湖南省长沙市部分学校2027届高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

/湖南省长沙市部分学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．一个袋子中有编号为1~10的10个小球，每名同学有放回地摸球5次，记录每次摸到的球的编号，现有四名同学的统计结果如下，其中可能摸到过编号为10的小球的是（

）A．平均数为5，极差为4 B．中位数为5，极差为4C．平均数为5，方差为4 D．中位数为5，众数为42．在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．43．已知函数是奇函数，则（

）A． B．1 C． D．24．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知数列的前n项和为，若是公差为d（）的等差数列，则（

）A． B． C． D．6．设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（

）A． B． C． D．7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（

）A．14 B．16 C．18 D．208．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知虚数满足．记，则（

）A．为纯虚数B．C．若，则为纯虚数D．记，，则的最小值为10．在四棱锥中，是菱形对角线的交点，平面，，为底面内的一动点，则下列说法正确的是（

）A．若，则四棱锥为正四棱锥B．若，，则动点的轨迹长度为2C．若，，为对角线上靠近的四等分点，为中点，则和所成角的余弦值为D．若，且与底面所成角为，则的轨迹与底面围成的几何体的表面积为11．设函数，则（

）A．是偶函数 B．是周期函数C．有最大值 D．是增函数三、填空题12．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，直线过右焦点，和双曲线的右支交于，两点，且满足，，则双曲线的离心率为___________.13．已知函数在上的值域为，则的取值范围为___________.14．已知是等比数列的前项和，，则__________．四、解答题15．如图，平面四边形中，点是线段上一点，，，沿着将折叠得到四棱锥．

(1)求证：平面平面．(2)若，且，，折叠后．①求平面与平面夹角的余弦值的最大值．②若三棱锥的四个顶点均在以为球心的球上，试问三棱锥的外接球的体积是否存在最小值？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．16．在锐角三角形中，角的对边分别为，已知.(1)比较与的大小；(2)求的取值范围；(3)若，且，求的内切圆半径.17．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.18．已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．19．对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．(1)已知，，求，，，；(2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围；(3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：．

参考答案题号12345678910答案DBCDDBDBACDACD题号11答案ABC1．D【详解】设5次编号从小到大为，平均数为，若摸到10，则最大值，选项A，由极差为4，，则，此时5个数均大于或等于6，总和大于等于30，所以，选项A错误；选项B，由极差为4，，则，所以，因此中位数不可能为5，选项B错误；选项C，若平均数为5，则，又，所以，因为方差为4，所以，则，而，不合题意，所以选项C错误；选项D，若中位数为5，众数为4，则至少有两个4，又摸到10，所以4，4，5，6，10，这种情况即可满足条件，因此选项D正确.2．B【详解】如下图，若，则在方向上的投影向量为，又向量在向量方向上的投影向量为，则，即，

