中考数学难题突破之分式

2027年中考数学复习难题速递之分式（2026年7月）一．选择题（共5小题）1．对于分式：x2x-1，例如：|+x2x-1①对于“绝对和差操作”|+x2x-1②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数；③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果．其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③2．若am＝5，bn＝5，ab＝5，则mn2m+2n的值是（A．12 B．1 C．2 D．3．已知关于x的整式A＝2x+1，B＝3x﹣a，其中a为常数，则下列说法：①若A•B＝6x2+7x+m，则m＝2；②若方程AB+1=A+3-B的解为③若对于任意的x，3A-(6x-3)3x-2-B的值均为整数，则所有符合要求的整数a的值有8其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．34．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知a1=x，a2=x2+4x①a2026②若a3a4③若a1•a2•a3…a24•a25＝2，则a30④若a2024-2a2025-2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．要使分式b2①a不变，b变大；②b不变，a变小；③a不变，|b|变大；④b不变，|a|变小．其中正确的序号是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①④二．填空题（共5小题）6．分子为1的真分数叫单位分数（如12，13)，任何一个单位分数都可拆分为两个不同的单位分数的和．例如：12=13+16，13=14+112，14=15+120=16+112，…．设1a=1m+1n（a，m，n均为正整数），我们定义：当|7．已知m2+3m﹣1＝0，则m2+1m2的值为8．设x，y，z为非零实数．若满足1x+1y=1，1y+1z9．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则1a+1b=10．已知a是实数，并且a2﹣2020a+4＝0，则代数式a2-2019a+8080a2+4+4三．解答题（共10小题）11．已知：a、b、c是△ABC的三条边长，记t=(ac（1）若三角形为等边三角形，则t＝；（2）若k＝2，t＝1，求证：△ABC为直角三角形；（3）在△ABC中，若a=12b+2，c＝1，a≥b12．已知实数x，y满足y＞x＞0．（1）因为y＞x＞0，所以xy＞0，在不等式两边同时乘以正数1xy，得1x（2）若存在实数z，k，使得z＞y，且1x+1y+1z（3）在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值．13．在学完分式和不等式的内容后，小明想知道：当0＜x＜y时，x+cy+c与xy（1）问题探究：特殊情形①当0＜x＜y时，若c＝1＞0，作差法：x+1y+1由0＜x＜y，得y﹣x＞0，y＞0，y+1＞0，故差值x+1y+1-结论：x+1y+1②当0＜x＜y时，若c＝﹣1＜0．当y＞1时，x-1y-1xy（填“＞”、“＜”或当0＜y＜1时，x-1y-1xy（填“＞”、“＜”或（2）问题解决：一般情形请你参考问题探究的过程，当0＜x＜y时，比较x+cy+c与x14．定义：如果一个分式A的平方与一个分式B的和等于1，即A2+B＝1，那么就称分式A是分式B的“方和分式”．例如：A=-1x-1，∵A=1=x=(x-1＝1∴-1x-1是（1）请判断3x+2是否为x（2）若分式A是x2-6x+5x（3）若分式kx+1（k为常数）是x2+2x-215．已知分式A=(1+1（1）化简此分式；（2）若x为整数，A的值也是整数，则符合条件的x的值为；（3）分式B=1x2-x，当x＜﹣1时，比较分式16．先化简(x-1-x2x+1)÷x+2x217．先化简，再求值(m+1)(1-2m)-m(-1-2m)+m2-118．定义：如果一个分式A的平方与一个分式B的和等于1，即A2+B＝1，那么就称分式A是分式B的“方和分式”．例如：A=-1x-1，∵A=1=x=(x-1＝1∴-1x-1是（1）请判断3x+2是否为x（2）若分式A是x2-6x+5x（3）若分式kx+1（k为常数）是x2+2x-219．在数学学习过程中，同学们发现许多数学问题可以通过代数方法进行推理证明，也可以通过几何图形进行验证．【实例体验】已知实数x，y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2．代数推理：证明：∵x＞y，x＞0，∴x•x＞x•y，∵x＞y，y＞0，∴x•y＞★，∴x2＞xy，xy＞y2，∴x2＞y2；图形验证：…（1）①★应填写的代数式为；②除了上述方法，还可以利用“作差法”进行证明，请写出证明过程．