中考数学难题突破之锐角三角函数

2027年中考数学复习难题速递之锐角三角函数（2026年7月）一．选择题（共5小题）1．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（）A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm2．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，小军在C点设桩，使得∠ABC＝90°，并测得AC长为100米，BC长为80米，则A点和B点之间的距离为（）A．60米 B．80米 C．100米 D．20413．一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角α(tanα=43)射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3mA．2m B．4m C．74m D4．如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝603m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中3≈1.732，计算结果精确到0.1A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m5．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，为保证安全，α的调整范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角α的绳索，则桑梯顶端D到地面BC的距离（单位：米）为（）A．2.7tanα2 B．C．2.7cos(90°-α2) 二．填空题（共10小题）6．如图，△ABC中，AB＝AC，D为线段AC上一点，C点关于BD所在直线的对称点E刚好线段在AB上，连DE．B点关于DE所在直线的对称点F刚好在线段AC上．连EF，若EF=27，CD＝2，则∠BAC的大小为°，DF的长是7．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为m．8．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是22cm，则皮球的直径是cm．9．如图，在△ABC中，AB=203，BE平分∠ABC，F为线段BE上一点，且BF＝EF＝3，连接CF．若cos∠EFC=35，则BC的长为10．如图，一个秋千的摆长OA为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，∠AOB＝28°，则AB的长度为m．（结果精确到0.1m，参考数据：tan28°≈0.53，tan14°≈0.25，sin28°≈0.47，sin14°≈0.24）11．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1：1，滑梯CD的坡比为1：3，若扶梯AB长为22米，则滑梯CD的长度为12．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是．13．某科技小组用无人机测量教学楼的高度，具体过程如下：将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行24.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度为m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m．在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝56°．则气球A点离地面的高度AD为．（用三角函数值表示即可）15．如图，某科技小组用无人机测量湖泊两端A，B的距离，他们将无人机上升并飞行至距湖面60m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为m（结果保留根号）．三．解答题（共5小题）16．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为80m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行30m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．（1）求OE的长；（2）求楼AB与CD之间的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，317．某送货员送货的路线如图所示：A﹣B﹣C﹣D．已知B在A的北偏东45°方向4km处，C在B的正东方2km处，D在C的南偏东30°方向，D在A的正东方．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，（1）求线段CD的长度；（结果精确到0.01km）（2）已知送货员在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计）18．如图，四边形ABCD是某机器狗试验场边沿，其中B位于A正东方向1003米处，D位于B的正北方向，D位于A的北偏东30°方向，且位于C的西北方向，B位于C（1）求AD的长；（结果保留根号）（2）测试人员在机器狗中输入试验场地地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从B到D用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走B→A→D、B→C→D中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同）19．如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中tanB=1（1）如果楔子从木桩①的底端点P打入，并沿水平方向前进了10cm，那么木桩①上升了多少厘米？（2）已知木桩②和①完全相同，水平宽度为8cm，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点P和点Q打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升4cm．求两个木桩之间的施工预留水平间隙l（即两桩在楔子上的水平间距）．20．洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据：AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，求落水点C到洗手盆边的宽度EC．（结果取整数，参考数据，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈

2027年中考数学复习难题速递之锐角三角函数（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）题号12345答案BACAD一．选择题（共5小题）1．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（）A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm【考点】解直角三角形；全等三角形的判定．【专题】图形的全等；运算能力．【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中SSA（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形．【解答】解：A、选项给出AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30°，符合ASA判定，可确定唯一三角形，不符合题意；B、选项给出AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30°，属于SSA，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意；C、选项给出AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30°，符合SAS判定，可确定唯一三角形，不符合题意；D、选项给出AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm，符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是关键．2．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，小军在C点设桩，使得∠ABC＝90°，并测得AC长为100米，BC长为80米，则A点和B点之间的距离为（）A．