第一章 集合与常用逻辑用语 单元质量测评（含解析）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第一章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{0，2，4，6，8}，N＝{x∈N＋|0≤x<6}，则M∩N＝()A．{0，2，4} B．{0，2}C．{2，4} D．{2}2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥03．“x＝1”是“x2＋x－2＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅5．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x”为真命题，“∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x”为真命题，那么p，q的取值范围分别为()A．{p|p>0}，{q|q>0}B．{p|p>0}，{q|q>2}C．{p|p>2}，{q|q>0}D．{p|p>2}，{q|q>2}6．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为()A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7} D．∅7．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，则满足条件的集合C的个数为()A．8 B．12C．16 D．248．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))B．A∩(∁RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x＜2))))C．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))D．(∁RA)∪B＝R10．下列说法正确的是()A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件B．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则綈p：某班至少有一个女生爱踢足球C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”D．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{eq\r(2)，eq\r(3)}，B＝{1，eq\r(2)}，则()A．当x＝eq\r(2)，y＝eq\r(2)时，z＝1B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有四个式子C．A⊗B中有4个元素D．A⊗B的真子集有7个三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．设集合S＝{x|x>3，或x<－2}，T＝{x|a<x<a＋6}，S∪T＝R，则a的取值范围是________．13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“a，b都为0”的必要条件是________；(2)“a，b都不为0”的充分条件是________；(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________．14．高一某班共有54名学生，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门学科中选择三门进行学习．已知选择物理、化学、生物的各有至少25人，这三门学科都不选择的有8人，这三门学科都选择的有8人，三门学科中任选两门的均至少有15人．三门学科中只选物理与只选化学的均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选择生物的学生至多有________人．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N，2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0；(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；(4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}．16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1，或x≥m＋1}．(1)当m＝0时，求A∩B；(2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．17．(本小题满分15分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．18．(本小题满分17分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充要条件．19．(本小题满分17分)已知集合Mn＝{1，2，…，2n}(n∈N，n≥4)，若数组An＝(a1，a2，…，an)，Bn＝(b1，b2，…，bn)满足：①{a1，a2，…，an}∪{b1，b2，…，bn}＝Mn；②ai－bi＝i(i＝1，2，…，n)．则称集合Mn为“漂亮集合”，并称(An，Bn)为Mn的“配对数组”．(1)已知A4＝(8，a，b，6)，B4＝(7，c，1，2)，若(A4，B4)是M4的一个“配对数组”，写出a，b，c的值；(2)判断M6是否是“漂亮集合”，并证明你的结论；(3)若集合Mn是“漂亮集合”，证明：集合Mn的“配对数组”为偶数个．第一章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{0，2，4，6，8}，N＝{x∈N＋|0≤x<6}，则M∩N＝()A．{0，2，4} B．{0，2}C．{2，4} D．{2}答案：C解析：由题意可知，N＝{1，2，3，4，5}，所以M∩N＝{2，4}．故选C.2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案：C解析：“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．3．“x＝1”是“x2＋x－2＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1，所以“x＝1”是“x2＋x－2＝0”的充分不必要条件．故选A.4．设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅答案：A解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.5．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x”为真命题，“∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x”为真命题，那么p，q的取值范围分别为()A．{p|p>0}，{q|q>0}B．{p|p>0}，{q|q>2}C．{p|p>2}，{q|q>0}D．{p|p>2}，{q|q>2}答案：C解析：“∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x”为真命题，则p>2，“∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x”为真命题，则q>0.故选C.6．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为()A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7} D．∅答案：C解析：当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅，如图，要使A⊆B，需有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－5≤16，,2a＋1≥5，))解得2≤a≤7，所以6≤a≤7.综上所述，a≤7.7．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，则满足条件的集合C的个数为()A．8 B．12C．16 D．24答案：B解析：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则集合B的子集共有24＝16个，又因为集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，可知C≠∅且C≠{4}，{5}，{4，5}，所以满足条件的集合C的个数为16－4＝12.故选B.8．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：充分性：若D＝0，设c≥b≥a，则D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，所以a＝b或b＝c，则△ABC一定为等腰三角形，所以充分性成立．必要性：若△ABC为等腰三角形，设a＝b，当c≠a时，则b－c与c－a中必然有一个为最大值，另一个为最小值，则D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；当c＝a时，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故选C.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))B．A∩(∁RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x＜2))))C．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))D．