【高考专项复习】培优05 特殊平行四边形压轴题10大题型（期末复习专项培优）

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题型通关·靶向提分题型一特殊四边形中多结论问题(共6小题)∠EAF=∠AFE=∠BAE=∠M=45°,AE=EF=EM=4,即可判断①②④正确；③CD=2CF缺少条件证明.FBME1,故④正确；综上所述，正确的结论有①②④,共3个.以下结论：;②BE=20G;③四边形AEFG是菱形.其中正确结论的个数为()【详解】解：①由折叠可得，AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,2,故①错误；③由②可得，△ADG≌△FDG,FG=FE,综上所述，正确的有2个.BN+BG=√2AB.则其中正确的是(),进而可得,即可判断③;由四边形GCNM为正方形，得CN=CG,∠GCN=∠BCD=90°,可证明△BCN≌△DCG(SAS),得到BN综上，正确的是①②④.最小值为2;④AP⊥EF.其中正确结论的序号为()边形PECF的周长=2BC,即可判断；ABPEFC综上所述，①②④正确.N²+CM²=MN².其中结论正确的有()个.【详解】解：结论①:△CNB≌△DMC,结论②:△OMN是等腰直角三角形，由△CNB≌△DMC,得BN=CM,BM²+BN²=MN²,综上，①②③④均正确，共4个.B、点D重合),点F在AD上，∠AEF=45°得到∠BAE=∠FED,故②正确；根据ABE=爸综上可知，正确的是①②④.题型二特殊四边形中规律类问题(共6小题)度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2026次相遇时，点M的坐标为()A.(0,-3)A.(0,-3)B.(-2√3,1)在点D处，坐标为(0,-3);第二次相遇，点M在线段BC的处，即点M₁的位置；第三次相遇，在点M₂处；第四次相遇，此时坐标为(0,-3);点M的坐标每3次相遇循环一次，由此即可求解.∴菱形ABCD的周长=4×6=24,此时点M在点D处，坐标为(0,-3);B0D第三次相遇，两点路程和为24,则,即M₁C+CD+DA+AM₂=16=2+6+6+2,即从第四次相遇，两点路程和为24,则6,此时点M在点D处，此时坐标为(0,-3);【详解】解：如图，连接DB,与AC交于点M,∴第2026∴第2026次相遇时点M的坐标与第1次相同，为(0,-3).在x轴上，斜边长分别为2,4,6,.….的等腰直角三角形，若△A₁A₂A₃的顶点坐标分别为A₁(2,0),A₂(1,1),【分析】根据坐标变化找到规律，再依据规律解答.用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题.∴横坐标为1,纵坐标为下标的一半，=60°;……,按此规律所作的第2027个菱形的边长为·DC于点A₁作正方形A₁B₁C₁B₂,延长C₁B₂交直线I于点A₂,作正方形A₂B₂CA₁A₂=2A₁B₂=2A₁B₁=4√3,A₂B₂=√A₁A₂²-A₂A₃=2A₂B₃=2A₂B₂=4×(√3)²,A₃B₃=√A₂A₃²-AA₃A₄=2A₃B₄=2A₃B₃=4×得到四边形EDAF,它的周长记作C₁;取BE中点E₁,作E₁D₁FB,E₁F₁IEF,得到四边形E₁D₁FF₁,【分析】根据三角形的中位线求解找规律可得据此规律可求解.【详解】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，题型三特殊四边形解答题综合(共6小题)1.(24-25八年级下·四川南充·期末)如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有_;(2)如图2,垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给出证(3)如图3,分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE、BG、GE,CE与BG交于点0,已知AC=6,AB=10,求△OGE的中线OH的长.【答案】(1)菱形、正方形 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.(1)根据垂美四边形的定义即可判断；(2)结论：AD²+BC²=AB²+CD²,利用勾股定理即可证明；(3)连接CG、BE,只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用(2)中结论即可解决问题.【详解】(1)解：∵菱形、正方形的对角线互相垂直，而平行四边形、矩形的对角线不一定互相垂直，∴菱形、正方形一定是垂美四边形.(2)解：猜想：AD²+BC²=AB²+CD².理由如下：由勾股定理，得AD²+BC²=AO²+DO²+BO²+co²,AB²+CD²=AO²+BO²+cO²+(3)解：连接CG、BE,BDCM于点P,交AE于点F,且DF=AC.DADPFECE(1)如图1,连接DE,若AE平分∠BAD,∠B=60°,AE=12,AD=24,求证：DE平分∠ADC;(2)如图2,连接AC,F在AC上，若∠ABC=2∠CEF,∠BAC=∠AEB,求证：AE=AF;(3)如图3,在(2)的条件下，连接BF,若3∠ABF+2∠CBF=180°,AB=10,BF=13,∠BAF是锐角，求线段BE的长.