重庆市三校2027届高三上学期入学学情检测数学试卷（含答案）

/重庆市三校2026-2027学年高三上学期入学学情检测数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知全集，则（

）A． B． C． D．3．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（）A． B．C． D．4．已知函数在恰有两个不同的零点，则下列结论正确的是(

)A． B．C． D．5．下列说法中错误的是A．先把高二年级的名学生编号为到，再从编号为到的名学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为，，的学生，这样的抽样方法是系统抽样法.B．正态分布在区间和上取值的概率相等C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于D．若一组数据的平均数是，则这组数据的众数和中位数都是6．将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中“好数”个数为（

）A．219 B．220 C．285 D．2867．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（

）A．8096 B．4048 C．2024 D．10128．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知正实数，满足，则下列选项不正确的是（

）A．的最大值为4B．的最小值为C．的最大值为3D．的最小值为210．（多选）某学习小组在研究函数f（x）＝的性质时，得出了如下结论，其中正确的结论是（）A．函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称B．函数f（x）在（－2，0）上单调递增C．函数f（x）在[0，2）上的最大值为－D．方程f（x）－x＝0有2个不同实根11．高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项．记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则（

）A．五名同学的报名情况共有种B．“每个科目都有人报名”的报名情况共有240种C．“五名同学最终只报了两个科目”的概率是D．三、填空题12．设是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则__________．13．已知函数，若，则的最小值为______.14．已知函数，且，则当时，函数的最小值与最大值的和为____________．四、解答题15．已知集合为非空数集，定义：，(1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；(2)若集合，且，求证：(3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．16．已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)当函数恰有两个零点时，求的值；(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.17．某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品样本（足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次.(1)现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率；(2)假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为.（i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求p关于k的函数关系式；（ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当时，求p的取值范围并解释其实际意义.18．已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位：）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．

17.4082.303.61409.72935.135.0其中，．(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）(2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；(3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，②0.080.472.7220.091096.6319．已知函数(1)当时，求在点处的切线方程；(2)若函数在内有零点，求实数的取值范围；(3)若存在，使得，求证：．

