<0xE2><0x82><0x99>为（）。A.a<0xE2><0x82><0x99>=4n+1B.a<0xE2><0x82><0x99>=2n+3C.a<0xE2><0x82><0x99>=-4n-1D.a<0xE2><0x82><0x99>=-2n-13.若复数z满足方程z<0xE1><0xB5><0x83>-z=1+i，则z的模长|z|为（）。A.√2B.√5C.1D.24.函数f(x)=log<0xE1><0xB5><0xA3>(x-1)在区间(2,+∞)上的单调性为（）。A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.非单调5.从一副标准的52张扑克牌（去掉大小王）中随机抽取一张，抽到红桃或抽到K的概率是（）。A.1/4B.1/13C.4/13D.17/52二、多项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题列出的五个选项中，有多项是最符合题目要求的。全部选对的得3分，部分选对得1分，有选错的得0分。）6.下列函数中，在其定义域内是奇函数且单调递增的是（）。A.y=x<0xE2><0x82><0x99>B.y=sinxC.y=log<0xE1><0xB5><0xA3>|x|D.y=-2<0xE2><0x82><0x99>E.y=x<0xE2><0x82><0x99>-17.在直角三角形ABC中，∠C=90°，则下列结论中正确的是（）。A.若AC=3，BC=4，则sinA=3/5B.若tanA=4/3，则cosB=3/5C.斜边AB的长度是AC和BC长度的比例中项D.若sinA=1/2，则tanB=1/√3E.三角形ABC的面积是(AC×BC)/28.关于命题，“存在x∈R，使得x²+x+1≤0”的说法，下列判断正确的是（）。A.这是一个真命题B.它的否定是：“对于任意x∈R，都有x²+x+1>0”C.它的否定是假命题D.原命题与它的否定同真同假E.该命题与其否定中必有一真一假9.设集合A={x|x²-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）。A.a=0B.a=1C.a=-1D.a≠1E.a≠010.在等比数列{a<0xE2><0x82><0x99>}中，若a<0xE1><0xB5><0x80>=1，a<0xE1><0xB5><0x81>=-2，则该数列的前n项和S<0xE2><0x82><0x99>的表达式为（）。A.S<0xE2><0x82><0x99>=(-2)<0xE2><0x82><0x99>-1B.S<0xE2><0x82><0x99>=2-(-2)<0xE2><0x82><0x99>-1C.S<0xE2><0x82><0x99>=1-(-2)<0xE2><0x82><0x99>-1D.S<0xE2><0x82><0x99>=2*(-2)<0xE2><0x82><0x99>-1/(1-(-2))E.S<0xE2><0x82><0x99>=(-2)<0xE2><0x82><0x99>-1-1三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）11.已知圆心在直线x+y=0上，且该圆与直线x-y-4=0相切，同时经过点(1,2)，则此圆的标准方程为________。12.若实数x满足x+1/x≥2，则x的取值范围是________。13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=3,b=2√3,C=60°，则sinA的值为________。14.一个盒子里有10个红球和若干个白球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率为1/4。现再加入m个白球，再次随机抽取一个球，抽到红球的概率变为1/6，则m=________。15.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为________。四、简答题（本大题共3小题，共35分。）16.（本小题满分10分）设函数f(x)=e<0xE2><0x82><0x99>-ax(a为常数)。