2026秋 第三章一次方程与方程组 情境卷（含解析）沪科版数学七年级上册

七上第三章一次方程与方程组情境测试题一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）1．下列各式中，属于方程的是（

）A． B． C． D．2．下列方程中，是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．3．已知关于的方程的解是，则的值为（

）A．3 B．7 C．10 D．134．方程的解是（

）A． B． C． D．5．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（

）A． B． C． D．6．关于，的方程组的解中，则的取值为（

）A． B． C． D．7．若是关于，的二元一次方程，则m-n的值是（

）A．1 B． C．5 D．8．（新情境试题·数学传统文化）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（

）A． B．C． D．9．一项工程甲队单独做需40天完成，乙队单独做需60天完成，甲队先单独做5天，然后甲、乙两队合作完成这项工程．若两队合作天完成这项工程，根据题意可列方程，列该方程所依据的相等关系是（

）A．甲队5天的工作量+乙队的工作量=总工作量B．甲队5天的工作量+两队合作的工作量=总工作量C．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作天数=总工作量D．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×总工作天数=总工作量10．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（

）A． B． C． D．二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）11．（新情境试题·社会热点型）2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元．12．如果，那么__________．13．已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________．14．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________．三、解答题（共9题，其中15-18题每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，共90分）15．解方程．(1)(2)(3)(4)16．解方程组：(1)；(2)．17．小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置．(1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？(2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？18．（新情境试题·新定义问题）定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定．例如：．(1)计算：；(2)若，求x的值；(3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）．19．为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）：收费方式年用水量/单价（元/）第一阶梯0~1804.5第二阶梯181~2406第三阶梯240以上8(1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元；(2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量．20．（新情境试题·新定义问题）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．(1)若与是“差解方程”，则______；(2)若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______．21．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t．(1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？(2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？(3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？22．（新情境试题·材料阅读理解型）【阅读材料】关于x，y的二元一次方程组把每个方程中未知数x，y的系数分别互换（常数项不变），得到的新方程组称为原方程组的“倒位方程组”．如果原方程组和它的“倒位方程组”有完全相同的解，则原方程组为“自倒方程组”．【初步感知】(1)方程组的“倒位方程组”为，该方程组（选填“是”或“不是”）“自倒方程组”．【深入探究】(2)若关于x，y的方程组是“自倒方程组”，求m的值和该方程组的解．【拓展延伸】(3)已知关于x，y的方程组是“自倒方程组”，且，，，，求a，b，c，d，m，n应满足的数量关系．23．如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇．(1)若长方形周长为，求和的长度；(2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间．答案解析部分1．D【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项．【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意；B、不是等式，不是方程，不符合题意；C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意；D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意．2．A【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项．【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意；B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意．3．B【分析】将方程的解代入原方程转化为关于参数m的方程计算即可．【详解】解：把代入，得，解得．4．B【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程，即可得出答案．【详解】解：去括号得，，移项、合并同类项得，，系数化为得．5．C【分析】将每个选项中的方法计算出来再判断即可．