学期综合测评（含解析）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

学期综合测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|x≤－1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则(∁RA)∩B＝()A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－2，－1} D．{1，2}2．设x∈R，则“x<3”是“x2－x－2<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝－x3 B．y＝eq\f(1,x)C．y＝|x| D．y＝eq\f(1,x2)4．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A．3 B．2C．1 D．05．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝()A.eq\f(4\r(2),9) B．－eq\f(4\r(2),9)C.eq\f(7,9) D．－eq\f(7,9)6．设函数f(x)＝taneq\f(x,2)，若a＝f(log32)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do9(\f(1,5))\f(1,2)))，c＝f(20.2)，则()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c7．已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则()A．log2eq\f(y1＋y2,2)<eq\f(x1＋x2,2)B．log2eq\f(y1＋y2,2)>eq\f(x1＋x2,2)C．log2eq\f(y1＋y2,2)<x1＋x2D．log2eq\f(y1＋y2,2)>x1＋x28．已知函数f(x)＝asinx＋bcosx(其中a≠0，b∈R)．若∀x∈R，f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，则下列结论正确的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B．f(x)的图象关于直线x＝eq\f(5π,6)对称C．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))上单调递增D．过点(a，b)的直线与f(x)的图象一定有公共点二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是()A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C．lna>lnb D．2a>2b10．设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥9B．2a＋2b>3C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D．a2＋b2有最小值eq\f(1,2)11．函数f(x)的定义域为R，且f(x)不恒等于零，f(x－1)与f(x－2)都为偶函数，则()A．f(x)为偶函数 B．f(x＋1)为偶函数C．f(x＋2)为奇函数 D．f(x)为周期函数三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．命题p：“∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°”的否定是________．13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(2x－1)＜0的解集为________．14．如图，要在一块半径为6，圆心角为45°的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且F为线段OB的中点．设∠AOP＝α，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为________，此时tanα＝________．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋3)<0))))，B＝{x|x2－4x－5<0}，C＝{x|m<x<2－m，m∈R}．(1)求A∩B；(2)在①B∩C＝C；②B∩C＝∅；③p：x∈C，q：x∈B，p是q的充分不必要条件这三个条件中任选一个填到横线上，并解答．已知________，求实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．16．(本小题满分15分)已知f(x)＝eq\f(tan（x－π）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))cos（－x）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))).(1)若θ是△ABC的一个内角，且f(θ)＝－eq\f(1,2)，求θ的值；(2)已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，f(α－β)＝eq\f(12,13)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（α＋β）))＝－eq\f(3,5)，求f(2α)的值．17．(本小题满分15分)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋eq\f(k,x)(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x的部分数据如下表所示：x10202530Q(x)110120125120已知第10天的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)求该小物品的日销售收入f(x)(单位：元)的最小值．18．(本小题满分17分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，把函数f(－x)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度，得到函数g(x)的图象．(1)当x∈R时，求函数g(x)的解析式；(2)对任意x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,3)))，是否总存在唯一的实数x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,4)))，使得f(x1)＋g(x2)＝m成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)是定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，g(x)＝f(x)，且对任意x∈R，都有g(x)＋g(x＋2)＝0.(1)求使得f(tanx－1)＋f(3tanx－1)<0成立的x的取值集合；(2)求证g(x)是周期为4的周期函数，并求g(x)在区间[－2，2]上的解析式；(3)若不等式g(－sin2x＋sinx＋4)<a(ey＋e－y)对任意x，y∈R恒成立，求实数a的取值范围．学期综合测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|x≤－1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则(∁RA)∩B＝()A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－2，－1} D．{1，2}答案：A解析：因为A＝{x|x≤－1}，所以∁RA＝{x|x>－1}，所以(∁RA)∩B＝{0，1，2}．故选A.2．设x∈R，则“x<3”是“x2－x－2<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由x2－x－2<0，得－1<x<2，因为(－1，2)(－∞，3)，所以“x<3”是“x2－x－2<0”的必要不充分条件．故选B.3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝－x3 B．