(∁RA)∪B＝R答案：AB解析：因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(3,2)))))，所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))，A∩(∁RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x<2))))，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)，或x≥2)))).故选AB.10．下列说法正确的是()A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件B．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则綈p：某班至少有一个女生爱踢足球C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”D．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件答案：AD解析：对于A，“a2＋a≠0”⇔“a≠－1，且a≠0”，“a≠0”“a≠－1，且a≠0”，“a≠－1，且a≠0”⇒“a≠0”，所以“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件，所以A正确；对于B，若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则綈p：某班至少有一个男生不爱踢足球，所以B错误；对于C，“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，所以C错误；对于D，当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，显然交y轴于负半轴，交x轴于正半轴．当一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，即x＝0时，y＝b－5<0，所以b<5.当y＝0时，x＝eq\f(5－b,k－4)>0，因为b<5，所以k>4，所以D正确．故选AD.11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{eq\r(2)，eq\r(3)}，B＝{1，eq\r(2)}，则()A．当x＝eq\r(2)，y＝eq\r(2)时，z＝1B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有四个式子C．A⊗B中有4个元素D．A⊗B的真子集有7个答案：BD解析：当x＝eq\r(2)，y＝eq\r(2)时，z＝(eq\r(2)＋eq\r(2))×(eq\r(2)－eq\r(2))＝0，A错误；由于A＝{eq\r(2)，eq\r(3)}，B＝{1，eq\r(2)}，则z有(eq\r(2)＋1)×(eq\r(2)－1)＝1，(eq\r(2)＋eq\r(2))×(eq\r(2)－eq\r(2))＝0，(eq\r(3)＋1)×(eq\r(3)－1)＝2，(eq\r(3)＋eq\r(2))×(eq\r(3)－eq\r(2))＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B中有3个元素，C错误；集合A⊗B的真子集个数为23－1＝7，D正确．故选BD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．设集合S＝{x|x>3，或x<－2}，T＝{x|a<x<a＋6}，S∪T＝R，则a的取值范围是________．答案：{a|－3<a<－2}解析：借助数轴可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－2，,a＋6>3，))解得－3<a<－2.13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“a，b都为0”的必要条件是________；(2)“a，b都不为0”的充分条件是________；(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________．答案：(1)①②③(2)④(3)①解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0；))④ab>0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))则a，b都不为0.14．高一某班共有54名学生，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门学科中选择三门进行学习．已知选择物理、化学、生物的各有至少25人，这三门学科都不选择的有8人，这三门学科都选择的有8人，三门学科中任选两门的均至少有15人．三门学科中只选物理与只选化学的均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选择生物的学生至多有________人．答案：9解析：把54名学生看成全集U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，选择生物的人组成集合C，选择物理与化学但未选择生物的人组成集合D.要使选择物理与化学但未选择生物的学生人数最多，因为这三门学科都不选择的有8人，这三门学科都选择的有8人，所以其他区域人数均为最少，即只选择物理与只选择化学的均有6人，选择生物的有25人，如图，得该班选择物理与化学但未选择生物的学生至多有54－(8＋6＋7＋8＋6＋7＋3)＝9(人)．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N，2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0；(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；(4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}．解：(1)是全称量词命题．因为对任意自然数x，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是存在量词命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．(4)是存在量词命题，存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题．16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1，或x≥m＋1}．(1)当m＝0时，求A∩B；(2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：(1)当m＝0时，B＝{x|x≤－1，或x≥1}，又A＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|1≤x<3}．(2)因为p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4.所以实数m的取值范围是{m|m≤－2，或m≥4}．17．(本小题满分15分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，实数a的值为－1或－3.(2)对于集合B中的方程，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A.当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件；当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－2（a＋1），,1×2＝a2－5))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,2)，,a2＝7，))矛盾．综上，实数a的取值范围是{a|a≤－3}．18．(本小题满分17分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充要条件．解：∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16－16m≥0，,Δ2＝16m2－4（4m2－4m－5）≥0，))解得－eq\f(5,4)≤m≤1.∵两方程的根都是整数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)∈Z，,4m∈Z，,4m2－4m－5∈Z，))∴4能被m整除．又－eq\f(5,4)≤m≤1，m≠0，m∈Z，∴m＝－1或1.当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；当m＝1时，两方程的根均为整数．又以上过程均可逆，∴这两个方程的根均为整数的充要条件是m＝1.19．(本小题满分17分)已知集合Mn＝{1，2，…，2n}(n∈N，n≥4)，若数组An＝(a1，a2，…，an)，Bn＝(b1，b2，…，bn)满足：①{a1，a2，…，an}∪{b1，b2，…，bn}＝Mn；②ai－bi＝i(i＝1，2，…，n)．则称集合Mn为“漂亮集合”，并称(An，Bn)为Mn的“配对数组”．(1)已知A4＝(8，a，b，6)，B4＝(7，c，1，2)，若(A4，B4)是M4的一个“配对数组”，写出a，b，c的值；(2)判断M6是否是“漂亮集合”，并证明你的结论；(3)若集合Mn是“漂亮集合”，证明：集合Mn的“配对数组”为偶数个．解：(1)根据条件②，得8－7＝1，a－c＝2，b－1＝3，6－2＝4，所以b＝4，根据条件①，得a，c∈{3，5}，由a－c＝2，得a＝5，c＝3.综上所述，a＝5，b＝4，c＝3.(2)M6＝{1，2，3，…，12}，若M6是“漂亮集合”，则M6的任意一个配对数组(A6，B6)的所有元素之和为a1＋a2＋…＋a6＋b1＋b2＋…＋b6＝1＋2＋3＋…＋12＝78，又(a1－b1)＋(a2－