（2）如图1，请利用边长为x的正方形ABCD，画出一种能验证结论“x2＞y2”的几何图形；【拓展应用】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量．设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n）．（3）甲、乙所购饲料的平均单价哪一个较低？请在以下两种方法中任选一种进行说明：①代数推理；②设m＞n，借助图2的图形进行验证．20．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．如3x+1，xx2类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如x-1x+1=x+1-2根据材料，解决下列问题：【理解知识】（1）分式2026x+2025是分式【掌握知识】（2）将假分式x-3x+2【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式x2

2027年中考数学复习难题速递之分式（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）题号12345答案BACAB一．选择题（共5小题）1．对于分式：x2x-1，例如：|+x2x-1①对于“绝对和差操作”|+x2x-1②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数；③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果．其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【考点】分式的加减法．【专题】分式；运算能力．【答案】B【分析】按照分式运算法则对三个说法逐一验证即可．【解答】解：①|+x∵2x2+2＞0，∴当x+1＜0即x＜﹣1时，|+x②构造“绝对和差操作”计算：|+x0是常数，因此至少存在一种操作得到常数结果，选项说法正确，符合题意；③5个分式，每个分式有2种符号选择，总共有25＝32种操作；∵对任意一种操作，将所有符号同时取反得到的新操作与原操作结果相同，∴必然存在重复结果，因此化简后不可能有32种不同结果，选项说法正确，符合题意．故选：B．【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键．2．若am＝5，bn＝5，ab＝5，则mn2m+2n的值是（A．12 B．1 C．2 D．【考点】分式的值；幂的乘方与积的乘方．【专题】分式；运算能力．【答案】A【分析】利用幂的运算性质，先得到（am）n＝5n，amn＝5n，bmn＝5m，再逆用积的乘方得到（ab）mn＝5m+n，再结合ab＝5得到mn与m+n的等量关系，最后代入所求代数式化简即可得到结果．【解答】解：由条件可知：（am）n＝5n，（bn）m＝5m，即amn＝5n，bmn＝5m，∴amn•bmn＝5n•5m，∴（ab）mn＝5m+n，∵ab＝5，∴5mn＝5m+n，∴mn＝m+n，∴mn2m+2n故选：A．【点评】本题考查了分式的值、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是关键．3．已知关于x的整式A＝2x+1，B＝3x﹣a，其中a为常数，则下列说法：①若A•B＝6x2+7x+m，则m＝2；②若方程AB+1=A+3-B的解为③若对于任意的x，3A-(6x-3)3x-2-B的值均为整数，则所有符合要求的整数a的值有8其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分式的混合运算；分式方程的解．【专题】分式；分式方程及应用．【答案】C【分析】结合一直条件逐条列式或方程并判断即可．【解答】解：已知关于x的整式A＝2x+1，B＝3x﹣a，其中a为常数，A•B＝（2x+1）（3x﹣a）＝6x2+3x﹣2ax﹣a＝6x2+（3﹣2a）x﹣a＝6x2+7x+m，则3﹣2a＝7，m＝﹣a，解得：a＝﹣2，m＝2，则①正确；若方程为AB+1=A+3则2x+13x-a+1=2x+4去分母得：2x+1+3x﹣a＝﹣2x﹣4，整理得：7x＝a﹣5，则-354=a解得：a=-154，此时3x﹣a＝0，原方程无解，则②=6x+3-6x+3=6若对于任意的x，原式的值均为整数，且a为整数，则a﹣2＝±1，±2，±3，±6，那么a的值有8个，则③正确；综上，正确的有2个，故选：C．【点评】本题考查分式的混合运算，分式方程的解，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．4．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知a1=x，a2=x2+4x①a2026②若a3a4③若a1•a2•a3…a24•a25＝2，则a30④若a2024-2a2025-2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】分式的值；规律型：数字的变化类．【专题】分式；运算能力．【答案】A【分析】先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可．