β(3)在AB左侧构造△BA'F',使得△BA'F′≌△BAF,A'在直线BC上，通过(2)中的条件和结论，先利用全等三角形说明AF'|IBC,再利用(3)中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明AF′=BF',最后利用勾股定理求解即可.【详解】(1)证明：∵□ABCD中，∠B=60°,ADI|BC,∴△AEB是等边三角形，又由(2),得∠AEB=∠BAF,AE=AF,(2)若AB=3,∠AOB=60°,若点P是B合BD=2EO,得到AC=BD,可证出结论.(2)由△OPQ与△CPQ等高，求得CQ=40Q,在Rt△即可.ED4D0cB0cP(2)如图1,若AB=AD,①求证：OE=0F;图2②猜想线段BE,DF②猜想线段BE,DF和EF之间的数量关系是;(3)如图2,若AB≠AD,那么(2)②中线段BE,DF和EF之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(2)①见解析；②BE²+DF²=EF²【分析】(1)利用四边形的内角和定理以及邻补角进行证明；(2)①连接A0,利用正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质证明；②根据正方形的性质得出相等的边，利用勾股定理求解；(3)延长F0交BC于点G,连接EG,根据矩形的性质证明△FOD≌△GOB和△EOF≌△EOG,得出相等的边，然后利用勾股定理求解.由(1)可知∠AEO=∠DFO,DFDEoB图1图2(3)如图2,若AB=4,BC=3,∠CDB=30°,【分析】(1)延长CD至点G,使DG=CD,(2)过A作ARIICF且AR=CF,连(3)过A作ATⅡBC,且AT=BC,连接TD,TE,TF,过T作TM⊥CD于M,TN⊥AE于N,根据平行四DEBG(2)解：过A作ARICF且AR=CF,连接CR,DR,题型四特殊四边形中动点问题(共6小题)(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；形是平行四边形时，求t的值.边形，求a与b满足的数量关系式.;②a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0)列出方程求解即可.∵EF垂直平分AC,垂足为0,由勾股定理得4²+(8-x)²=x²,解解i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=Ciii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12.QoDAEDB解得：由(1)可知，DF=AE=t,BE=10-t,发，在线段AD上往返运动；点M,N分别从B,C出发，在线段BC上往返运动.四个点同时开始运动，设运(1)如图1,已知AD=BC=5,点P,Q的速度都是1,点M,N的速度都是2.①若点P,Q,M,N恰好同时回到初始位置(2)如图2,若AD=2,BC=3,点P,Q,M,N的速度都是1,当以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的所有可能取值.【分析】(1)①分别找到P,Q和M,N的周(2)找到P,Q,M,N的周期，画出一个周期内PQ,MN的距离，根据周期内有4次PQ=MN,此时以P,又因为10>5,②由①得，当t=2026时，P,Q的位置为2026=202×10+6,M,N的位置为2026=405×5+1,动点P从点A出发，沿A→B→C向终点C运动.连结OB,当点P不与点B重合时，作点P关于OB的对称③**,即CPGBD0E,即,即(4)解：设BP=BE=0E=x,D0N0E一PBP由(2)得：BN=4,ON=3,即解得：综上所述，BP的值为【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键.AD=BC=8.延长BC到E,使CE=3,连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒(t>0).(1)四边形ABCD的形状为_;(2)当t=_时，点P运动到∠B的角平分线上；(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S;(4)当0<t<6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.(3)根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动为4,点P到AB边的距离也为4,②当点P在BC上，点【详解】(1)解：∵∠A=∠B=∠BCD=90°,(3)根据题意分3种情况讨论：备用图③当点P在CD上，则P到BE与DE距离一样时，如图，过点P作PH⊥DE于点H,DH备用图题型五特殊四边形中综合探究问题(共6小题)以下是小明同学证明该定理时的部分推理过程，请你完成证明过程.已知：如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D是AB边的中点.