60米 B．80米 C．100米 D．2041【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】A【分析】在RT△ABC中，直接运用勾股定理即可求出A点和B点之间的距离．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AC＝100米，BC＝80米，∴AB=A故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．3．一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角α(tanα=43)射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3mA．2m B．4m C．74m D【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】C【分析】根据题意可得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，从而可得∠EOC+∠ECO＝90°，再利用平角定义可得∠FOB+∠EOC＝90°，从而可得∠FOB＝∠ECO，进而可得∠α＝∠ECO，再利用对顶角相等可得∠EOD＝∠α，从而可得tanα=tan∠ECO=tan∠EOD=43，然后分别在Rt△ECO和Rt△EOD中，利用锐角三角函数的定义求出EC和【解答】解：如图：由题意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∴∠α＝∠ECO，∵∠EOD＝∠α，∴tanα=tan∠ECO=tan∠EOD=4在直角三角形ECO中，OE＝3m，∴CE=OE在直角三角形EOD中，DE=OE⋅tan∠EOD=3×4∴CD=DE-CE=4-9故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．4．如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝603m，则探测器到目标B的距离AB约为（其中3≈1.732，计算结果精确到0.1A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝603m，∴AB＝2AC＝1203≈207.8（m∴探测器到目标B的距离AB约为207.8m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．5．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，为保证安全，α的调整范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角α的绳索，则桑梯顶端D到地面BC的距离（单位：米）为（）A．2.7tanα2 B．C．2.7cos(90°-α2) 【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，过点D作DE⊥BC，垂足为E，∴∠DEC＝90°，∵AB＝AC＝1.5米，∠BAC＝α，∴∠ABC=∠C=1∵AD＝1.2，∴DC＝AD+AC＝2.7米，在Rt△DEC中，DE=DC⋅sin(90°-1故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二．填空题（共10小题）6．如图，△ABC中，AB＝AC，D为线段AC上一点，C点关于BD所在直线的对称点E刚好线段在AB上，连DE．B点关于DE所在直线的对称点F刚好在线段AC上．连EF，若EF=27，CD＝2，则∠BAC的大小为20°，DF的长是6【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；轴对称的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】20，6．【分析】根据轴对称、等腰三角形的性质及勾股定理进行计算即可．【解答】解：令∠DBC＝m°，由折叠可知，∠ABD＝∠DBC＝m°，∴∠ABC＝2m°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2m°．由折叠可知，∠FDE＝∠EDB＝∠BDC＝60°．在△BDC中，∠DBC+∠BDC+∠C＝180°，∴m°+60°+2m°＝180°，解得m＝40，∴∠ABC＝∠C＝80°，∴∠A＝180°﹣2×80°＝20°．连接BE交DE于点N，∴DE垂直平分BF．∵∠FDE＝60°，∴∠DFN＝30°．令DF＝n，则DN=12n，∴EN=2-1在Rt△EFN中，（2-12n）2+（32n）2解得n＝6（舍负），∴DF＝6．故答案为：20，6．【点评】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质及轴对称的性质，熟知轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．7．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为6m．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】6．【分析】在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．【解答】解；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝12m，∴BC=12故答案为：6．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，利用三角函数解答是解题的关键．8．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是22cm，则皮球的直径是113cm．【考点】解直角三角形的应用；平行投影；垂径定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】113．【分析】根据题意，结合图形，在Rt△CDE中求出CD长，即可得到结果．【解答】解：如图：AB是皮球的直径，过点C作CD⊥AE，垂足为D，由题意得：AB＝CD，∵在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠AEC＝60°，CE＝22cm，∴CD＝CE•sin∠AEC＝22×sin60°＝22×32=113∴AB＝CD＝113（cm），∴皮球的直径是113cm，故答案为：113．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=203，BE平分∠ABC，F为线段BE上一点，且BF＝EF＝3，连接CF．若cos∠EFC=35，则BC的长为【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】607【分析】过点A作BE的平行线，交CB的延长线于点G，延长CF交AG于点H，连接BH，再结合相似三角形的判定与性质及余弦的定义进行计算即可．【解答】解：过点A作BE的平行线，交CB的延长线于点G，延长CF交AG于点H，连接BH，∵AG∥BE，∴△CEF∽△CAH，△CFB∽△CHG，∴EFAH∴EFAH∵BF＝EF，∴AH＝HG．∵AG∥BE，∴∠GAB＝∠ABE，∠G＝∠EBC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠GAB＝∠C，∴BG＝AB=20又∵AH＝HG，∴∠ABH＝∠GBH，∴∠ABH+∠ABE=1∵∠BFH＝∠EFC，cos∠EFC=3∴cos∠BFH=3在Rt△BFH中，cos∠BFH=BF∴3HF∴HF＝5，∴NH=5在Rt△GBH中，CH=(∵AG∥BE，∴△CBF∽△CGH，∴CBCG则CBCB+解得BC=60故答案为：607【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知余弦的定义及巧用相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．如图，一个秋千的摆长OA为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，∠AOB＝28°，则AB的长度为1.4m．（结果精确到0.1m，参考数据：tan28°≈0.53，tan14°≈0.25，sin28°≈0.47，sin14°≈0.24）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】1.4．【分析】过点O作OT⊥AB于点T，结合等腰三角形的“三线合一”，在Rt△AOT中运用角的正弦解答即可．