2026-2027学年吉林省延边州延吉市第三高级中学高三（上）诊断性数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年吉林省延边州延吉市第三高级中学高三（上）诊断性数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,−1,0,1}，B={x|2x2+3x≤0}，则A∩B=A.{−2,−1,0} B.{−2,1} C.{0,1} D.{−1,0}2.若复数z满足z=i1−i，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=(−2,4)，b=(2,x)，若a//bA.25 B.46 C.4.已知sinβ=13，cos(α+β)=−1，则sin(α+2β)A.1 B.−1 C.13 D.5.“a=−6”是“直线x−y−2=0与圆x2+y2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知二项式(ax+bx)5的展开式中所有项的系数和为32，若X∼N(1,4)，且P(X<a)=0.2，则A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.87.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有(

)A.24种 B.36种 C.48种 D.96种8.已知函数f(x)=x2+6x+3(x≤0)elnxx(x>0)，若函数g(x)=f(x)−3m有4A.(0,13) B.(0,23)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得它们重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210(单位：g)，重量在[195,205](g)内的水果为优质水果，则(

)A.这10个数据的第30百分位数为198

B.这10个数据的中位数与众数相等

C.从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大

D.估计这块水果园中优质水果占60%10.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=2A.a2<0 B.a5>0

C.S9=0 D.当11.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，动点M在线段PC上，则(

)A.四棱锥P−ABCD的外接球表面积为6π

B.存在点M，使得AC⊥BM

C.MB+MD的最小值为304

D.点M到直线AB的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知F(2,0)是双曲线C：x22m−y22=1的一个焦点，则13.已知抛物线C：x2=my(m>0)的焦点为F(0,1)，点A在抛物线上，若E(3,5)，则△AEF周长的最小值为

．14.已知幂函数f(x)经过点(2,8)，函数g(x)=3x−3−x+f(x)满足g(2m)+g(m2)<0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

(1)求A；

(2)若a=2，2bsinC=csin2B16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点．

(1)若F，G分别为PD，PE的中点，求证：FG//平面PAB；

(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．17.(本小题15分)

甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为n(n≥2)，设每次射击甲射中目标的概率为35，乙射中目标的概率为p(0<p<1)，若射击2次甲胜出的概率为25，各次射击结果独立．

(1)求p；

(2)求射击2次甲得分X的分布列及均值；

(3)若甲胜出的概率为Pn(A)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx−mx(m∈R)．

(1)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当x>1时，不等式f(x)+lnx+3>0恒成立，求整数m的最大值．19.(本小题17分)

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率为e=22，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设MN，PQ是椭圆C过原点O的两条弦，且MN⊥PQ，求证：1|MN|2+1|PQ|21.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】y=±x

13.【答案】11

14.【答案】(−2,0)

15.【答案】解：(1)sin⁡A+3cos⁡A=2⇒sin⁡(A+π3)=1，

∴A+π3=2kπ+π2(k∈Z)，

又A∈(0,π)，∴A=π6

(2)由正弦定理可知bc=sinBsinC

16.【答案】(1)证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，

∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形，且∠ADC=90°，∠BAC=90°，

不妨设AD=CD=2，∴AC=AB=22，∴BC=4，

∵E、F分别为BC、PD的中点，

∴FN=12AD=1，GM=12BE=1，且FN/​/AD，GM//BC．

∵∠DAC=45°，∠ACB=45°，

∴AD//BC，

∴FN//GM，

∴四边形FGMN为平行四边形，

∴FG//MN，

∵FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB17.【答案】13；

分布列见解析，E(X)=1915；

18.【答案】解：(1)当m=2时，f(x)=xlnx−2x，f(1)=−2，

因为f′(x)=lnx+1−2=lnx−1，所以f′(1)=−1，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+1=0．

(2)由题意，知xlnx−mx+lnx+3>0对任意x>1恒成立，

可知m<lnx+lnx+3x对任意x>1恒成立．

设函数g(x)=lnx+lnx+3x(x>1)，只需m<g(x)min．

对函数g(x)求导，得g′(x)=1x+1−(lnx+3)x2=x−lnx−2x2．

设函数h(x)=x−lnx−2(x>1)，

对函数h(x)求导，得h′(x)=1−1x=x−1x>0，

所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增．

又h(3)=1−ln3<0,h(72)=32−ln72>0，

所以存在x0∈(3,72)，使h(x0)=0，即x019.【答案】解：(1)由题意e=ca=22，2a=4，

则a=2，c=2，所以b2=4−2=2，

所以椭圆C的方程为x24+y22=1；

(2)证明：若直线MN，PQ其中一个斜率不存在，

可得：1|MN|2+1|PQ|2=142+1(22)2=