【详解】解：选项：，得，不能消去未知数，消元错误；选项：，得，不能消去未知数，消元错误；选项：，得，消去未知数x，符合加减消元要求，消元正确；选项：，得，不能消去未知数，消元错误．6．B【分析】先将代入求出，再将，代入求解即可．【详解】解：将代入，得，解得；将代入，得，解得．7．C【分析】根据二元一次方程的定义，列关于，的方程和不等式，求解后代入计算的值．【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，∴且且且，∵，解得．∵，∴，则．∵，解得．∵，∴，则．∴．8．B【分析】先利用甲给乙10钱后两人钱数相等的关系排除错误选项，再验证倍数关系对应的方程．【详解】解：由甲给乙10枚后两人钱币数相等，得，由乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍，得，∴可得方程组为．9．B【详解】解：总工作量记为1．甲队单独做5天的工作量为，甲、乙合作天的工作量为．方程的等量关系为甲队5天的工作量与两队合作的工作量之和等于总工作量，对应选项B．10．A【分析】设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为，根据题意，列出方程组进行求解即可．【详解】解：设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为，由题意得，两式相加，得，解得，故甲乙两地公路长为．11．【分析】设标价为元，根据售价等于标价乘以折扣率，同时售价也等于进价乘以加利润率，建立一元一次方程求解．【详解】解：设这款手工生肖马窗花的标价为元．根据题意，得：解得：，故这款手工生肖马窗花的标价为元．12．【分析】根据非负数之和为0，得到二元一次方程组，解出x、y的值，再代入计算．【详解】解：，，且，，得，，．把代入①，得．∴．∴．13．【分析】两个方程组解相同，说明解是四个方程的公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出的值，即可计算．【详解】解：两个方程组的解相同，公共解满足两个不含参数的方程，联立得，得：，解得：，把代入得：，解得：，把、代入含的方程，得：，解得：，．14．【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：，若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：，联立两个方程得：．15．(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：16．(1)(2)【详解】（1）解：得解得将代入①得解得，∴方程组的解为；（2）解：将①代入②得解得将代入①得∴方程组的解为．17．(1)小华用能追上小明(2)小华起跑后两人首次相遇【分析】（1）设小华用能追上小明，根据题意列一元一次方程求解；（2）设小华起跑后两人首次相遇，根据题意列一元一次方程求解．【详解】（1）解：设小华用能追上小明，根据题意得，解得，答：小华用能追上小明；（2）解：设小华起跑后两人首次相遇，根据题意得，解得答：小华起跑后两人首次相遇．18．(1)；(2)；(3)解：取，，此时，，∵，与不一定相等．【分析】（1）将，代入新运算定义式计算．（2）根据新运算定义列一元一次方程求解．（3）选取具体有理数代入新运算证明结论．【详解】（1）解：由新运算定义，代入，得：；（2）解：根据题意得：，解得；（3）略．19．(1)810；1170(2)【分析】（1）根据收费标准计算即可；（2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可．【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元），乙户居民的水费为（元）．（2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元．由于810元元元，所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足．设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得，解得，答：丙户居民2025年的用水量为．20．(1)4(2)或【分析】（1）求出两个方程的解，再根据定义解答即可．（2）求出两个方程的解，再根据定义解答即可．【详解】（1）解：解方程，得，解方程，得，∵与是“差解方程”，∴，∴．（2）解：解方程，得，解方程，得，∵方程与方程是“差解方程”，∴，即，解得或．21．(1)每辆甲种货车载重量为，每辆乙种货车载重量为(2)共有4种安排方案：①3辆甲种货车，15辆乙种货车；②7辆甲种货车，10辆乙种货车；③11辆甲种货车，5辆乙种货车；④15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种(3)安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为17100元【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）根据（1）中的结果列二元一次方程，用其中一个未知数表示另外一个未知数，找到整数解，并列出安排方案即可；（3）分别代入（2）中的安排方案，求出不同方案所需的费用，比较得出最省钱的方案即可．【详解】（1）解：设每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为，则由题意，得，解得，∴每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为；（2）解：设安排m辆甲种货车，n辆乙种货车，由题意，得，即，∵m，n为非负整数，∴可能的情况有，，，，∴共有4种安排方案：①3辆甲种货车，15辆乙种货车；②7辆甲种货车，10辆乙种货车；③11辆甲种货车，5辆乙种货车；④15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种；（3）解：由题意，得方案①每天的费用为（元）；方案②每天的费用为（元）；方案③每天的费用为（元）；方案④每天的费用为（元），∵，∴安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为（元）．22．(1)；不是；(2)；(3)如果是“自倒方程组”，那么【详解】解：（1）方程组的“倒位方程组”为；解得解得∴不是“自倒方程组”．（2）方程组的“倒位方程组”是∵该方程组是“自倒方程组”，∴它们的解相同．联立得解得把代入，解得．（3）是“自倒方程组”，与解相同．联立可得，，则．代入方程，得．同理可得，．综上，如果是“自倒方程组”，那么．23．(1)，(2)或．【分析】（1）根据长方形周长以及，两点在点处首次相遇，可得，，再进一步求解即可；（2）由（1）得：，设，则，可得长方形周长为，设的速度为，则的速度为，再分两种情况讨论．【详解】（1）解：∵长方形周长为，∴，，，即，∵点运动的速度是点运动速度的倍，∴运动时间相同时