2026秋浙教版七年级上册 第三章 实数单元测试·强化卷（含答案解析）

第三章实数（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．在实数3，−3，0，14中，最小的数是（

A．−3 B．0 C．14 D．2．计算9=（

A．3 B．3 C．−3 D．±33．在下列各数227，4，5，8，−π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列说法中，正确的是（

）A．数轴上的点都表示有理数B．用根号表示的数不一定都是无理数C．127的立方根是±D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数5．下列各式中，计算正确的是（

）A．4=±2 B．±9=3 C．36．−27的立方根是（

）A．3 B．−3 C．±3 D．±7．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈.已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为150cm2，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小A．3cm B．4cm C．5cm8．一个正数的两个平方根是2m−1和m+1，则这个数是（

）A．2 B．−2 C．4 D．19．已知m，n是连续的两个整数，且m<10+1<n，则mn的值为（A．6 B．12 C．20 D．3010．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为−1，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为（

）A．2−2 B．2−2 C．1−2二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）

11．−812的平方根是12．若a的平方等于16，则a=．13．比较大小：5−121．（填“>”“<”或“14．已知32.37≈1.333，323.7≈2.87215．已知x表示不大于x的最大整数，那么1+216．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把2表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1．以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2；以点三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）（1）计算：3−8−（2）解方程x−218．（8分）把下列各数分别填入相应的集合里：−−5，2.525525552⋯（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，−π，−−34，0.12，−(1)负数集合：{__________________________}；(2)非负数集合：{__________________________}；(3)分数集合：{__________________________}；(4)无理数集合：{__________________________}；19．（8分）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与3a−17．(1)求a, (2)求关于x的方程ax20．（8分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为14cm(1)小正方形纸片的边长为cm；(2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为2:1，且面积为12cm21．（10分）对于立方根，我们曾经得出以下规律：被开方数扩大（缩小）1000倍，立方根扩大（缩小）10倍，即若3a=b，则证明：∵3a=b∴1000a=1000b3=10b×10b×10b=∴3应用：已知33则33000≈___________，22．（10分）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道2是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于1<2<2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，差就是小数部分为(1)11的整数部分是_____，小数部分是_____；(2)若a是95的整数部分，b是7的小数部分，求2a+b−723．（10分）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______；(2)请你参照上面的方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及a−4．（图中标出必要线段的长）24．（10分）新定义：若无理数T的被开方数(T为正整数)满足n2<T<n+12(其中n为正整数)，则称无理数T的“青一区间”为n,n+1；同理规定无理数−T的“青一区间”为(−n−1,−n)．例如：因为12<2<22(1)17的“青一区间”为；−23的“青一区间”为(2)若无理数a(a为正整数)的“青一区间”为2,3，a+3的“青一区间”为3,4，求3a+1(3)实数x，y，满足关系式：x−3+2023+y−4第三章实数（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．在实数3，−3，0，14中，最小的数是（

A．−3 B．0 C．14 D．【答案】A【分析】本题考查比较实数的大小关系，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可．【详解】解：∵1<3∴−3<0<1∴最小的数为−3；故选A．2．计算9=（

A．3 B．3 C．−3 D．±3【答案】A【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：9=3故选：A．3．在下列各数227，4，5，8，−π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查无理数及算术平方根，熟练掌握无理数的定义及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据无理数是无限不循环小数及算术平方根可进行求解．【详解】解：4由题意知：5，8，−π，是无理数，其他几个数都是有理数；所以无理数有3个；故选C．4．下列说法中，正确的是（

）A．数轴上的点都表示有理数B．用根号表示的数不一定都是无理数C．127的立方根是±D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数【答案】B【分析】本题考查了立方根，平方根，数轴上的点与实数，无理数等，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据数轴上的点的特征，无理数的概念，立方根的概念，平方根的概念一一判断即可．【详解】解：A．数轴上的点都表示实数，故选项错误；B．带根号的数不一定都是无理数，如4=2C．127的立方根是1D．任何实数的平方根不一定都有两个，如0的平方根是0，只有一个，故选项错误；故选：B．5．下列各式中，计算正确的是（

）A．4=±2 B．±9=3 C．3【答案】C【分析】本题考查了平方根和算术平方根、立方根．根据平方根和算术平方根、立方根的定义即可求解．【详解】解：A、4=2≠±2B、±9C、364D、(−6)2故选：C．6．−27的立方根是（

）A．3 B．−3 C．±3 D．±【答案】B【分析】本题考查了立方根，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据立方根的定义求解即可．【详解】解：−27=那么−27的立方根是：3−27故选：B．7．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈.已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为150cm2，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小A．3cm B．4cm C．5cm【答案】B【分析】根据题意，利用算术平方根的定义求得小宇制作的正方体礼盒的棱长，然后将其减去1即可．本题考查算术平方根，几何体的表面积，理解题意并求得小宇制作的正方体礼盒的棱长是解题的关键．【详解】解：∵小宇制作的正方体礼盒的表面积为150cm∴其棱长为1506∵小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小1cm∴小恒制作的正方体礼盒的边长为5−1=4cm故选：B．8．一个正数的两个平方根是2m−1和m+1，则这个数是（

）A．2 B．−2 C．4 D．1【答案】D【分析】本题考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知2m−1+m+1=0【详解】解：由题意得：2m−1+m+1=0解得：m=0，∴2m−1=−1，∴这个数是−12故选：D．9．已知m，n是连续的两个整数，且m<10+1<n，则mn的值为（A．6 B．12 C．20 D．30【答案】C【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先估算出10的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．【详解】解：∵9<10<16，∴3<10∴4<10∵m<10∴m=4，∴mn=4×5=20故选：C．10．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为−1，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为（