【解答】解：这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．则：由题意可得：a3∴a4∴a5∴a6∴a7∴a8∴这列数6个数为一个周期，循环出现，∵2026÷6＝337……4，∴a2026=1∴故①正确；∵a3∴x2+4x＝3，∴3x2＝3（3﹣4x），∴3x28x-6∵a1•a2•a3…a24•a25＝2，∴a1∴a2•a24＝a2•a6＝x＝2，∵30÷6＝5，∴a30=1∴故③正确；∵2024÷6＝337……2，2025÷6＝337……3，∴a2024=a2=x2+4x，a∴a2024∵a2024∴x+2＝±1，x+2＝±2，x+2＝±3，x+2＝±6，∴满足条件的整数x共有8个．又x+2≠0，x+4≠0，x≠0即x≠﹣4，x≠0，x≠﹣2，故满足条件的整数x共有6个．故④若a2024-2a2025-2故选：A．【点评】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的找到规律是解题的关键．5．要使分式b2①a不变，b变大；②b不变，a变小；③a不变，|b|变大；④b不变，|a|变小．其中正确的序号是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①④【考点】分式的值．【专题】分式；运算能力．【答案】B【分析】根据分式值随分子分母变化的规律，结合平方的性质，逐个判断四个描述的正确性，即可得到答案．【解答】解：原分式为b2①若a不变，b变大：当b由负数增大到绝对值更小的负数时，b2减小，分子减小，分母不变，分式值减小，故①错误；②若b不变，a变小：当a由正数减小到绝对值更大的负数时，a2增大，分子不变，分母增大，分式值减小，故②错误；③∵a不变，∴a2不变，∵|b|变大，且b2＝|b|2，∴b2变大，分子b2+1变大，分母不变，分式值变大，故③正确；④∵b不变，∴分子b2+1不变，∵|a|变小，且a2＝|a|2，∴a2变小，分子不变，分母变小，分式值变大，故④正确；因此正确的序号为③④．故选：B．【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握该知识点是关键．二．填空题（共5小题）6．分子为1的真分数叫单位分数（如12，13)，任何一个单位分数都可拆分为两个不同的单位分数的和．例如：12=13+16，13=14+112，14=15+120=16+112，…．设1a=1m+1n（a，m，n均为正整数），我们定义：当|【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【答案】110+1【分析】本题给出单位分数拆分为两个不同单位分数之和的规则，并定义使两分母差最小的分解为“最优分解”．首先由等式1a=1m+1n变形为（m﹣a）（n﹣a）＝a2，将问题转化为对a2进行因数分解．令d＝m﹣a，e＝n﹣a，则de＝a2，且m＜n对应d＜e．最优分解要求|m﹣n|＝|d﹣e|＝e﹣最小，即在a2的所有因数对中，选取差值最小且d≠e的一组，再由m＝a+d求出较小分母．对于a＝6，a2＝36，因数对中差值最小的合法对为（4，9），得m＝10，n＝15．对于a＝2026，分解质因数2026＝2×1013，a2＝22•10132，最接近的因数对为（1013【解答】由1a变形得：（m﹣a）（n﹣a）＝a2，设m﹣a＝d，n﹣a＝e（d＜e）则de＝a2且|m﹣n|＝|d﹣e|＝e﹣d要使|m﹣n|最小，即让e﹣d最小，也就是在a2的因数对（d，e）中，选择差值最小的一组且d＜e，一般结论若题目给出具体的a，则找出a2的因数对中差值最小且满足d＜e的d即可，a＝6，a2＝36因数对（正因数，且d＜e），（1，36），差35，（2，18），差16，（3，12），差9，（4，9），差5，（6，6），差0，但d＝e导致m＝n，不符合要求，舍去，最小差为5，对应d＝4，e＝9．所以：m＝a+d＝6+4＝10，n＝a+e＝6+9＝15，因此：16②求12026的最优分解中的ma＝2026分解质因数：2026＝2×1013，其中1013是质数，所以a2＝22×10132，要找因数对（d，e）使de＝a2且e﹣d最小，最接近的因数对是：d＝1013，e＝22×1013＝4×1013＝4052，此时差值4052﹣1013＝3039，是所有合法因数对中最小的，于是：m＝a+d＝2026+1013＝3039，所以：12026其中m＝3039，故答案为：110+1【点评】本意主要考查了代数式变形、因数分解的应用以及通过比较差值来优化选择的能力．解题的关键是将单位分数拆分问题转化为因数分解，并理解“最优”等价于两因数差最小．本题将数论中的因数分解与代数恒等式巧妙结合，既考查了学生的运算功底，又训练了有序枚举与比较的思维．值得注意的易错点是：需排除d＝e的情况（会导致m＝n，不符合“两个不同单位分数”的要求），并正确分解大数因数．整体难度偏难，但需要严谨的推理和计算，适合作为初中数学拓展题．7．已知m2+3m﹣1＝0，则m2+1m2的值为【考点】分式的化简求值；完全平方公式．