∠DEC=y°,求y与x的函数关系式.如图3,在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°,∠AFB=120°,请猜想AB与CD的数量关【分析】(1)如图1,延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE,证明四边形ACBE是矩形即可得到结论；(2)证明∠BEC=2∠EAC,∠AED=2∠EBD.可得∠DEC=180°-(∠BEC+∠AED),进一步可得结论.(3)如图3,取AB的中点E,连接DE,CE.证明角形.进一步可得结论.【详解】(1)证明：如图1,延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE.图1(2)解：如图2,∴∠BEC+∠AED=2∠EAC+2∠∴y与x的函数关系式为y=180-2x.理由：如图3,取AB的中点E,连接DE,CE.由(2)可得∠DEC=180°-2∠AFD=180°-2×60°=60°.【动手操作】如图1,将四边形BCDE沿DE折叠，得到四边形FGDE,点B的对应点为点F,点C的对应点为点G,连接FA,FB,如图2所示.【问题解决】【拓展探究】直接写出DE的长度.【分析】(1)根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，可得∠EFB=∠EBF,∠EFA=∠EAF(2)延长DE交FB于点M,根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，可得(3)分两种情况，结合等边三角形的判定和性质解答即可.如图2,延长DE交FB于点M,GD由(1),(2)得：∠AFB=90°,∠FAE=∠EDC,GDADEB图3EF,若△CEF为等边三角形.【分析】(1)设DE=x,可求得EC=2x,CD=√EC=2DE=2x,CD=√CE²-DE²=√(2x)-x²=√3x.(2)解：①△CEF为等腰直角三角形.为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中，点E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠对应点为D₁.(2)如图2,当点E、F为CD边的三等分点时，连接FD₁并延长，交AB边于点G.试判关系，并说明理由.(3)如图3,当∠ABC=60°,∠DAE=45°时，连接DD₁并延长，交BC边于点H.若为24,AD=4,请直接写出线段D₁H的长.D₁D=45°,可证明MD₁=MH,根据平行四边形的面积公式可=AM-AD=2,D₁H=√MD₁²+MH²=2√2.(3)解：由折叠可知：∠DAE=∠D₁AE=45°,AD=AD₁,M∵□ABCD的面积为24,AD=4,图1(1)【问题初探】请解答王老师提出的问题数学活动课上，王老师出示了如下问题如图1,在正方形ABCD中，在AB上取点M,连接DM,过点A作AN⊥DM交BC于点N.求证：BM=CN.①判断△OPQ的形状，并说明理由；②若BM=AM=4,求PQ的最小值.(3)【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在(2)的条件下，如图3,连接的式子表示).【分析】(1)根据正方形的性质得到∠B=∠BAD=90°,BA=AD=BC,进而得到∠BAN+∠BNA=90°,证明△ANB≌△DMA(AAS),得到AM=BN,根据BA=BC即可证明BM=CN;(2)①连接BD、AC,根据正方形的性质得到0A=OD,∠BAC=∠BDA=45°,∠AOB=∠AOD=90°,根据②根据等腰三角形的定义及勾股定理得到PQ=√20P,则当PQ取得最小值时，OP最小，根据垂线段最短，∠AMO=∠ABC=90°,根据勾股定理求出DM=4√5,设MP=x,则DP=4√5-x,根据勾股定理得到4²-x²(3)连接BD、AC、BQ,根据正方形的性质得到点O是BD的中点，进而得到0H是△BDQ的中位线，得到OHIIBQ,进而得到∠BQ0=∠POQ=90°,根据△ANB≌△DMA得到AN=DM,∠BAN=∠ADM,即的定义及勾股定理得到0,根据正方形的性质得到,根据勾股定理得到AP²+(2)解：①△OPQ是等腰直角三角形，理由如下.DADPMe由(1)知：△ANB≌△DMA,AMPAMQD一个即可).GCC图2BF=C'F’题型六特殊四边形中新定义类问题(共6小题)某两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点.CC(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形，D是斜边BC延长线上一点，连接AD,以AD为直角边，A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,连接EC.求证：点B是△CDE的一个勾股点；(3)如图3,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点，点P在射线CD上，若点P是【分析】(1)延长CP交AB于点M,利用三角形外角性质，求解即可；(2)连接BE,证明△BAE≌△CAD(SAS),求解即可；BE故点B是△CDE的一个勾股点.DPBCA.