广东省实验中学2026-2027学年高三上学期阶段训练数学试卷（含答案）

/广东省实验中学2026-2027学年高三上学期阶段训练数学试题一、单选题1．已知集合A=−2,−1,0,1,2，B=x|A．4 B．8 C．16 D．322．下面是一组学生某次跳绳活动课半分钟跳绳次数的数据：90，88，110，118，108，116，120，98，则这组数据的第60百分位数为（

）A．116 B．113 C．110 D．1083．已知平面向量a=1,−2与b=2+xA．2 B．4 C．25 D．4．已知曲线f(x)=x+alnx在点A．3 B．13 C．−345．若x2−ax+19的展开式中x8A．10 B．15 C．−6 D．−126．6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（

）种A．40 B．60 C．80 D．1207．已知a>b>0，设椭圆C1：x2a2A．y=±13x B．y=±38．若存在a>0，对任意的x∈0,+∞，都有xlnA．−1e B．e2 C．2二、多选题9．已知复数z满足1+i⋅zA．zB．复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限C．将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转3π2D．若复数z是关于x的方程x2+ax+b=010．在正四棱台ABCD−A1B1C1A．球O的表面积是16B．直线OC与直线ACC．正四棱台ABCD−AD．直线DD1与平面ABCD11．已知半径为R1R1=1的圆M1与射线l:y=kx(k>0,x≥0)、A．若k=3B．若k=427，C．若k=427，则数列D．RnR三、填空题12．直线(tan2513．若关于x的不等式2kx2+kx−314．已知抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M四、解答题15．在△ABC中，D为AC边上一点，CD=3，BC=8（1）求sin∠（2）若∠A=60°，求16．如图，正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，点M是棱(1)证明：PC⊥平面BDM(2)设点Q在棱AB上，求平面PDQ与平面BDM所成角的余弦值的最大值.17．某仓库中同一型号的智能巡检机器人由甲、乙两厂供货．已知甲厂产品的次品率为0.05，乙厂产品的次品率为0.10．从仓库中随机抽取一台，发现其为次品的概率为0.07．(1)设甲厂在仓库中的供货占比为P，求P的值；(2)若已知抽到的产品是次品，求它产自甲厂的概率；(3)基于上述供货占比，质检员对这批机器人进行有放回的随机抽检，每次记录其生产厂．一旦累计抽到2台甲厂产品，或抽取次数达到5次，立即停止，记停止时已抽取的总次数为X，求X的分布列和数学期望．18．设F为椭圆E:x29+(1)求椭圆E的方程；(2)设P,Q分别为⊙C:x(3)斜率为k的直线l过抛物线G:y2=82x的焦点与G交于C,D，与E交于19．已知函数fx(1)当a=0时，求曲线y(2)若fx在−π2(3)当0≤a≤1时，证明：当x>0答案与解析题号12345678910答案CCDDABCCABDAC题号11答案ACD1．C解析：由y=1−x所以A∩因此集合A∩B有所以集合A∩B子集的个数为2．C分析：根据百分位数的计算公式即可求解.解析：将这组数据从小到大排列为：88，90，98，108，110，116，118，120，共8个数据，因为8×60%3．D分析：首先由平面向量共线的坐标表示求出x=2解析：因为a=1,−2与b=2+x故b=故选：D.4．D分析：利用导数的几何意义即可求解．解析：f′又因为曲线f(x)=x+所以切线斜率k=f′故选：D．5．A解析：由(x其中x2(x+1)9−ax+19则原式展开式中x8的系数为Ca=106．B分析：根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有C42=6种，再把红球插入共有C解析：首先排黄、蓝各2个，共4个小球，相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有C4放好4个小球后，选2个空位插入2个红球，共有C5综上，共有6×10=60种．故选：B．7．C分析：利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可.解析：由题意得e1=a因为e2=2e1，所以a所以双曲线C2的渐近线方程为y故选：C.8．C分析：问题转化为b≤xlnx+2a−ax在0,+∞上恒成立，令fx=xln解析：任意的x∈0,+∞则有b≤xln令fx=xf′x=lnx0<x<ea−1时，fx>ea−1时，f′fx因此存在a>0，使b令ga=2a−ea−10<a<1+ln2时g′a>1+ln2时g′a有ga所以a=1+ln2时，b故选：C9．ABD分析：根据复数的除法运算得到z=1+解析：解：由复数z满足1+i⋅z所以z2复数z=1+i的共轭复数是1−i复数z=1+i对应的点为1,1，绕原点按顺时针方向旋转3π所以所得向量对应的复数应为−1+i由1+i是关于x的方程x2+所以1+i+1−i=2=−a10．