【专题】分式；运算能力．【答案】11【分析】把已知等式两边除m得到m-1m=-3，再利用完全平方公式把m2+1m【解答】解：∵m2+3m﹣1＝0，∴m≠0，∴m+3-1m即m-1m∴m2+1m2=（m-1m）2+2＝（﹣故答案为：11．【点评】本题考查了分式的化简求值：利用整体代入的方法是解决问题的关键．8．设x，y，z为非零实数．若满足1x+1y=1，1y+1z【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】3．【分析】将三个式子相加并计算得1x+【解答】解：设x，y，z为非零实数，若满足1x+1y=1①，1①+②+③得：2（1x+1则1x+原式=1x故答案为：3．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．9．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则1a+1b=【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】-2【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知的a+b和ab的值整体代入计算即可得到结果，本题运用了整体代入的思想解题．【解答】解：先对所求分式进行通分变形，再将已知的a+b和ab的值整体代入计算即可得到结果如下：1a把a+b＝2，ab＝﹣3代入得：原式=a+b【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键．10．已知a是实数，并且a2﹣2020a+4＝0，则代数式a2-2019a+8080a2+4【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】2020．【分析】先由已知等式变形得到a2﹣2020a＝﹣4与a2+4＝2020a，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果．【解答】解：由条件可知a2﹣2020a＝﹣4，a2+4＝2020a．∴a=(a=-4+a+4=a+4=a=2020a＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键．三．解答题（共10小题）11．已知：a、b、c是△ABC的三条边长，记t=(ac（1）若三角形为等边三角形，则t＝2；（2）若k＝2，t＝1，求证：△ABC为直角三角形；（3）在△ABC中，若a=12b+2，c＝1，a≥b【考点】分式的化简求值；解一元一次不等式；三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．【专题】分式；运算能力．【答案】（1）2；（2）证明：∵k＝2，t＝1，∴(a∴a2∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；（3）2＜b≤4．【分析】（1）由等边三角形三边相等，可得a＝b＝c，再代入式子结合有理数的乘方求解即可；（2）将k＝2，t＝1代入式子，得到a2+b2＝c2，即可得证；（3）先根据已知条件，求出b≤4，根据三角形的边长为正数，推出a＞c，再利用三角形的三边关系，得出b＞2，即可得解．【解答】（1）解：∵三角形为等边三角形，∴a＝b＝c，∴t=(故答案为：2．（2）证明：∵k＝2，t＝1，∴(a∴a2∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；（3）解：∵a=12b+2，a∴12∴b≤4，∵a、b、c是△ABC的三条边长，∴a＞0，b＞0，∴a=1∵c＝1，∴a＞c，又∵a≥b，∴b+c＞a，∴b+1＞∴b＞2，∴b的取值范围为2＜b≤4．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键．12．已知实数x，y满足y＞x＞0．（1）因为y＞x＞0，所以xy＞0，在不等式两边同时乘以正数1xy，得1x＞（2）若存在实数z，k，使得z＞y，且1x+1y+1z（3）在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值．【考点】分式的加减法；不等式的性质；实数大小比较．【专题】计算题．【答案】（1）＞；（2）具体过程看解答；（3）x＝2，y＝3，z＝6．【分析】（1）由y＞x＞0直接得出1x（2）将k=1x+1y+1（3）由第（2）问知1＜kx＜3，且kx为整数，故kx＝2．结合k=2x为整数，确定x＝1或2，分别代入解方程并舍去不符合z＞【解答】解：（1）比较大小因为y＞x＞0，所以1y即1x（2）已知：1x两边同乘以x（x＞0）：kx=1+因为y＞x＞0，所以0＜又因为z＞y＞x＞0，所以0＜因此kx＝1+正数+正数＞1，且kx=1+x所以1＜kx＜3；（3）由题意，x，y，z，k均为整数，且y＞x＞0，所以x至少为1．由（2）知：1＜kx＜3且kx是整数（因为k，x均为整数），所以kx只能是2．