）A．2−2 B．2−2 C．1−2【答案】D【分析】本题考查了算术平方根，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由题意得出AD=AE=2【详解】解：∵正方形ABCD的面积为2，∴AD=2∴AD=AE=2∵点A表示的数为−1，∴数轴上点E所表示的数为2−1故选：D．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）

11．−812的平方根是【答案】±9【分析】本题考查了二次根式的性质、平方根的定义，将−812化简是解题的关键．先化简−81【详解】解：∵−81∴−812的平方根是故答案为：±9．12．若a的平方等于16，则a=．【答案】±4【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义即可得到答案．【详解】解：由题可知：a2∴a=±4，故答案为：±4．13．比较大小：5−121．（填“>”“<”或“【答案】<【分析】此题主要考查了实数的大小的比较．先估算出5，再估算出5−1，最后估算出5【详解】解：∵4<5<9，∴2<5∴1<5∴12故答案为：<．14．已知32.37≈1.333，323.7≈2.872【答案】13.33【分析】本题主要考查了立方根的求解，立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则．对立方根进行变式，然后根据给出的值进行求解即可．【详解】解：3故答案为：13.33．15．已知x表示不大于x的最大整数，那么1+2【答案】606【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键．先分别估算出各无理数的整数部分，然后再计算即可．【详解】解：由题意可得：1=4=9=16=25=36=49=64=81=所以1=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×18=3+10+21+36+55+78+105+136+162=606．故答案为：606．16．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把2表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1．以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2；以点【答案】2−2/【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用A1表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算A1B【详解】解：由题意得，点A1表示的数为2∵1<∴1<2∴B1∴A1则A2表示的数为2+2−∵1<2∴−2<−2∴2<4−2∴B2∴A2同理可得A3A4A5……，以此类推可得，当n为奇数时，AnBn=2−2∴A7故答案为：2−2三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）（1）计算：3−8−（2）解方程x−2【答案】（1）−2；（2）4．【分析】本题考查了实数的运算，利用立方根定义解方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）先根据立方根，平方根，绝对值的意义化简，再计算即可；（2）直接利用立方根定义解方程即可．【详解】解：（1）3=−2−1+3−2=−2；（2）x−23x−23x−2=2，x=4．18．（8分）把下列各数分别填入相应的集合里：−−5，2.525525552⋯（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，−π，−−34，0.12，−(1)负数集合：{__________________________}；(2)非负数集合：{__________________________}；(3)分数集合：{__________________________}；(4)无理数集合：{__________________________}；【答案】(1)−(2){2.525525552⋯（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，−−34，0.12，−−6，π(3)−(4){2.525525552⋯（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），−π，【分析】本题考查实数的分类，先化简各数，再根据负数、非负数、分数、无理数的定义，直接填空即可．【详解】（1）解：−−5=−5，−−34负数集合：−−5（2）解：非负数集合：{2.525525552⋯（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，−−34，0.12，−−6，π3（3）解：分数集合：−−（4）解：无理数集合：{2.525525552⋯（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），−π，π19．（8分）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与3a−17．(1)求a, (2)求关于x的方程ax【答案】(1)a=3，m=64；(2)x=3．【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算．（1）运用平方根知识列出方程并求解；（2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解．【详解】（1）解：由题意得，a+5+3a−17=0，解得a=3，∴m=a+5（2）解：由（1）所求a=3，∴关于x的方程ax3−81=0移项，得3x化系数为1，得x3开立方，得x=3．20．（8分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为14cm(1)小正方形纸片的边长为cm；(2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为2:1，且面积为12cm【答案】(1)7(2)不能，理由见解析【分析】本题考查算术平方根的应用，（1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可；（2）根据剪出的大长方形的面积为12cm【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半，∴小正方形的面积为14÷2=7(cm设小正方形的边长为a，则a2∴a=7故答案为：7；（2）解：不能，理由如下：大正方形的边长为：14cm∵长方形的长宽之比为2:1，∴设长方形的长和宽分别是2xcm，x∴2x⋅x=12，∴x∵x>0，∴x=6∴长方形的长为2x=26∵6>2，∵26∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形．21．（10分）对于立方根，我们曾经得出以下规律：被开方数扩大（缩小）1000倍，立方根扩大（缩小）10倍，即若3a=b，则证明：∵3a=b∴1000a=1000b3=10b×10b×10b=∴3应用：已知33则33000≈___________，【答案】a；10b；14.423；−0.31072【分析】本题主要考查了有理数的乘方法则，立方根，熟练掌握题干中的方法，并熟练运用是解题的关键．利用有理数的乘方法则和立方根的意义解答即可．【详解】解：∵3a=b∴1000a=1000b∴3应用：已知33则33000≈14.423，22．（10分）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道2是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于1<2<2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，差就是小数部分为(1)11的整数部分是_____，小数部分是_____；(2)若a是95的整数部分，b是7的小数部分，求2a+b−7【答案】(1)3，11(2)±4【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键．（1）根据3<11（2）根据9<95<10，2<7<3，求出【详解】（1）解：9<11<16，∴3<∴11的整数部分是3，小数部分是11−3故答案为：3，11−3（2）解：∵81<95<100∴9<95∴a=9，b=∴2a+b−7∵16的平方根是±4，∴2a+b−7的平方根是±423．（10分）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______；(2)请你参照上面的方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及a−4．（图中标出必要线段的长）【答案】(1)−2，(2)①5，画图见解析；②画图见解析【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数．（2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原