中考数学难题突破之命题与定理、反证法

2027年中考数学复习难题速递之命题与定理、反证法（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．下面命题为真命题的是（）A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等 B．若a，b满足a﹣|b|＝1，|a|﹣b＝5，则ba＝﹣8 C．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（1，1），PQ∥x轴，且PQ＝3，则点Q一定在第二象限 D．若x＜π，x为整数，则x最小值是02．如图，一只蚂蚁沿着棱长为3的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（）A．310 B．92 C．35 3．下列语句中，是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若a2＝b2，则a＝b D．对于直线a，b，c，如果b∥a，c∥a，那么b∥c4．下列命题属于真命题的是（）A．坐标轴上的点不属于任何象限 B．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点 C．点A、B的横坐标相同，则直线AB∥x轴 D．（1，﹣a2）在第四象限5．下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形6．用反证法证明命题“若a＞b，则a2＞b2”时，第一步应假设（）A．a2＞b2 B．a2≤b2 C．a2＜b2 D．a2≥b27．已知关于x的整式f（x）＝（2﹣|a|）x2﹣2x+2﹣a有意义，其中a为常数．给出下列命题：①若f（x）是关于x的二次三项式，则a≠±2；②若f（x）为单项式，则a＝±2；③若f（x）是关于x的一次函数，则a＝2；④当|a|＜1时，f（x）不能分解为两个关于x的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．下列命题中的真命题是（）A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直9．下列命题中，真命题是（）A．相等的角是对顶角 B．x＝2是不等式3x﹣1＞0的一个解 C．9的平方根是3 D．同旁内角相等，两直线平行10．已知命题：①腰和腰上的中线对应相等的两个等腰三角形全等；②底边和底边上的中线对应相等的两个等腰三角形全等．那么下列对这两个命题的判断，正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题二．填空题（共3小题）11．若命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题，则c的值可以是．12．将命题“内错角相等”，写成“如果…，那么…”的形式：．13．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”，可以分为三个步骤：①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确的证明过程序号排列为．三．解答题（共2小题）14．反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性．求证：同位角相等，两直线平行．以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空：已知：AB∥CD．证明：∠FMB＝∠FND．假设（）．过点M画一条直线GH，使得∠FMH＝∠FND，∵∠FMH＝∠FND，∴（）．∵AB∥CD，（已知），∴AB和GH都过点M，且都平行于CD．与平行公理（）产生矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．15．如图1，在△ABC与△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，如果∠BAC＞∠EDF，那么BC＞EF．这个命题是真命题还是假命题？古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》记载了这个命题，并证明了上述命题是一个真命题．下面是《几何原本》中为证明该命题所添加的辅助线，如图2，因为∠BAC＞∠EDF，所以以DE为边做∠EDG＝∠BAC，使DG＝AC，连接EG、FG，此时点F在EG下方．（1）根据《几何原本》中所添加的辅助线，证明该命题是真命题；（2）在研究完上述命题后，还能提出一个新的命题：如图1，已知△ABC与△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，如果BC＞EF，那么∠BAC＞∠EDF．事实上，利用刚刚证明的命题以及同学们学习过的反证法，可以证明这个新的命题仍然是真命题，请利用反证法证明．

2027年中考数学复习难题速递之命题与定理、反证法（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BADACBCABA一．选择题（共10小题）1．下面命题为真命题的是（）A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等 B．若a，b满足a﹣|b|＝1，|a|﹣b＝5，则ba＝﹣8 C．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（1，1），PQ∥x轴，且PQ＝3，则点Q一定在第二象限 D．若x＜π，x为整数，则x最小值是0【考点】命题与定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】直接利用平行线的性质以及点的坐标特点、绝对值和不等式的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题；B、若a，b满足a﹣|b|＝1，|a|﹣b＝5，可得a＝3，b＝﹣2，则ba＝﹣8，是真命题；C、在平面直角坐标系中，点P的坐标是（1，1），PQ∥x轴，且PQ＝3，可得Q（4，1）或（﹣2，1），则点Q可能在第二或第一象限，原命题是假命题；D、若x＜π，x为整数，则x没有最小值，最大值为3，原命题是假命题；故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是利用平行线的性质以及点的坐标特点、绝对值和不等式的性质解答．2．如图，一只蚂蚁沿着棱长为3的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（）A．310 B．92 C．35 【考点】轨迹；平面展开﹣最短路径问题．【专题】展开与折叠；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可．【解答】解：如图，将正方体的三个侧面展开，找出最短路线，连接AB，则AB最短，∴AB=(3×3)故选：A．【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，轨迹，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．3．下列语句中，是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若a2＝b2，则a＝b D．