因此：kx=2⇒k=2又因为k是整数，所以x必须整除2，即x＝1或x＝2，①若x＝1则k＝2，代入原式：1+即：1=yz所以yz﹣y﹣z＝0，两边加1：（y﹣1）（z﹣1）＝1，因为y，z是正整数且z＞y＞1，则y﹣1和z﹣1是正整数且乘积为1，只能都是1，即y＝z＝2，但不符合z＞y，舍去，②若x＝2，则k＝1，代入原式：12所以yz﹣2y﹣2z＝0，两边加4：（y﹣2）（z﹣2）＝4，因为y＞2，z＞y＞2，所以y﹣2和z﹣2都是正整数，且z﹣2＞y﹣2．乘积为4的正因数对只有：（1，4）和（2，2），若（2，2），则y＝z＝4，不满足z＞y，舍去，若（1，4），则y﹣2＝1，得y＝3，z﹣2＝4得z＝6，满足z＞y，所以x＝2，y＝3，z＝6，验证：12+13+16=1，且kx＝1×2＝综上所述，x＝2，y＝3，z＝6．【点评】本意主要考查了不等式的性质、代数式的放缩变形，以及整数条件下的分类讨论．将kx视为整体并利用整数性锁定其唯一值，是解题的关键．本题设计简洁，三问环环相扣：第（1）问为第（2）问的放缩提供依据，第（2）问又为第（3）问提供整数范围的约束．整题既检验了学生对不等式基本操作的熟练度，又训练了从连续到离散的思维转换——当变量均为整数时，范围夹逼成为强有力的工具．难度适中，适合作为初中不等式章节的综合提升题．13．在学完分式和不等式的内容后，小明想知道：当0＜x＜y时，x+cy+c与x（1）问题探究：特殊情形①当0＜x＜y时，若c＝1＞0，作差法：x+1y+1由0＜x＜y，得y﹣x＞0，y＞0，y+1＞0，故差值x+1y+1-结论：x+1y+1②当0＜x＜y时，若c＝﹣1＜0．当y＞1时，x-1y-1＜xy（填“＞”、“＜”或当0＜y＜1时，x-1y-1＞xy（填“＞”、“＜”或（2）问题解决：一般情形请你参考问题探究的过程，当0＜x＜y时，比较x+cy+c与x【考点】分式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【答案】（1）＜；＞；（2）当c＞0或0＜x＜y＜﹣c时，x+cy+c＞xy；当c＜0，y＞﹣c时，x+cy+c＜x【分析】（1）根据所提供探究思路作差比较即可；（2）对一般情形作差x+cy+c-xy=c(y-x)y(y+c)，分三种情况讨论：①若c＞0；②若c＝0；③若c＜0，y+c＞0；④若c＜0【解答】解：（1）当0＜1＜y时，x-1y-1由0＜1＜y，0＜x＜y，得x﹣y＜0，y﹣1＞0，∴x-yy(y-1)∴x-1y-1∴x-1y-1当0＜y＜1时，x-1y-1由0＜y＜1，0＜x＜y，得x﹣y＜0，y﹣1＜0，∴x-yy(y-1)＞0，x-1故答案为：＜；＞；（2）x+cy+c∵0＜x＜y，∴y﹣x＞0，分以下情况讨论：①若c＞0，则y+c＞0，∴c(y-x)y(y+c)＞0∴x+cy+c②若c＝0，则x+cy+c=xy；③若c＜0，y+c＞0，即y＞﹣∴x+cy+c④若c＜0，y+c＜0，即y＜﹣c，相当于0＜x＜y＜﹣c时，c(y-x)y(y+c)＞0∴x+cy+c综上所述，当c＞0或0＜x＜y＜﹣c时，x+cy+c＞xy；当c＜0，y＞﹣c时，x+cy+c＜x【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，作差法比较大小是解题的关键．14．定义：如果一个分式A的平方与一个分式B的和等于1，即A2+B＝1，那么就称分式A是分式B的“方和分式”．例如：A=-1x-1，∵A=1=x=(x-1＝1∴-1x-1是（1）请判断3x+2是否为x（2）若分式A是x2-6x+5x（3）若分式kx+1（k为常数）是x2+2x-2【考点】分式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【答案】（1）3x+2是否为x（3x+2）2=3+＝1，则3x+2是否为x（2）A=2x-3或（3）±3．【分析】（1）根据题意计算（3x+2）2+x2（2）将原式变形后根据“方和分式”的定义即可求得答案；（3）将x2【解答】解：（1）3x+2是否为x（3x+2）2=3+＝1，则3x+2是否为x（2）x=x=(x-3∵分式A是x2∴A=2x-3或（3）x=x=(x+1∵分式kx+1（k为常数）是x∴k2＝3，∴k＝±3．【点评】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．15．已知分式A=(1+1（1）化简此分式；（2）若x为整数，A的值也是整数，则符合条件的x的值为2；（3）分式B=1x2-x，当x＜﹣1时，比较分式【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】（1）1x-1（2）2；（3）B＞A．【分析】（1）先把括号内通分，再进行同分母的加减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）利用整除性得到x﹣1＝±1，所以x为2、0，则根据分式有意义的条件得到x≠0且x+1≠0且x﹣1≠0，所以x的值为2；（3）利用求差法，求B﹣A得到B﹣A=-1x，利用x＜﹣1时得到-1x＞0，所以B【解答】解：（1）原式==x+1x•=1（2）∵x为整数，A的值也是整数，∴x﹣1＝±1，∴x为2、0，∵x≠0且x+1≠0且x﹣1≠0，∴x的值为2；故答案为：2；（3）B＞A．