AC分析：直接根据表面积公式计算判断A；根据内切球心O在上下底面中心的连线上判断B；分别取A1D1,B1C1,AD,BC的中点解析：对于A，由于内切球O的半径是2，故球O的表面积是S=4对于B，正四棱台的内切球心O在上下底面中心的连线上（即棱台的高上），如图，他们均在平面ACC对于C，如图，分别取A1D1则四边形EFGH是等腰梯形，且EH,因为正四棱台ABCD−A1所以等腰梯形EFGH存在内切圆且上下底的切点为对应中点，根据内切圆与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半，设A1B1=a所以3a22=42+所以正四棱台ABCD−A1对于D，结合C得正四棱台的侧棱满足DD12设直线DD1与平面ABCD的夹角为θ，则11．ACD分析：首先几何定位：圆与射线l、x轴正半轴相切，故圆心在∠xOl的角平分线上，设该角为2α，则k=tan2α，圆心到原点的距离与半径Rn直接关联.然后等比数列推导：两圆外切时，圆心距为Rn+Rn−1，结合三角函数sinα=R心坐标由Rntanα解析：如图，过点Mn−1，Mn分别作Mn−1A⊥过点Mn−1作Mn设∠AOMn=α由sin∠Mn所以Rn是首项为1，公比为1+所以Rn=1+由k=tan2α=由k=tan2则sinα=1所以R10=29=512Rn的前n项和为1+RnRn−1=1+sin得1<R故选：ACD.12．3分析：根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角.解析：设直线(tan25π)而0≤θ<π故答案为：313．−3,0分析：分为k=0和k≠0考虑，当k≠0解析：当k=0得：−38<0，满足题意；当k≠0时，要想保证关于x的不等式2kx2+kx故答案为：−3,014．4分析：设直线l的方程为x=my+p2，联立抛物线方程利用韦达定理求出y1y2=−解析：抛物线C:y2易知直线l斜率不为0，设直线l的方程为x=联立y2=2px所以Δ=4m2所以x1因为OM=x1,y又因为cos∠MON=−所以−13OMsin∠故答案为：4915．（1）43分析：（1）在△BCD中，利用余弦定理，可求得cos（2）根据正弦差角公式求得sin∠解析：（1）在△BCD中，据余弦定理，有cos∠BDC所以sin∠（2）因为∠BDC=∠A所以sin∠在△ABD中，据正弦定理，有AD所以AD=考点：方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.16．(1)因为P−ABCD的所有棱长相等，点M是棱所以PC⊥DM，又因为DM∩BM=M，所以PC⊥平面BDM(2)3分析：（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明PC与BM，PC与DM垂直，进而证明PC⊥平面BDM（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设Q点的坐标参数，进而表示出平面PDQ的法向量，结合平面BDM的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值.解析：（1）略（2）以D为坐标原点，AD,DC所在直线为x,y轴，以过点D且垂直于底面的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D0,0设Q(2,t,0)(0≤t≤2)则CP=(1,−1,2)则DQ=(2,t,0)设平面PDQ的法向量为n=(则{DQ⋅n记平面PDQ与平面BDM所成角为θ，则cosθ当t=23时，cos17．(1)3(2)3(3)X的分布列为X2345P936108112E(分析：（1）根据全概率公式，列式求出P的值即可；（2）根据条件概率公式直接求解即可；（3）先写出变量可能的取值，再求出各自变量对应的概率，最后写出概率分布列，利用数学期望的公式计算即可.解析：（1）设甲厂在仓库中的供货占比为p，则乙厂在仓库中的供货占比为1−p设从仓库中随机抽取一台，该产品是甲厂产品为事件A；该产品是乙厂产品为事件B；该产品是次品为事件C．则PC=P（2）由题意得PAC=（3）由题意知X的可能取值是2，3，4，5，P(X=2)=P(X=4)=故X的分布列为X2345P936108112所以E(18．(1)x(2)4(3)存在，λ分析：（1）将M1,（2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可；（3）设直线l:y=解析：（1）将M1,223代入椭圆方程得所以椭圆方程为：x2（2）因为PQ≤QC+r，设Qx,y，而C由x29+y2QC2因为y∈−1,1，所以当y从而PQ≤（3）设直线l:y=与椭圆联立方程：y=∴x1∴AB=直线与抛物线联立方程：y=∴x3∵CD是焦点弦，∴CD=∴1若1AB+λCD为常数，则362所以存在实数λ=−322考点：关键点点睛：本题的关键在于处理弦长问题时，常利用韦达定理代入弦长公式求解；在处理抛物线中的焦点弦问题时，常利用焦点弦公式求解.19．(1)y(2)−(3)证明：令hx=e令vx=h当x<0时，v′x=e所以vx=h′xh′x≥因为h0=0，所以hx即当0≤a≤1时，ex令tx=x−sin因为t0=0，所以当x>0时，t因为0≤a≤1，所以当x>0时，−所以当x>0时，f分析：（1）求导得f′（2）法一：对a分a≤0和a>0讨论即可；法二：分离参数得得（3）利用导数证明不等式，再合理放缩即可.解析：（1）当a=0时，fx=f0=0，f′0=1（2）法一：f′x=ex−x−a①当a≤0时，−acosx≥0在−当x∈−∞,0时，当x∈0,+∞