(1)若f(x)在x=0处的切线方程为y=x，求a的值；(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性。17.（本小题满分12分）在等差数列{a<0xE2><0x82><0x99>}中，已知a<0xE1><0xB5><0x80>+a<0xE1><0xB5><0x81>+a<0xE1><0xB5><0x82>=9，a<0xE1><0xB5><0x83>-a<0xE1><0xB5><0x84>=2。(1)求数列的首项a<0xE1><0xB5><0x80>和公差d；(2)设b<0xE2><0x82><0x99>=log<0xE1><0xB5><0xA3>(a<0xE2><0x82><0x99>+1)，求证：{b<0xE2><0x82><0x99>}是一个等差数列，并求其通项公式。18.（本小题满分13分）已知函数f(x)=√(x+1)-mx(m∈R)。(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在定义域内存在零点，求实数m的取值范围。试卷答案一、选择题1.A2.D3.B4.A5.C二、多项选择题6.AB7.ABDE8.BCE9.AE10.BDE三、填空题11.(x+1)²+(y-1)²=512.(-∞,-1]∪[1,+∞)13.√7/414.1015.3四、简答题16.解：(1)f'(x)=e<0xE2><0x82><0x99>-a。f'(0)=1-a。f(0)=1。切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0)，即y=(1-a)x+1。由题意，该切线方程为y=x，故1-a=1，解得a=0。(2)由(1)知a=0，故f(x)=e<0xE2><0x82><0x99>。f'(x)=e<0xE2><0x82><0x99>。由于e<0xE2><0x82><0x99>>0对所有x∈R恒成立，故f'(x)>0对所有x∈(0,+∞)恒成立。因此，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。17.解：(1)由等差数列性质，a<0xE1><0xB5><0x80>+a<0xE1><0xB5><0x82>=2a<0xE1><0xB5><0x81>。故a<0xE1><0xB5><0x80>+a<0xE1><0xB5><0x81>+a<0xE1><0xB5><0x82>=3a<0xE1><0xB5><0x81>=9，得a<0xE1><0xB5><0x81>=3。又a<0xE1><0xB5><0x83>-a<0xE1><0xB5><0x84>=(a<0xE1><0xB5><0x81>+d)-(a<0xE1><0xB5><0x81>-2d)=3d=2，得d=2/3。a<0xE1><0xB5><0x80>=a<0xE1><0xB5><0x81>-d=3-2/3=7/3。(2)b<0xE2><0x82><0x99>=log<0xE1><0xB5><0xA3>(a<0xE2><0x82><0x99>+1)=log<0xE1><0xB5><0xA3>((7/3+(n-1)*(2/3))+1)=log<0xE1><0xB5><0xA3>(4/3+2n/3)=log<0xE1><0xB5><0xA3>(4+2n)/3=log<0xE1><0xB5><0xA3>(2n+4)-log<0xE1><0xB5><0xA3>3。令t=n，则b<0xE2><0x82><0x99>=log<0xE1><0xB5><0xA3>(2t+4)-log<0xE1><0xB5><0xA3>3。b<0xE2><0x82><0x99>-b<0xE2><0x82><0x99>-1=[log<0xE1><0xB5><0xA3>(2(t-1)+4)-log<0xE1><0xB5><0xA3>3]-[log<0xE1><0xB5><0xA3>(2t+4)-log<0xE1><0xB5><0xA3>3]=log<0xE1><0xB5><0xA3>((2t+4)/(2t-2+4))=log<0xE1><0xB5><0xA3>(t+2)-log<0xE1><0xB5><0xA3>(t+1)=log<0xE1><0xB5><0xA3>((t+2)/(t+1))。由于t∈N，(t+2)/(t+1)∈(1,2)，故log<0xE1><0xB5><0xA3>((t+2)/(t+1))为常数。