对于直线a，b，c，如果b∥a，c∥a，那么b∥c【考点】命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】运用对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点，逐个判断选项即可得到正确结论．【解答】解：根据对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点逐项分析判断如下：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题；B．只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此B是假命题；C．若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，例如a＝2，b＝﹣2满足a2＝b2但a≠b，因此C是假命题；D．根据平行线的性质，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若b∥a，c∥a，则b∥c，D是真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题一定理，熟练掌握对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点是关键．4．下列命题属于真命题的是（）A．坐标轴上的点不属于任何象限 B．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点 C．点A、B的横坐标相同，则直线AB∥x轴 D．（1，﹣a2）在第四象限【考点】命题与定理；坐标与图形性质．【专题】平面直角坐标系；推理能力．【答案】A【分析】根据各象限内点的坐标特征以及坐标轴上的点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、坐标轴上的点不属于任何象限，属于真命题，本选项符合题意；B、若ab＝0，则点P（a，b）可能是原点，也可能在坐标轴上，原命题属于假命题，本选项不符合题意；C、点A、B的横坐标相同，则直线AB∥y轴，原命题属于假命题，本选项不符合题意；D、当a≠0时，点（1，﹣a2）在第四象限，原命题属于假命题，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【考点】命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定逐一推理判断．【解答】解：∵A选项中，对角线相等的平行四边形才是矩形，任意对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，∴A错误，不符合题意；∵B选项中，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B错误，不符合题意；∵菱形是邻边相等的平行四边形，对角线相等的菱形满足正方形的判定条件，∴对角线相等的菱形是正方形，C正确，符合题意；∵D选项中，一组对边平行另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，∴D错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6．用反证法证明命题“若a＞b，则a2＞b2”时，第一步应假设（）A．a2＞b2 B．a2≤b2 C．a2＜b2 D．a2≥b2【考点】反证法．【专题】应用意识．【答案】B【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案．【解答】解：原命题结论为a2＞b2，a2＞b2的否定为a2≤b2，∴第一步应假设a2≤b2．故选：B．【点评】本题考查反证法，正确进行计算是解题关键．7．已知关于x的整式f（x）＝（2﹣|a|）x2﹣2x+2﹣a有意义，其中a为常数．给出下列命题：①若f（x）是关于x的二次三项式，则a≠±2；②若f（x）为单项式，则a＝±2；③若f（x）是关于x的一次函数，则a＝2；④当|a|＜1时，f（x）不能分解为两个关于x的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题与定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；因式分解﹣十字相乘法等；一次函数的定义．【专题】实数；整式；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由单项式和多项式的概念，绝对值的性质，一元二次方程根的判别式与根的关系，即可判断．【解答】解：①、由f（x）是关于x的二次三项式，得到2﹣|a|≠0，因此a≠±2，故①符合题意；②、由f（x）为单项式，得到2﹣|a|＝0且2﹣a＝0，得到a＝2，故②不符合题意；③、由f（x）是关于x的一次函数，得到2﹣|a|＝0，因此a＝±2，故③不符合题意；④、方程f（x）＝0的根的判别式Δ＝4﹣4（2﹣|a|）（2﹣a），由|a|＜1得到2﹣|a|＞1，（2﹣a）＞1，得到Δ＜0，判定方程f（x）＝0无实根，因此f（x）不能分解为两个关于x的一次因式的乘积，故④符合题意．∴其中正确的命题个数是2个．故选：C．【点评】本题考查命题与定理，非负数的性质：绝对值，因式分解﹣十字相乘法等，单项式和多项式，一次函数的定义，关键是掌握单项式和多项式的概念，绝对值的性质，一元二次方程的根判别式与根的关系．8．下列命题中的真命题是（）A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线；同位角、内错角、同旁内角．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】A【分析】根据相关知识点逐项判断即可．【解答】解：A．对顶角相等，故本选项符合题意；B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项不符合题意；C．两个锐角的和可能是钝角、可能是锐角、也可能是直角，故本选项不符合题意；D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查命题与定理、对顶角、邻补角、垂线、同位角、内错角及同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．9．下列命题中，真命题是（）A．相等的角是对顶角 B．x＝2是不等式3x﹣1＞0的一个解 C．9的平方根是3 D．同旁内角相等，两直线平行【考点】命题与定理；平方根；不等式的解集；平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】B【分析】根据相关知识点逐项判断即可．【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意；B．不等式3x﹣1＞0的解集为x＞13，x＝2是不等式3x﹣1＞C．9的平方根是±3，故本选项不符合题意；D．同旁内角互补，两直线平行，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查命题与定理、平方根、不等式的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．