广西柳州市柳江中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试卷（含答案）

/2028届高二（上）数学（2）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【详解】由题意得，则对应于复平面的点为，在第一象限.2.经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率，又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为.故选：B3.点到直线的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】点到直线的距离为.4.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据奇函数性质计算即可求解.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以.故选：D5.若，，，则下列结论错误的是（）A.事件与相互独立 B.C.事件与互斥 D.【答案】C【解析】【分析】利用事件相互独立的定义判断A项；利用随机事件的概率加法公式计算判断B项；根据互斥事件的概率公式判断C项；利用事件相互独立的性质计算判断D项.【详解】对于A，由可得,因,则事件与相互独立，故A正确；对于B,因,故B正确；对于C，因，故事件与不互斥，即C错误；对于D，由A项可得事件相互独立，故,即D正确.6.若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值.【详解】取为基底，不妨设，则由题意知，，，又，，所以，设直线与所成角为（），则，直线与所成角的正弦值为.7.在中，，，，O是的外心，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用余弦定理求得，进而利用正弦定理求得，利用二倍角的正弦求得，进而求得的面积.【详解】由余弦定理，得，所以，又因为，，所以，所以，，所以的面积为．8.已知为正实数，且，则下列选项错误的是（）A.的最大值为 B.的最小值为1C.的最小值为8 D.的最小值为【答案】B【解析】【分析】先利用指数运算得，然后利用基本不等式求解判断A；利用二次函数性质求解判断B；利用基本不等式的常数代换技巧求解判断C；先利用已知得，然后利用基本不等式求解判断D.【详解】因为，所以，又为正实数，A：由基本不等式：，两边平方得，即，当且仅当等号成立，即，因此的最大值为，故A正确；B：将代入得：，这是开口向上的二次函数，对称轴，代入得最小值为，故B错误；C：，得到的最小值为8，当且仅当等号成立，故C正确；D：，由（1）知，所以，即，当且仅当等号成立，符合条件，因此的最小值为，故D正确.二、多选题多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于直线：，下列说法正确的有（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为2C.直线经过第一、二、三象限D.直线与直线平行【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可.【详解】直线：可化为.对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确；对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误；对于C，作出直线的图象如下：由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确；对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误.10.已知函数，则（）A.在区间上单调递增B.的最大值是C.的一条对称轴为D.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】BCD【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平移规律逐项判断即可。【详解】，对于A：，单调递增区间应满足，解得，所以单调递增区间为，因为不完全在增区间内，故A错误；对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确；对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确；对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.11.如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（）A.三棱锥的体积为B.直线与直线所成角的余弦值为C.直线与平面所成角的正弦值为D.三棱锥外接球的体积是【答案】ACD【解析】【分析】选项A，由题意平面，可得为底面上的高，然后计算的面积，利用求解即可.选项B，利用向量夹角公式，再结合在中由余弦定理计算，利用向量的数量积以及线性运算进行转化，最终得到直线与直线所成角的余弦值为；选项C，利用等体积法，求出点到平面的距离，然后利用线面角的定义得到直线与平面所成角的正弦值为；D选项，先求出的外接圆半径，然后构造直角三角形得到，解得外接球半径，再利用球的体积公式求解即可.【详解】由题意可得，又因为，平面，所以平面，所以为底面上的高，选项A，因为由翻折得到，所以.在中，，边上的高为，所以，A正确选项B，在中，，可得，所以直线与直线所成角的余弦值为，B错误.选项C，由题意得，设点到平面的距离为，由，可得，解得所以直线与平面所成角的正弦值为，C正确.选项D，由选项B知，，所以，所以的外接圆半径设三棱锥的外接球半径为，因为平面，所以，解得.所以外接球的体积是，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥展开图的侧面积为π，且为半圆，则底面半径为_______．【答案】【解析】【分析】由展开图面积求得母线长，即展开图半圆半径，然后由弧长求得圆锥底面半径．【详解】设底面半径为，母线长为，由已知，，，，故答案为：．13.过点且与直线垂直的直线方程为_______.【答案】【解析】【详解】直线的斜率为，设待求直线斜率为，则由题意，得，解得.所以待求直线方程为，即.14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________.【答案】【解析】【分析】，表示点到点和的距离之和，找出关于轴对称的点，作图数形结合即可求出答案.【详解】，表示点到点和的距离之和，如图所示，点是关于轴的对称点，所以，，故最小值为，此时的方程为，令，解得，所以当时，取得最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明：取的中点F，连接，，因为E是的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）【解析】【分析】（1）通过中点来证明四边形是平行四边形，然后根据线面平行的判定定理证明即可.（2）先通过线面垂直的判定定理证明平面，，然后建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过向量法求得面面夹角的余弦值.【小问1详解】略.【小问2详解】因为，的延长线交于一点，平面，平面，所以平面，又因为，所以，，两两垂直，所以以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量，则，即，取，得，设平面的一个法向量，则，即，取，得，设平面与平面的夹角为，则.16.已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、．（1）求的面积；（2）求圆的标准方程；（3）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积；（2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；（3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程.【小问1详解】因为、，所以线段的中垂线方程为，易知点为直线与直线的交点，联立得，故点，故.【小问2详解】由（1）可知圆的半径为，故圆的标准方程为.【小问3详解】设点、，由线段中点坐标公式可得，所以，因为点在圆上，所以，化简得.故点的轨迹方程为.17.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.【小问2详解】由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.18.如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）由题意知：，，平面，∴平面，又∵平面，所以．又点C为的中点，所以，又，平面，所以平面，又∵平面，所以．（2）【解析】【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可．【小问1详解】略【小问2详解】由（１）知平面，以O为原点，，的方向分别作为x，z轴，底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，又，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则．19.如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动．（1）若，证明：平面；（2）若，且，证明：平面平面；（3）求二面角的余弦值的最小值．【答案】（1）如图，作出符合题意的图形，连接，相交于点，连接，四边形为菱形，所以为中点，又为中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如图，作出符合题意的图形，因为，有，所以，得，有是靠近的三等分点，则，又，，，所以，，，则，即，，又，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明；（2）利用等