MATLABSimulink教程-编程、计算与仿真（第2版）课件 chapter7 微积分与积分变换求解

第七章:微积分与积分变换求解CalculusandIntegralTransform主讲：薛定宇

东北大学信息学院国家级

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建设MATLAB科学运算与仿真第7章微积分与积分变换求解CalculusandIntegralTransforms主讲：薛定宇东北大学信息学院MATLAB科学运算与仿真国家级一流本科课程建设第7章微积分与积分变换求解传统微积分课程主要介绍极限、微分、积分、级数求和与函数逼近等内容主要使用手工推导的方法求解问题需要做大量习题，积累大量经验，需要掌握求解问题的技巧考试之后，在工作中遇到微积分问题，你还会求解吗？传统微积分课程的局限性函数（序列）必须已知，否则无法计算很多问题无解析解本章主要内容微积分问题的解析单变量与多变量的极限、微分、积分函数的级数逼近与效果评价Taylor与Fourier级数逼近；级数求和、求积与收敛性微积分问题的数值积分变换入门Laplace、Fourier与z变换，解析解与数值解7.1微积分问题的解析求解微积分问题的解析求解工具7.1.1单变量函数的极限函数的极限物理意义MATLAB求解求解极限问题的三个步骤申明符号变量，有时需要进一步设置变量属性用符号表达式描述原函数调用limit函数直接求解，无需其他技巧例7-1

简单极限问题的求解求极限：最简单的极限问题该极限的结果为1，如何用MATLAB求解？三个步骤MATLAB直接求解由于只有一个符号变量，不会产生歧义传统求极限之外可以得到的信息除了求极限，还可以观察在x=0的小邻域内，原函数的变化情况：原函数以什么方式趋近于1MATLAB绘图语句引入小的偏移量，将向量上的x=0点剔除不建议使用fplot函数例7-2

复杂一点的极限问题极限问题利用三个步骤求解这个问题与前面的简单问题一样容易也可以使用符号表达式例7-3

极限问题数学描述直接求解函数曲线例7-4

需要分段考虑的极限问题求解极限问题在传统方法下需要分段考虑利用MATLAB可以直接计算，自动分段需要假设x为实变量，否则结果更麻烦序列的极限可以将自变量定义为整数，也可以不定义直接调用limit函数求极限例7-5求极限直接求解绘图例7-6

求极限求解极限问题MATLAB命令单边极限单边极限的数学模型MATLAB求解例7-7

求单边极限求解下面的单边极限MATLAB求解7.1.2

多元函数的极限两类极限问题累极限重极限例7-8

累极限累极限问题MATLAB求解命令例7-9

重极限计算重极限问题尝试几个不同的方向图形表示例7-10

求重极限重极限的数学形式MATLAB求解假设y=rx图形显示7.1.3函数求导函数导数的定义函数导数求解基于定义的计算直接计算例7-11

由定义求导数已知函数由定义计算导数定义求解语句例7-12

由函数直接求导已知函数直接求解一阶导数四阶导数100阶导数求导并计时例7-13

求函数的n

阶导数已知函数调用diff函数时不允许使用n，只能使用给定数值选择几个阶次，总结规律多元函数的偏导数给定二元函数一般的偏导数定义高阶偏导数记号例7-14梯度及图形表示二元函数一阶偏导数（梯度）计算图形表示例7-15

三元函数偏导三元函数求4阶偏导数偏导数计算与化简隐函数的偏导数二元隐函数，记一阶偏导数二阶偏导数n阶偏导数递推公式高阶偏导数的MATLAB实现递推公式MATLAB实现例7-16

隐函数求导已知隐函数求导数MATLAB求解参数方程的导数已知参数方程参数方程的高阶导数递推公式与MATLAB实现递推公式MATLAB实现例7-17

参数方程的导数参数方程求导MATLAB求解7.1.4函数的积分积分问题是函数求导的反问题不定积分：被积函数f(x)，原函数F(x)，原函数族MATLAB的直接计算不支持n

阶重积分运算例7-18

积分运算原函数一阶导数后积分运算4阶导数后积分运算例7-19

不定积分求解不定积分问题MATLAB求解定积分及MATLAB求解定积分问题的数学描述MATLAB求解积分边界可以使用inf可以直接求解反常积分问题积分结果可以使用vpa函数得出具体数值例7-20

定积分计算定积分问题MATLAB求解积分问题的图形表示：填充图形反常积分的求解被积函数在(a,b)求解存在不连续的c点在数学上的求解方法分成两个积分区间(a,c)，(c,b)再求解MATLAB的int函数嵌入这样的规则可以直接求解反常积分问题例7-21

反常积分计算反常积分问题被积函数在x=e点不连续，分母为0MATLAB直接求解重积分与计算二重积分三重积分重积分可以由int函数嵌套执行，计算结果例7-22

双重积分双重积分问题MATLAB求解（近似解极其耗时）例7-23

三重积分三重积分MATLAB求解结果可能含有特殊函数7.2函数的级数逼近与效果评价级数问题的MATLAB求解函数7.2.1Taylor级数关于x=a

点的Taylor近似其中，有限项拟合的残差为MATLAB的直接求解例7-24

函数的Taylor级数逼近原函数求9阶Taylor级数展开理论上是无穷级数，收敛域有限项逼近理论上的收敛域是MATLAB图形功能的对比研究例7-25正弦函数的Taylor级数原函数不同阶次Taylor级数的逼近效果理论上的逼近误差仍然为MATLAB比较语句7.2.2Fourier级数MATLAB没有现成的Fourier级数程序，需要编写数学理论周期性函数，周期延拓系数Fourier级数展开及MATLAB实现任意区间(a,b)，进行变量替换MATLAB实现例7-26