10．已知命题：①腰和腰上的中线对应相等的两个等腰三角形全等；②底边和底边上的中线对应相等的两个等腰三角形全等．那么下列对这两个命题的判断，正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题【考点】命题与定理；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形判定定理逐一判断两个命题的真假即可．【解答】解：对于命题①：设两个等腰三角形分别为△ABC和△A′B′C′，A′B′＝A′C′，AB＝AC，已知腰长AB＝A′B′，AB上的中线CD与A′B′上的中线C′D′相等，∴CD＝C′D′，AC＝A′C′，∵D为AB中点，D′为A′B′中点，∴A'D'=12A'B'∴AD＝A′D′，在△ADC和△A′D′C′中，AD=A'D'AC=A'C'∴△ADC≌△A′D′C′（SSS），∴∠A＝∠A′，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A'B'∠A=∠A'∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故①是真命题；对于命题②：设两个等腰三角形分别为△ABC和△A′B′C′，A′B′＝A′C′，AB＝AC，已知底边上的中线AD＝A′D′，底边BC＝B′C′，∵等腰三角形三线合一，AD是底边上的中线，∴BD=12BC，AD同理可得B'D'=12B'C'，A′D′⊥B∴BD＝B′D′，在△ABD和△A′B′D′中，AD=A'D'∠ADB=∠A'D'B'=90°∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）．∴A′B′＝AB，同理AC＝A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A'B'AC=A'C'∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），故②是真命题；故选：A．【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二．填空题（共3小题）11．若命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题，则c的值可以是0（答案不唯一）．【考点】命题与定理；不等式的性质．【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．【答案】0（答案不唯一）．【分析】根据题意可得当a＞b时，ac≤bc，则由不等式的性质可得c≤0，据此可得答案．【解答】解：根据题意可知当a＞b时，ac≤bc，∴c≤0，∴c的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了不等式的性质，真假命题，熟练掌握以上知识点是关键．12．将命题“内错角相等”，写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．【考点】命题与定理；同位角、内错角、同旁内角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等【分析】根据命题的构成，题设是内错角，结论是这两个角相等写出即可．【解答】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．【点评】本题考查命题与定理，根据命题的构成准确确定出题设与结论是解题的关键．13．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”，可以分为三个步骤：①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确的证明过程序号排列为③①②．【考点】反证法；三角形内角和定理．【专题】反证法；推理能力．【答案】③①②．【分析】根据反证法的步骤即可判断．【解答】解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立．以上证明过程正确的步骤：③①②．故答案为：③①②．【点评】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．三．解答题（共2小题）14．反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性．求证：同位角相等，两直线平行．以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空：已知：AB∥CD．证明：∠FMB＝∠FND．假设（∠FMB≠∠FND）．过点M画一条直线GH，使得∠FMH＝∠FND，∵∠FMH＝∠FND，∴GH∥CD（同位角相等，两直线平行）．∵AB∥CD，（已知），∴AB和GH都过点M，且都平行于CD．与平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）产生矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．【考点】反证法；平行公理及推论；平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】∠FMB≠∠FND；GH∥CD；同位角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【分析】利用反证法的一般步骤解答即可．【解答】解：已知：AB∥CD．证明：∠FMB＝∠FND．假设（∠FMB≠∠FND）过点M画一条直线GH，使得∠FMH＝∠FND，∵∠FMH＝∠FND，∴GH∥CD（同位角相等，两直线平行），∵AB∥CD，（已知），∴AB和GH都过点M，且都平行于CD．与平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）产生矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立，故答案为：∠FMB≠∠FND；GH∥CD；同位角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【点评】此题考查反证法，关键是利用反证法的一般步骤解答．15．如图1，在△ABC与△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，如果∠BAC＞∠EDF，那么BC＞EF．这个命题是真命题还是假命题？古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》记载了这个命题，并证明了上述命题是一个真命题．下面是《几何原本》中为证明该命题所添加的辅助线，如图2，因为∠BAC＞∠EDF，所以以DE为边做∠EDG＝∠BAC，使DG＝AC，连接EG、FG，此时点F在EG下方．（1）根据《几何原本》中所添加的辅助线，证明该命题是真命题；（2）在研究完上述命题后，还能提出一个新的命题：如图1，已知△ABC与△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，如果BC＞EF，那么∠BAC＞∠EDF．事实上，利用刚刚证明的命题以及同学们学习过的反证法，可以证明这个新的命题仍然是真命题，请利