y＝eq\f(1,x)C．y＝|x| D．y＝eq\f(1,x2)答案：D解析：y＝－x3，y＝eq\f(1,x)为奇函数，A，B不符合题意；y＝|x|为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，C不符合题意；y＝eq\f(1,x2)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，D符合题意．4．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A．3 B．2C．1 D．0答案：B解析：因为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2＝0，,x≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋lnx＝0，,x>0，))解得x＝－2或x＝e，故函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))有两个零点－2，e.故选B.5．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝()A.eq\f(4\r(2),9) B．－eq\f(4\r(2),9)C.eq\f(7,9) D．－eq\f(7,9)答案：D解析：解法一：由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，得eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα＝eq\f(1,3)，即sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，两边平方，得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2,9)，得2sinαcosα＝－eq\f(7,9)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(7,9).解法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－1＝－eq\f(7,9).6．设函数f(x)＝taneq\f(x,2)，若a＝f(log32)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do9(\f(1,5))\f(1,2)))，c＝f(20.2)，则()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c答案：D解析：∵f(x)在(0，π)上单调递增，log32＝eq\f(1,log23)，logeq\s\do9(\f(1,5))eq\f(1,2)＝eq\f(1,log25)，且log25＞log23＞1，∴0<eq\f(1,log25)<eq\f(1,log23)<1，∴0<logeq\s\do9(\f(1,5))eq\f(1,2)<log32<1，又1＜20.2＜2，∴0<logeq\s\do9(\f(1,5))eq\f(1,2)<log32<20.2<π，∴b＜a＜c.7．已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则()A．log2eq\f(y1＋y2,2)<eq\f(x1＋x2,2)B．log2eq\f(y1＋y2,2)>eq\f(x1＋x2,2)C．log2eq\f(y1＋y2,2)<x1＋x2D．log2eq\f(y1＋y2,2)>x1＋x2答案：B解析：由题意不妨设x1<x2，因为函数y＝2x是增函数，所以0<2x1<2x2，即0<y1<y2.对于A，B，因为eq\f(2x1＋2x2,2)>eq\r(2x1·2x2)＝2eq\s\up6(\f(x1＋x2,2))，即eq\f(y1＋y2,2)>2eq\s\up6(\f(x1＋x2,2))>0，又函数y＝log2x是增函数，所以log2eq\f(y1＋y2,2)>log22eq\s\up6(\f(x1＋x2,2))＝eq\f(x1＋x2,2)，故A错误，B正确；对于C，例如x1＝－1，x2＝－2，则y1＝eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1,4)，可得log2eq\f(y1＋y2,2)＝log2eq\f(3,8)＝log23－3∈(－2，－1)，即log2eq\f(y1＋y2,2)>－3＝x1＋x2，故C错误；对于D，例如x1＝0，x2＝1，则y1＝1，y2＝2，可得log2eq\f(y1＋y2,2)＝log2eq\f(3,2)∈(0，1)，即log2eq\f(y1＋y2,2)<1＝x1＋x2，故D错误．故选B.8．已知函数f(x)＝asinx＋bcosx(其中a≠0，b∈R)．若∀x∈R，f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，则下列结论正确的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B．f(x)的图象关于直线x＝eq\f(5π,6)对称C．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))上单调递增D．过点(a，b)的直线与f(x)的图象一定有公共点答案：D解析：函数f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，因为∀x∈R，f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，所以eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，φ＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，取φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝eq\r(a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤eq\r(a2＋b2)，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝asineq\f(π,3)＋bcoseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(1,2)b＝eq\r(a2＋b2)，解得a＝eq\r(3)b>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)))＝eq\r(3)b，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝2bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)b，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，故A错误；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝2bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋\f(π,6)))＝0，故B错误；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))时，x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以f(x)＝2bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))上单调递减，故C错误；因为f(x)是x∈R，且－2b≤f(x)≤2b的周期函数，故过点(a，b)的直线与f(x)的图象一定有公共点，故D正确．故选D.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是()A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C．lna>lnb D．2a>2b答案：AC解析：由题意得4m－1＝1⇒m＝eq\f(1,2)⇒f(x)＝eq\r(x)，由f(a)>f(b)得eq\r(a)>eq\r(b)，则a>b≥0.