函数的Fourier级数逼近函数MATLAB求解效果比较7.2.3级数求和级数的数学表达式通项可以由符号表达式描述起始项或终止项可以为infMATLAB求解方法例7-27

有限项级数求和级数表达式MATLAB求解另一种解法例7-28

有限项与无限项数学表达式变换形式通项MATLAB求解例7-29

级数求和数学表达式变换形式通项表达式求解求解方法（续）通项不唯一另一个通项直接求解如果没有解析解表达式怎么办？很多级数求和问题没有解析解可以考虑数值解，研究趋势得出的结果例7-30

含有变量的级数求和数学表达式MATLAB直接求解有时能返回收敛条件例7-31

无穷级数的和数学表达式提取通项直接求解7.2.4序列乘积数学表达式与级数求和类似MATLAB直接求解例7-32

有限项求积数学表达式有限项求积无限项求积例7-33

复杂的级数求积数学表达式提取通项不考虑第一项直接求解例7-34函数项级数求积数学表达式找出通项分段函数的数学表示7.2.5无穷级数的收敛性判定很多级数没有解析解，但可以判定收敛性正项无穷级数收敛性判定的四个步骤：必要条件：D‘Alembert评定法Raabe评定法Bertrand评定法

收敛性判定MATLAB函数实现四个步骤的MATLAB实现例7-35

级数收敛性判定判定下面无穷级数的收敛性直接判定例7-36级数收敛性判定级数通项级数没有解析解可以直接判定收敛性7.3微积分问题的数值求解前面的微积分问题的局限性要求f(x)的解析表达式已知积分问题求解，经常没有解析解实际应用中经常未知函数，但已知实测的样本点，需要引入数值微积分的概念本节主要内容数值微分数值积分7.3.1数值微分已知样本点，简记考虑一阶导数公式，略去极限，则前向公式后项公式精度o(h)高精度近似o(h2)的近似计算高精度近似算法：薛定宇.薛定宇教授大讲堂（卷II）：MATLAB微积分运算[M].北京：清华大学出版社，2019求解函数o(hp)例7-37

高阶数值导数已知函数，得出样本点数值微分，并与解析解比较比较的结果不同阶次导数的计算精度低阶数值导数精度较高特别高阶导数精度受限，但没有更好的方法7.3.2数值积分一般的积分可以考虑符号运算两种数值积分的需求领域被积函数未知，只已知样本点，必须引入数值积分被积函数已知，解析不可积部分问题可以由int+vpa函数得出近似解可以采用数值积分方法本节探讨数值积分问题求解由样本点求数值积分已知样本点向量不等间距，可以采用梯形方法，精度低等间距，采用高精度方法具体算法与函数参见文献为追求高精度，建议y

向量的长度为6k+1例7-38

数值积分已知函数，生成样本点如果采用梯形法，必须生成大量样本点，如108个选择样本点个数N=1603（6余1）定积分的数值计算定积分的数学表示数值求解方法函数参数例7-39

数值积分定积分问题大范围积分MATLAB求解例7-40

分段函数的定积分分段被积函数MATLAB求解例7-41

含参数函数数值积分已知函数MATLAB求解设置ArrayValue参数，可以用向量化的方式计算积分求解并绘图双重数值积分双重定积分问题的标准型为MATLAB求解内积分限允许使用函数句柄不支持ArrayValued选项例7-42

双重积分双重积分MATLAB直接求解数值解与解析解另一种积分顺序数学表示相应的变换令，得出标准型只需改变匿名函数入口f=@(y,x)例7-43

另一个双重积分数学表达式MATLAB求解解析解极其耗时（120+s）三重数值积分三重积分MATLAB直接求解例7-44

求解三重积分问题数学形式MATLAB求解解析求解（40+s）例7-45

三重积分问题数学形式积分次序与标准型不同被积函数的入口MATLAB求解7.4积分变换入门积分变换技术可以将某些难以分析的问题通过映射的方式映射到其他域内的表达式后再进行分析本节介绍利用工具的积分变换问题求解积分变换的内容Laplace变换Fourier变换z变换7.4.1Laplace变换Laplace变换数学定义Laplace反变换MATLAB函数例7-46Laplace变换原函数MATLAB求解Laplace变换的三个步骤声明符号变量输入原函数调用求解语句得出结果例7-47Laplace反变换原函数Laplace变换并对结果求反变换例7-48Laplace变换时变函数MATLAB求解特殊函数7.4.2数值Laplace变换很多函数的Laplace变换没有解析解可以得出数值解，INVLAP函数对INVLAP函数拓展，可以求解更广泛的问题反馈系统的求解

数值求解例7-49

复杂无理系统的仿真无理开环模型单位负反馈MATLAB求解闭环系统的阶跃响应7.4.3Fourier变换Fourier