所以，又，所以.故选：B3．C【详解】函数有意义需满足且，即，由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内，代入分子得，解得，求参数：将代入得：，由于在定义域内，奇函数满足，代入得：，解得，此时函数，，则，即，则是奇函数，满足题意，故.4．D【详解】因为，所以.时恒成立，即在时恒成立.，所以时单调递增，时单调递减..所以即可，解得.5．D【详解】是公差为d（）的等差数列，其首项为，即对于AB，当时，，整理得：，即当时，；当时，；故AB错误；对于CD，当时，，整理得：，又，，当时，，整理得：，即，显然为减函数，且，又，，即，故D正确；故选：D6．B【详解】令，函数定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意，当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大，由有两个零点，得，即，函数在上都递增，则函数在上递增，，因此存在，使得，则不等式成立时，的最小整数值为3，即，由，得，，当且仅当，即时取等号，B正确.故选：B7．D【详解】设，，弦的中点为，，则，所以，所以，则，所以弦的垂直平分线为．令，则，所以．又，所以．故选：D．8．B【详解】由题意得：两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥的外接球，因为，所以正方体体对角线为所以正方体外接球半径即为三棱锥外接球半径为，所以外接球表面积为，故选：B．9．ACD【详解】由得，因为为虚数则，所以，实部为0，故是纯虚数，A正确；取，计算，，B错误；设，若则，若，则，即，即，若，同理可解得：，均为纯虚数，C正确；令，则，，，，，这两个二次式对称，只需考虑情况（因为对称性）.当时，，正根.，正根.当时，最小值在处，.当时，，这是增函数，无最小值，当时，这是增函数，最小值在处，.综上，的最小值为.10．ACD【详解】在A选项中，由平面，得，，因为，所以，菱形对角线，，故，根据菱形性质：对角线相等的菱形是正方形，因此底面是正方形，是正方形中心，且底面，顶点在底面投影为正方形中心，符合正四棱锥定义，所以A正确，在B选项中，由底面，根据三垂线定理可得：，动点的轨迹是底面菱形内过垂直于的线段，长度等于平行线与之间的距离，菱形边长为，，对边距离（菱形的高）为，所以B错误，在C选项中，若，邻边垂直的菱形是正方形，故为正方形，所以，即对角线，又因为是中点，所以，是靠近的四等分点，故​，所以，，即是中点，因为，且底面，所以是直角三角形，即，得，同理，为直角三角形，，即，取中点，连接，是的中位线，故，，异面直线与所成角等于或其补角，又因为为直角三角形，所以，在中，，故，故；在中，，，，由余弦定理可得：，，所以在中，，，，由余弦定理可得：，所以C正确，在D选项中，与底面所成角为，底面，故，，已知，得，即轨迹是底面以为圆心，半径的圆，动线段的轨迹是圆锥，圆锥底面半径，母线，表面积为侧面积+底面积：，D正确.11．ABC【详解】对于A，因为的定义域为，又，所以是偶函数，A选项正确．对于B，易知，所以是的一个周期，B选项正确．对于C，易知，所以，所以有最大值，C选项正确．对于D，因为在区间单调递减，在上单调递增，所以在区间单调递减，D选项错误．故选：ABC12．【详解】由题得.设，由题得，，在中，由余弦定理得解之得在中，由余弦定理得所以离心率为.故答案为：13．【详解】由题意可得，其中，，，设，，，，，，，，，，即，，的取值范围为，故答案为：.14．【详解】设等比数列的公比为，则，由，可得，即，所以．故答案为：15．(1)证明：在平面四边形中，因为点是线段上一点，，所以折叠后有，．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．(2)①；②存在，．【详解】（1）略（2）设，则．①如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

因为，，，所以，，，，所以，，，．设平面的法向量为，由，得令，则．设平面的法向量为，由，得令，则．设平面与平面的夹角为，则．令，则，所以当，即时，取得最大值．②如图，由（1）知平面平面，又因为三棱锥的四个顶点均在以为球心的球上，设和的外接圆圆心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接，设，显然四边形为矩形，所以．

在中，因为，所以由余弦定理得，再由正弦定理得的外接圆半径．在中，，，，所以由余弦定理得，再由正弦定理得的外接圆半径．所以，即，所以，故当时，取得最小值，即，此时三棱锥外接球的体积最小值为，故三棱锥外接球的体积存在最小值，此时．16．(1)(2)(3)【详解】（1）由，可得：,,假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减，可知，则，此时可得，这与假设相矛盾，即假设不成立；又假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减，可知，则，此时可得，这与假设相矛盾，即假设也不成立；综上可得：（2）由（1）得，，即在等腰三角形中，取底边的中点为，则，则，因为在锐角三角形中，，所以，则；（3）在等腰三角形中，因为，所以，再由，则可解得：，，因为，，所以，则，又由，，可得，所以高，根据等面积法可知：.17．(1)(2)【详解】（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，则，.（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，则.18．(1)(2)【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．由题意知，，解得．所以，椭圆C的标准方程为．解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．根据椭圆定义得，即．又因为，所以，所以，椭圆C的标准方程为．（2）由，消去y，得，因为直线与椭圆C相交于A，B两点，所以，解得．设，，则，，所以当时，取最大值，此时直线l的方程为19