理由如下：B﹣A==1=1-x=-1∵x＜﹣1时，∴-1x∴B﹣A＞0，即B＞A．【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．16．先化简(x-1-x2x+1)÷x+2x2【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式；运算能力．【答案】-x+1x+2，x＝0时，原式【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式=-x+1x+2，然后根据不等式组的整数解和分式有意义的条件，把x＝【解答】解：原式=(x-1)(x+1)-x=x2-1-=-1x+1•=-x+1不等式组﹣3＜x≤0的整数解为﹣2、﹣1、0，∵x+1≠0且x+2≠0，∴x可以取0，当x＝0时，原式=-0+1【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．也考查了一元一次等式组的整数解．17．先化简，再求值(m+1)(1-2m)-m(-1-2m)+m2-1【考点】分式的化简求值；实数的性质．【专题】整式；分式；运算能力．【答案】2m+1，2【分析】先化简所求式子，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：原式=m+1-2＝m+1﹣2m2﹣2m+m+2m2+(m+1)(m-1)1-2m＝m+1﹣2m2﹣2m+m+2m2-=1-m-1=m+1-m+1=2当m=12×【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．定义：如果一个分式A的平方与一个分式B的和等于1，即A2+B＝1，那么就称分式A是分式B的“方和分式”．例如：A=-1x-1，∵A=1=x=(x-1＝1∴-1x-1是（1）请判断3x+2是否为x（2）若分式A是x2-6x+5x（3）若分式kx+1（k为常数）是x2+2x-2【考点】分式的加减法．【专题】分式；运算能力．【答案】（1）3x+2是x2=3=3+x=x＝1，∴3x+2是x（2）2x-3或-（3）k=±3【分析】（1）先求出3x+2的平方与分式x（2）根据“方和分式”的定义列出等式，先求出A的平方，然后再根据平方根定义求出A即可；（3）根据“方和分式”的定义，列出关于k的等式，先求出k的平方，然后再根据平方根定义求出k即可．【解答】解：（1）3x+2是x2=3=3+x=x＝1，∴3x+2是x（2）分式A是x2∴A2A2=x=4=4∴A=2x-3或（3）∵kx+1（k为常数）是x(kk2k2∴x2+2x+k2﹣2＝x2+2x+1，k2﹣2＝1，k2＝3，k=±3【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的乘方和加减运算法则．19．在数学学习过程中，同学们发现许多数学问题可以通过代数方法进行推理证明，也可以通过几何图形进行验证．【实例体验】已知实数x，y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2．代数推理：证明：∵x＞y，x＞0，∴x•x＞x•y，∵x＞y，y＞0，∴x•y＞★，∴x2＞xy，xy＞y2，∴x2＞y2；图形验证：…（1）①★应填写的代数式为y2；②除了上述方法，还可以利用“作差法”进行证明，请写出证明过程．（2）如图1，请利用边长为x的正方形ABCD，画出一种能验证结论“x2＞y2”的几何图形；【拓展应用】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量．设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n）．（3）甲、乙所购饲料的平均单价哪一个较低？请在以下两种方法中任选一种进行说明：①代数推理；②设m＞n，借助图2的图形进行验证．【考点】分式的混合运算；规律型：图形的变化类．【专题】数形结合．【答案】（1）y2；（2）具体过程看解析；（3）乙购饲料的平均单价较低．【分析】（1）代数推理：抓住“同向不等式可乘性”的基本原则．已知x＞y＞0，通过构造x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），利用“作差法”将大小关系转化为判断代数式正负的问题，这是初中不等式证明最基本的方法；（2）几何验证：理解“数形结合”的核心．将代数式x2和y2分别与边长为x和y的正方形面积对应，利用大正方形包含小正方形的几何直观，完成不等式的无字证明；（3）实际应用：关键在于准确理解题意．甲方案为“固定重量”，均价为“总价/总重”，得到算术平均数；乙方案为“固定金额”，均价为“总价/总重”，得到调和平均数．最终通过代数作差比较（或利用图2的长方形面积恒等式(m+n)2【解答】解：（1）①★应填写的代数式为：y2，因为x＞y＞0，所以x•y＞y•y，即xy＞y2；②利用“作差法”进行证明：证明：因为x＞y＞0，所以x+y＞0，且x﹣y＞0，所以