因此，{b<0xE2><0x82><0x99>}是等差数列，公差为log<0xE1><0xB5><0xA3>2，首项b<0xE1><0xB5><0x80>=log<0xE1><0xB5><0xA3>7-log<0xE1><0xB5><0xA3>3=log<0xE1><0xB5><0xA3>7/3。通项公式b<0xE2><0x82><0x99>=log<0xE1><0xB5><0xA3>7/3+(n-1)log<0xE1><0xB5><0xA3>2=log<0xE1><0xB5><0xA3>(7/3*2<0xE2><0x82><0x99>-1)。18.解：(1)由x+1≥0且x+1≠0，得x≥-1。故函数f(x)的定义域为[-1,+∞)。(2)函数f(x)在定义域内存在零点，等价于方程√(x+1)-mx=0在[-1,+∞)上有解。即mx=√(x+1)。令g(x)=mx-√(x+1)。需要g(x)在[-1,+∞)上有零点。①当m=0时，g(x)=-√(x+1)。在(-1,+∞)上，g(x)<0，在x=-1处，g(x)=0。故m=0时，方程有解x=-1。②当m>0时，g(x)=mx-√(x+1)。g'(x)=m-(√(x+1))/(2√x)=(2mx-√(x+1))/2√x。令g'(x)=0，得2mx=√(x+1)，即mx<0xE2><0x82><0x99>=√(x<0xE2><0x82><0x99>+1)。两边平方，得m²x<0xE2><0x82><0x99>²=x<0xE2><0x82><0x99>+1，即(m²-1)x<0xE2><0x82><0x99>²-x<0xE2><0x82><0x99>-1=0。令t=x<0xE2><0x82><0x99>，则(m²-1)t²-t-1=0。判别式Δ=(-1)²-4(m²-1)(-1)=1+4(m²-1)=4m²-3。若m²-1=0，即m=±1。若m=1，方程为-t-1=0，得t=-1。由于x≥-1，故x<0xE2><0x82><0x99>=-1。此时g(-1)=0-√0=0。若m=-1，方程为t-1=0，得t=1。由于x≥-1，故x<0xE2><0x82><0x99>=1。此时g(1)=-1-√2<0，g(x)在(1,+∞)上递增，且g(+∞)=+∞，故在(1,+∞)上存在零点。综上，当m=±1时，方程在[-1,+∞)上有解。若m²-1≠0，即m≠±1。需要该二次方程在[-1,+∞)上有实根t。方法一（利用根的分布）：设t₁,t₂是方程的两个根。若有一个根在(-1,+∞)上，则必有t₁t₂=-1/(m²-1)<0，且Δ=4m²-3>0。若t₁>-1且t₂>-1，则-1<(t₁+t₂)/2<+∞，即-2<t₁+t₂<+∞。由Vieta公式，t₁+t₂=1/(m²-1)。故-2<1/(m²-1)<+∞，即1/(m²-1)>-2。由于m²-1>0，该不等式恒成立。若t₁≥-1且t₂≥-1，则g(-1)g(t₂)≤0或g(t₁)g(-1)≤0。g(-1)=-√2。故需要g(t₂)≤0或g(t₁)≤0。g(t₂)=mt₂-√(t₂+1)≤0，即m≤√(t₂+1)/t₂=√(1/(t₂²)+1)。由于t₂≥-1，且t₂≠0（否则方程为-1=0矛盾），故1/(t₂²)+1>1，√(1/(t₂²)+1)>1。因此，m≤1。g(t₁)=mt₁-√(t₁+1)≤0，即m≤√(t₁+1)/t₁=√(1/(t₁²)+1)。同理，m≤1。综上，当m²-1≠0且m≤1时，方程在[-1,+∞)上有解。由于m>0，故0<m≤1。方法二（利用函数单调性）：g'(x)=m-(√(x+1))/(2√x)。当x≥-1时，√(x+1)≥0，√x≥0。若m≤0，g'(x)<0，g(x)在[-1,+∞)上递减。g(-1)=0，故在(-1,+∞)上g(x)<0，无零点。若m>0，g'(x)的符号取决于m与√(x+1)/(2√x)的大小。令h(x)=√(x+1)/(2√x)=√((x+1)/4x)=√((1/4)+1/(4x))。h(x)在[-1,0)上递减，在(0,+∞)上递增。h(x)<0xE2><0x82><0x99>=√(1/4)=1/2。当x=0时，h(0)=+∞。故g'(x)=0有唯一解x₀∈(0,+∞)。当x∈(-1,x₀)时，g'(x)<0，g(x)递减；当x∈(x₀,+∞)时，g'(x)>0，g(x)