江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试卷（含答案）

/江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年度上学期开学考高一数学试题（时间：120分钟总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1.将分解因式，结果正确的是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】解：∵，∴可设（其中a、b为整数）∴，∴，∵，且，∴，∴.2.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】等价于，解得，即.所以.3.设、是实数，集合，，若，则的值为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为、是实数，集合，，且，因为且，若，则，解得，此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意；若，即，解得或，因为，故应舍去，所以，则，于是有，可得，符合题意.综上所述，，，故.4.已知对任意实数，式子都有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，对任意实数，式子都有意义，，，解得．5.已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题设描述的规律总结分析，求第2003个三角形周长.【详解】由题设，第个三角形的周长是第个三角形的周长的一半，且第1个三角形周长为1，所以第2003个三角形周长为.故选：C6.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得，进而依据交集定义求得.【详解】，，则，则.故选：A7.设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围.【详解】关于的方程有两根，且.，解得.故选：B8.已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围.【详解】令，则代入得，将代入原不等式，得，两边同时除以，得，把代入，得，即，由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，，恒成立，故实数的取值范围为.故选：.二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分）9.下列命题是真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】CD【解析】【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题；对于选项B：例如，但，故为假命题；对于选项C：若，则，可得，故为真命题；对于选项D：若，则，故为真命题.10.若实数，，且，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件.【详解】A：由均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，错误，B：因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，正确，C：由题设，由，得，当且仅当，即时取等号，错误，D：设，问题化为，求的最大值，根据柯西不等式，所以，当且仅当即时等号成立，此时，代入，解得，符合的条件，所以的最大值为，正确.11.下列说法中正确的有（）A.函数与是同一个函数B.函数在上单调递减C.函数的定义域为，则函数的定义域为D.关于的方程有两个不等的正实数根的充要条件是【答案】BCD【解析】【分析】根据同一函数定义、反比例函数的单调性，结合复合函数定义域的性质、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、充要条件的定义逐一判断即可.【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，根据函数的图象可知，在和上单调递减，故B正确；对于C，在函数中，，则，所以函数的定义域为，故C正确；对于D，若方程有两个不等的正实数根，则解得，故D正确．故选：BCD三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.已知函数，则的值是___________【答案】【解析】【分析】根据函数式，对赋值4代入计算即得.【详解】因为函数，取，可得.故答案为：9.13.已知命题“，”，则为____________________________________．【答案】【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题的规则，更换量词并否定原命题结论即可求解.【详解】根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定是存在量词命题，需将全称量词替换为存在量词，同时否定原命题的结论，结论的否定为，因此为。14.已知集合，，若，则实数的值为________.【答案】1【解析】【详解】因为，所以，所以，解得.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.已知关于的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若，满足求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据得到不等式，求出实数的取值范围；（2）由根与系数的关系得出和的值，再代入得到关于的方程计算即可.【小问1详解】由题意得，

．

故实数的取值范围为；【小问2详解】依题意有，，

，

，由（1）知，，

解得，舍去．

故的值是．16.已知集合，集合或．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合；（2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围；（3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可.【小问1详解】当时，或，则，又因为，故.【小问2详解】因为，集合或，且，所以，解得，故实数的取值范围是.【小问3详解】因为是的充分条件，则，所以或，解得或，因此实数的取值范围是或.17.随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为.无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为.（1）求两点之间的距离；（2）求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）.（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在直角三角形中根据已知的角度利用三角函数的定义求解即可；（2）在与中利用正弦函数和正切函数分别求出的长即可得出.【小问1详解】在中，，由题意知，所以，即，所以两点之间的距离大约为.【小问2详解】在中，，所以，即，在中，，所以，由题意可得，所以所以，即无人机从点到点的上升高度大约是.18.设集合，（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解，（2）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解.【小问1详解】由得，由是的充分不必要条件，所以，即且等号不同时成立，得，∴实数的取值范围为.【小问2详解】由题意知，当，，得；当，，得.综上所述：实数的取值范围为.19.设函数.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，若时，的最大值为10，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可.（2）根据二次函数的性质，结合区间定轴动问题求解方法求解即可.（3）根据二次函数在固定区间的最值求解即可.【小问1详解】函数开口向上，对称轴为，因为在区间上单调递增，所以.故实数的取值范围为.【小问2详解】当时，恒成立，等价于当时，.当时，在上单