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形AB=3,AD=5;当△ADN是直角三角形时，请求出线段CN的长.(负值舍),DA:B学习.在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧.定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形.图①图②图③如图①,将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,若△ABC的面积为12,BC=6,则此完美矩形的边长FG=,面积为如图②,将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG,若平行四边形ABCD的面积为30,BC=6,如图③,将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,连接EG,判断四边形AEGD的形状，并证明；若EF:EH=3:4,AD=20,则完美矩形【答案】(1)3;6【答案】(1)3;6(2)根据折叠可知，EH=BE,CF=FH,从而可得EF=3,根据平行四边形ABCD面积可求得AE的长为5(3)由折叠可证点E,G分别是AB,CD是中点，进一步可证四边形ADGE是平行四边形，所以EG=AD=20,即长方形EFGH对角线长为20,设EF=3x,EH=4x,根据勾股定理得到方程，解出x,从而可得完美矩形的边长和宽，最后求周长即可.图①(2)解：由折叠可知BE=HE,CF=HF,∴矩形AEFG的面积为30÷2=15,∴矩形AEFG的周长为2(3+5)=16;HK图③GB由折叠可得∠1=∠HEK,∠2=∠3,AE=EK=∴周长为：2(16+12)=56.∴周长为：2(16+12)=56.GFDFGDBKCBKC生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1,两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是.(填写相应的序号)(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边AB,BC,CD,AD之间的数量关系，并加以(4)【问题解决】如图2,在△ABC中，点D,E分别是边BC,AC的中点，且AD⊥BE,垂足为0.若AC=6,BC=8,求AB的长.【答案】(1)③④【答案】(1)③④(2)因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以AC为公共底的三(4)因为D、E是中点，所以DE是中位线，可设对角线AC、BD交于点0,,,由(3)的结论得：AB²+DE²=AE²+BD²,解得AB=2√5(边长为正，舍去负根).(1)如图1,已知△ABC,AB=AC,AC≠BC(3)如图3,在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB=AD,BC的交点为F,E下面是他证明直线PQ是四边形ABCD的“紫金线”的部分过程，老师看了下面的过程后说：“直线PQ确实是四边形ABCD的紫金线，但证明过程有问题，不能从图中观察得到BE=CD,帮小明补充作图，并写出正确的完整证明过程.【答案】(1)①见解析②不能，理由见解析【答案】(1)①见解析②不能，理由见解析(3)根据垂直平分线的性质可得EA=ED,FA=DF,根据勾股定理列方程3²+BE²=5²+(8-BE)²,求出【详解】(1)①解：如图，直线1为所求，A(2)解：连接AC,BD交于0,连接MO,延长M0交BC于N,过D作DH|ⅡMN交BC于H,过D作DG⊥BC交EE图3题型七特殊四边形中最值问题(共5小题)图③(3)取AB的中点T,作射线TQ,交CD延长线于点H,在DC的延长线解.(3)如图，取AB的中点T,作射线TQ,交CD延长线于点H,在DC的延长线上截取CW=DE,连接GW,过点W作WV⊥TH于点V(2)设OE,CD交于点M,根据菱形的性质，勾股定理，菱形的面积表示，求解即可；(3)将线段ED绕点E顺时针旋转30°得到EN,连接HN,CN,证明△DOG≌△NEH(SAS),得到DG=NH,当C,H,N三点共线时，DG+CH取得最小值，且最小值为CN,再结合勾股定理求解即可.(2)解：连接OE;设OE,CD交于点M,DEMEFBC(2)如图2,连接AC,BF交AC于点M,O为AC的中点，OB交CE于点N,连接OH.求证CH=√20H+BH;(3)如图3,若正方形ABCD的边长为10,P,Q是AC上两动点，且PQ=2√2,请直接写出BQ+PQ+DP的最小值.【分析】(1)证明△ABF≌△BEC,利用全等三角形的对应边相等可证得结论；(2)过点O作OG⊥OH交CH于点G,可证出△OGC≌△OHB,得OG=OH,CG=BH,利用勾股定理得到(2)证明：过点0作OG⊥OH交CH于点G,则∠HOG=90°,ABFM0NGDCDARBG图1图2图3【模型探究】(2)如图2,若正方形ABCD的边长为4,点E是边AD上的一个动点，以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG,连接DG,BE,判断BE和DG的数量与位置关系，并说明理由.