《重庆市三校2026-2027学年高三上学期入学学情检测数学试卷》参考答案题号12345678910答案DCCCCABDABCBCD题号11答案ABD1．D【详解】由已知．故选：D．2．C【详解】因为，，所以，从而.故选：C3．C【详解】∵，，，∴，根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为，当点在边上时（不含端点），，，如图，过点作于点，则，∴，∴，∴，解得：，，∴，当点在边上时，，，，如图，∴，，∴，即,综上所述，与的函数关系式为，∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分．故选：C4．C【详解】解：原题等价于方程在恰有两个不同的解，等价于函数与函数的图像在恰有两个交点（如图），所以，设函数与函数的图像在内的交点横坐标为，则此时直线与曲线相切，切点为，又时，，，所以，∴．即．故选：C5．C【详解】对于，根据抽样方法特征是数据多，抽样间隔相等，是系统抽样，正确；对于，正态分布的曲线关于对称，区间和与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，正确；对于，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，错误；对于，一组数据的平均数是，；所以该组数据的众数和中位数均为，正确..6．A【详解】设四位数为，则（，），令，，，则问题转化为：求方程的正整数解的个数，由“隔板法”得共有个，其中当，时不合题意，故共有219个.7．B【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数，即为奇函数，必有且，解得，则的对称中心为，所以，设，，故选B8．D【详解】解：由题意可知，可知当时函数有一个极值点，故当时有两个极值点，由得，，令，则与直线有两个公共点，，函数在单调递增，在单调递减，图像如图所示，，故，即，故选：D.9．ABC【详解】因为正实数、满足，则，因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A、B错；因为，所以，，令，因为函数在上单调递减，所以，，C错D对.故选：ABC10．BCD【详解】解析：由y＝→y＝→y＝的路线，结合图象变换规则，可得y＝f（x）大致图象如图.由函数f（x）是偶函数及图象知，函数f（x）的图象不关于点（2，0）中心对称，故A错误；由图象知，函数f（x）在（－2，0）上单调递增，故B正确；由图知，函数f（x）在[0，2）上单调递减，因此x∈[0，2）时，f（x）max＝f（0）＝－，故C正确；当x<0时，f（x）＝，令＝x，得x2＋2x＋1＝0，得x＝－1.且由图象知，当x>0时，y＝x与y＝f（x）有一个交点，故D正确．故选BCD.11．ABD【详解】对于A：五名同学每人都有4种报名选择，根据分步乘法计数原理，总报名情况数为种，A正确；对于B：“每个科目都有人报名”，5人分到4个科目，人数分布只能是，先从5人中选2人作为一组，剩余3人各成一组，共种分组方式；再将4组全排列分配给4个科目，共种排列方式；总情况数为种，B正确；对于C：“五名同学只报了两个科目”，先从4个科目选2个，共种选法；再减去5人全选第一个科目、全选第二个科目的2种情况，总符合情况数为；总报名情况为，概率为，C错误；对于D：事件要求恰3人同科目，其余两人各在不同科目，先选人所在科目有种不同的选法，选人有不同的选法，将剩余两人安排到剩余的3个科目中的两个，每人一科，有种不同的选法，可得；要求发生且只有小明1人报化学，因此3人同科目只能从非化学的3个科目选，再从剩余4人选3人，最后剩余1人从剩余2个非化学科目选，得，因此，D正确.12．10【详解】二项式的展开式中含项的系数为，展开式的常数项为，则由已知可得，解得，故答案为：10．13．【详解】因为，若，则，令，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，，所以，故的最小值为.故答案为：.14．62【详解】因为,是奇函数，又所以为增函数，所以不等式等价于，由单调性得，即，又，则对应可行域是以为圆心，为半径的上半圆面，如图，，，，所以的最大值为，的最小值为，即，其和为．故答案为：62．15．(1)，(2)，，且，T中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，；(3)1349【详解】（1），，集合，集合.（2）略（3）设集合满足题意，其中，则，，，由容斥原理，，的最小元素为0，最大元素为，，解得实际上时满足题意，证明如下：设，则，题意有，即，m的最小值为675，当m=675时，集合A中元素最多，即时满足题意综上，的最大值为1349.16．(1)(2)或(3)【详解】（1）由，则，当时，，可得，由，当且仅当时等号成立，显然不等式恒成立；当时，，可得，则，解得；综上，可得.（2）由题意，等价于函数与直线恰有两个交点，①当时，，在上，令，整理可得，，且当时，，故函数与直线在必存在一个交点；当时，易知函数在上单调递减，则，令，解得，在时，，当且仅当时等号成立，，则在上恒成立，令解得，则在上，当时，函数与直线有唯一交点；当时，，此时函数与直线在上有两个交点，不符合题意.②当时，同上函数与直线在必存在一个交点，由（1）可知在上，，当且仅当时，等号成立，不符合题意.③当时，，在上，当且仅当时等号成立，此时函数与直线无交点；当时，任意取，令，，由，可知，，则，，，则，故函数在单调递减，，易知此时函数与直线在上存在唯一一个交点，不符合题意；当时，在上，，当且仅当时等号成立，令，解得，此时函数与直线在上恰有两个交点，符合题意；综上，或.（3）由（2）易知，当时，在上，，符合题意；当时，任意取，令，，由，可知，则，即，故，可得在单调递增，即，由（2）可知，此时在上，，故在上，令，解得，综上，.17．(1)(2)（i）且；（ii），实际意义为：当时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的总检验次数，说明逐份检验较好.【详解】（1）设恰好经过3次检验能把不合格产品样本全部检验出来为事件A，所以，所以恰好经过3次检验就能把不合格产品样本全部检验出来的概率为．（2）（i）由已知得，的所有可能取值为1，．所以，所以，若，则，所以，，所以，即，所以p关于k的函数关系式为且).（ii）将份产品样本随机分为组，每组份，则，的可能取值有，则，所以，又，所以，即，整理得，两边同时取自然对数，得，即.设，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，此时且，又是的正因数，所以，所以，得，所以，即的取值范围为.实际意义为：当时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的总检验次数，说明逐份检验较好.18．(1)适宜(2)(3)【详解】（1）适宜；（2）由得，令，，，由图表中的数据可知，，所以，则关于的回归方程为；（3）时，由回归方程，，即鸡舍的温度为时，即的时段产量的预报值为，投入的陈本预报值为