因为0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇔a>b>0，所以A正确；因为lna>lnb⇔a>b>0，所以C正确；B，D选项中a，b均有可能为负数，不正确．故选AC.10．设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥9B．2a＋2b>3C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D．a2＋b2有最小值eq\f(1,2)答案：ACD解析：eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)时，等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥9，所以A正确；2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，因为2eq\r(2)<3，所以B错误；因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，所以eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(a＋b＋2\r(ab))≤eq\r(1＋2\r(\f(1,4)))＝eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，所以C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，所以D正确．故选ACD.11．函数f(x)的定义域为R，且f(x)不恒等于零，f(x－1)与f(x－2)都为偶函数，则()A．f(x)为偶函数 B．f(x＋1)为偶函数C．f(x＋2)为奇函数 D．f(x)为周期函数答案：ABD解析：根据题意，若f(x－1)为偶函数，即函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则有f(x)＝f(－2－x)，若f(x－2)也为偶函数，即函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，则有f(x)＝f(－4－x)，则有f(－2－x)＝f(－4－x)，变形可得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，D正确；函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称且f(x)的周期为2，则f(x)的图象也关于y轴对称，即f(x)为偶函数，A正确；函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称且f(x)的周期为2，则f(x)的图象也关于直线x＝1对称，即f(x＋1)为偶函数，B正确；同理，f(x＋2)为偶函数，C错误．三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．命题p：“∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°”的否定是________．答案：∃x∈{x|x是三角形}，x的内角和不是180°解析：因为p是全称量词命题，则綈p为存在量词命题．13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(2x－1)＜0的解集为________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)<x<\f(3,4)))))解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(2x－1)＜0等价为f(|2x－1|)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即|2x－1|＜eq\f(1,2)，即(2x－1)2<eq\f(1,4)，得eq\f(1,4)＜x＜eq\f(3,4)，即不等式f(2x－1)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)<x<\f(3,4))))).14．如图，要在一块半径为6，圆心角为45°的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且F为线段OB的中点．设∠AOP＝α，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为________，此时tanα＝________．答案：9eq\f(1,2)解析：由题意知，0°<α<45°且AD＝6sinα，OD＝6cosα，在Rt△BCO中，∠BOC＝45°，所以OC＝BC＝AD＝6sinα，所以CD＝6cosα－6sinα，所以矩形ABCD的面积为AD·CD＝36sinα(cosα－sinα)，因为F为OB的中点，所以EF＝FG＝eq\f(1,2)BC＝3sinα，所以矩形EFGC的面积为GC·FG＝9sin2α，所以两块矩形铁皮的面积之和为S＝36sinα(cosα－sinα)＋9sin2α＝36sinαcosα－27sin2α＝18sin2α－27×eq\f(1－cos2α,2)＝18sin2α＋eq\f(27,2)cos2α－eq\f(27,2)＝eq\f(45,2)sin(2α＋θ)－eq\f(27,2)，其中0°<α<45°，且cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝eq\f(3,5)，假设0°<θ<90°，所以当sin(2α＋θ)＝1时，S取得最大值9，此时2α＋θ＝90°，即2α＝90°－θ，所以tan2α＝tan(90°－θ)＝eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(4,3)，因为tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，所以eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3)，即2tan2α＋3tanα－2＝0，解得tanα＝eq\f(1,2)或tanα＝－2(不符合题意，舍去)．综上可得，当tanα＝eq\f(1,2)时，S取得最大值9.四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋3)<0))))，B＝{x|x2－4x－5<0}，C＝{x|m<x<2－m，m∈R}．(1)求A∩B；(2)在①B∩C＝C；②B∩C＝∅；③p：x∈C，q：x∈B，p是q的充分不必要条件这三个条件中任选一个填到横线上，并解答．已知________，求实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．解：(1)eq\f(x－1,x＋3)<0⇔(x－1)(x＋3)<0，解得－3<x<1，∴A＝{x|－3<x<1}．由x2－4x－5<0，解得－1<x<5，∴B＝{x|－1<x<5}，∴A∩B＝{x|－1<x<1}．(2)选①：∵B∩C＝C，∴C⊆B.当C＝∅，即m≥2－m⇒m≥1时，满足题意；当C≠∅，即m<2－m⇒m<1时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1，,m≥－1，,2－m≤5))⇒－1≤m<1.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．选②：当C＝∅，即m≥2－m⇒m≥1时，满足题意；当C≠∅，即m<2－m⇒m<1时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1，,2－m≤－1或m≥5))⇒m∈∅.综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．选③：由题意CB，当C＝∅，即m≥2－m⇒m≥1时，满足题意；当C≠∅，即m<2－m⇒m<1时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1，,m≥－1，,2－m<5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1，,m>－1，,2－m≤5))⇒－1≤m<1.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．16．