【模型拓展】(3)如图3,在(2)的条件下，连接BG,当点E在AD上运动时，写出BE+BG的最小值，并说明理由.【答案】(1)BE=DG,BE⊥DG,理由见解析(2)延长GD、BE交于M,证明△BCE≌△DCG(SAS),得出BE=DG,∠CBE=∠CDG.在四边形中求出∠BMD=360°-180°-∠BCD=90°,(3)过点G作GH⊥BC交BC延长线于点H,证明△EDC≌△GHC(AAS),得到CH=CD=4,说明点G的运动轨迹是直线GH,直线GH与直线CD之间的距离为4,作点D关于直线GH的对称点T,连接BT,GT.在Rt如图1中，延长GD交BE于J,图1∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，(3)解：如图4中，过点G作GH⊥BC交BC延长线于点H,F┌图4HCC如图3,在六边形PQRSTO中，满足POⅡRS,PQIIST,OTIIQR,OP=PQ=QR=RS.求证：OT=TS;李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： (2)解：如图，连接PR,OS,(3)解：由(1)可知，在矩形ABCD中，EF⊥AC时，EF的长度为定值 题型八特殊四边形中阅读理解类问题(共6小题)【问题背景】我们发现：用构造菱形的思路可以解决绝大多数尺规作图的问题.菱形的四条边相等、每一条对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可以应用在角行线、垂线的尺规作图.学习小组受到启发，对尺规作图作菱形展开了探究.精英组：如图1,以∠NAM顶点A为圆心，适当长为半径作弧，交AM于点B,交AN于点D,再分别以点B,D火箭组：如图2,作矩形ABCD的边AD的垂直平分线HF,分别交AD,BC于点H,F,再作线段HF的垂直平分线EG,分别交AB,CD于点E,G,HF和EG交于点O,顺次连接E,F,G,H,则四边形EFGH是菱【解决问题】(2)如图2,求证：四边形EFGH是菱形；(3)①如图3,以口ABCD的对角线AC和BD的交点O为对称中心作菱形EFGH,使其四个顶点分别在□ABCD的边上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.)有什么数量关系，请说明理由.(3)①见解析；②S₁==S₂,理由见解析【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.(1)利用菱形的定义求解；(3)①过交点O作直线HFⅡAB,分别交AD、BC于点H、F,再作线段EF的垂直平分线，交剩余两条边得【详解】(1)解：由作法可知，AD=AB=BC=CD(3)解：①如图所示，四边形EFGH即为所求作的菱形；在△OBE和△ODG中，由①作法知，EG⊥HF,方法是：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,解题思路是：(2)延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明∠ABG=∠D,再同(1)即可证明EF=BE+DF;(3)过点B作BH⊥AB,使得BH=AE,连接CH,FH,则∠FBH=90°,证明△CAE≌△CBH,得到(4)①连接AC,证明△ABC,△ADC都是等边三角形，得到A②【详解】(1)解：如图①所示，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,EBFGFDAD①如图②所示，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,BFD(3)解：如图所示，过点B作BH⊥AB,使得BH=AE,连接CH,FH,(4)解：①如图所示，连接AC,BEAFDEE如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°,30°,15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图1):CC①对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平.②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时，得到了线段BN.等边三角形，∠ABN=60°,从而证得猜想成立.请根据小济的思路完成下面的填空：EF垂直平分②.,BA=④._,⑤.=∠MBN,(2)小源在该折纸活动基础上，进一步探索.如图2,她先对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合，得到折痕PQ,把纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在PQ上，并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时，得到了(3)【迁移探究】洋洋将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究(如图3),过程如下：正方形的边长为.【答案】(1)①