(本小题满分15分)已知f(x)＝eq\f(tan（x－π）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))cos（－x）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))).(1)若θ是△ABC的一个内角，且f(θ)＝－eq\f(1,2)，求θ的值；(2)已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，f(α－β)＝eq\f(12,13)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（α＋β）))＝－eq\f(3,5)，求f(2α)的值．解：(1)f(x)＝eq\f(tan（x－π）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))cos（－x）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))＝eq\f(tanxsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))cosx,sinx)＝eq\f(tanxcosxcosx,sinx)＝cosx，因为f(θ)＝cosθ＝－eq\f(1,2)，且θ是△ABC的一个内角，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)因为f(α－β)＝eq\f(12,13)，所以cos(α－β)＝eq\f(12,13).因为eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，所以－eq\f(3π,4)<－β<－eq\f(π,2)，所以0<α－β<eq\f(π,4)，则sin(α－β)＝eq\r(1－cos2（α－β）)＝eq\f(5,13).因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（α＋β）))＝－eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（α＋β）))＝sin(α＋β)＝－eq\f(3,5).因为eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，所以π<α＋β<eq\f(3π,2)，所以cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2（α＋β）)＝－eq\f(4,5)，所以f(2α)＝cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))－eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(33,65).17．(本小题满分15分)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋eq\f(k,x)(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x的部分数据如下表所示：x10202530Q(x)110120125120已知第10天的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)求该小物品的日销售收入f(x)(单位：元)的最小值．解：(1)依题意知，第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(k,10)))×110＝121，得k＝1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b，从表中任意取两组值代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a|10－25|＋b＝110，,a|20－25|＋b＝120，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝125，))∴Q(x)＝125－|x－25|，1≤x≤30，x∈N＋.(3)由(2)知，Q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100＋x，1≤x<25，x∈N＋，,150－x，25≤x≤30，x∈N＋，))∴f(x)＝P(x)·Q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)＋101，1≤x<25，x∈N＋，,\f(150,x)－x＋149，25≤x≤30，x∈N＋，))当1≤x<25时，f(x)＝x＋eq\f(100,x)＋101在[1，10]上是减函数，在[10，25)上是增函数，∴f(x)min＝f(10)＝121；当25≤x≤30时，f(x)＝eq\f(150,x)－x＋149是减函数，∴f(x)min＝f(30)＝124.综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，为121.18．(本小题满分17分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，把函数f(－x)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度，得到函数g(x)的图象．(1)当x∈R时，求函数g(x)的解析式；(2)对任意x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,3)))，是否总存在唯一的实数x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,4)))，使得f(x1)＋g(x2)＝m成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由函数图象可知，A＝2，又eq\f(T,2)＝eq\f(5π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝eq\f(π,2)，ω>0，所以T＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．当x＝－eq\f(π,12)时，f(x)＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))＝0，又在上升期，所以－eq\f(π,6)＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以f(－x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,6)))，再将函数f(－x)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)由f(x1)＋g(x2)＝m，得g(x2)＝m－f(x1)，由－eq\f(π,12)≤x1≤eq\f(π,3)，得0≤2x1＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，所以0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1＋\f(π,6)))≤1，所以m－f(x1)∈[m－2，m]．由eq\f(π,6)≤x2≤eq\f(3π,4)，得eq\f(π,6)≤2x2－eq\f(π,6)≤eq\f(4π,3)，所以－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2)，又y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))上单调递增，coseq\f(4π,3)＝－eq\f(1,2)，coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，由x2的唯一性可得－eq\f(1,2)<coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2)，即g(x2)∈(－1，eq\r(3)]．依题意可得[m－2，m]⊆(－1，eq\r(3)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2>－1，,m≤\r(3)，))解得1<m≤eq\r(3)，所以当m∈(1，eq\r(3)]时，使得f(x1)＋g(x2)＝m成立．19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)是定义