【解答】解：点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，∠AOB＝28°，过点O作OT⊥AB于点T，如图，根据旋转的性质有：OA＝OB＝3，∴△OAB是等腰三角形，∵OT⊥AB，∠AOB＝28°，∴AT=TB=12AB∵OA＝3，∴在Rt△AOT中，AT＝OA×sin∠AOT＝3×sin14°，∴AB＝2AT＝6×sin14°≈6×0.24＝1.44≈1.4（m）．故答案为：1.4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．11．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1：1，滑梯CD的坡比为1：3，若扶梯AB长为22米，则滑梯CD的长度为4【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识；生活情境．【答案】4．【分析】根据矩形的性质和解直角三角形的方法即可得到结论．【解答】解：∵过道BC与地面AD平行，∵BC∥AD，BE⊥AD，CF⊥AD，∴四边形CBEF是矩形，∴BE＝CF，∵扶梯AB的坡比为1：1，∴BEAE=∴AE＝BE＝2（米），∴CF＝2米，∵滑梯DC的坡比为1：3，∴CFDF∴DF＝23米，在直角三角形BCF中，由勾股定理得：DC=DF∴滑梯CD的长为4米．故答案为：4．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，理解题意，掌握坡度的含义，熟练运用勾股定理是解题的关键．12．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是233【考点】锐角三角函数的定义．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】23【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB中点得CD＝AD＝BD=12AB，进而得∠A＝∠DCA，根据DE＝CE得∠EDC＝∠DCA＝∠A，由三角形外角性质得∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，在Rt△ADE中根据∠A+∠AED＝90°，得∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得AD【解答】解：如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD＝1/2AB，∴△DAC是等腰三角形，∴∠A＝∠DCA，∵DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCA，∴∠EDC＝∠DCA＝∠A，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形，∴∠A+∠AED＝90°，∴∠A+2∠A＝90°，∴∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得：AD=A∴secA=AE【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义是解决问题的关键．13．某科技小组用无人机测量教学楼的高度，具体过程如下：将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行24.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度为14.6m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】14.6．【分析】延长AB交PQ于点C，则AC⊥PC，先在Rt△ACP中，利用锐角三角函数的定义求出CP的长，从而求出CQ的长，然后在Rt△BCQ中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：延长AB交PQ于点C，则AC⊥PC，在Rt△ACP中，∠APC＝37°，AC＝30m，∴CP=ACtan37°≈30∵PQ＝24.6m，∴CQ＝CP﹣PQ＝15.4（m），在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，∴BC＝CQ•tan45°＝15.4（m），∴AB＝AC﹣BC＝30﹣15.4＝14.6（m），∴教学楼AB的高度约为14.6m，故答案为：14.6．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m．在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝56°．则气球A点离地面的高度AD为20tan56°tan56°-1m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】20tan56°tan56°-1【分析】根据题意可得△ABD是等腰直角三角形，在Rt△ADC中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度AD．【解答】解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°=AD∴tan56°=AD解得AD=20tan56°故答案为：20tan56°tan56°-1【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．15．如图，某科技小组用无人机测量湖泊两端A，B的距离，他们将无人机上升并飞行至距湖面60m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为803m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】803【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：EF∥AB，从而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得，∠FCA＝60°，∠ECB＝30°，由题意得：EF∥AB，∴∠FCA＝∠CAB，∠ECB＝∠CBA，∴∠CAB＝60°，∠CBA＝30°，在Rt△ACD中，CD＝60m，∴AD=CD在Rt△BCD中，BD=CD∴AB=AD+BD=803∴湖泊两端A，B的距离为803故答案为：803【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为80m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行30m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．（1）求OE的长；（2）求楼AB与CD之间的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，3【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】（1）52.0m．（2）74.1m．【分析】（1）延长ED交直线OF于点G，则∠OGE＝90°．设FG＝xm，则OG＝OF+FG＝（x+30）m，在Rt△EFG中，tan60°=EGFG=EGx=3，可得EG=3xm．在Rt△OEG中，tan30°=EGOG=3x（2）延长AB交直线OF于点H，可得AC＝HG，AH＝80m．在Rt△AOH中，tan70°=AHOH=80OH≈2.75，可得OH≈29.1m．由（1）得，OG＝45m，则可得HG＝OH【解答】解：（1）延长ED交直线OF于点G，则∠OGE＝90°．设FG＝xm，则OG＝OF+FG＝（x+30）m，在Rt△EFG中，tan60°=EG∴EG=3x在Rt△OEG中，tan30°=EG解得x＝15，经检验，x＝15为原方程的解且符合题意，∴EG=153m∴OE＝2EG=303≈52.0答：OE的长为52.0m．（2）延长AB交直线OF于点H，可得AC＝HG，AH＝80m．在Rt△AOH中，tan70°=AHOH∴OH≈29.1．由（1）得，OG＝45m，∴HG＝OH+OG＝74.1m．答：楼AB与CD之间的距离AC的长为74.1m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．17．某送货员送货的路线如图所示：A﹣B﹣C﹣D．已知B在A的北偏东45°方向4km处，C在B的正东方2km处，D在C的南偏东30°方向，D在A的正东方．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，（1）求线段CD的长度；（结果精确到0.01km）（2）已知送货员在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）3.27km；（2）送货员按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能按时送达，理由如下：根据题意，得ED=CEtan30°=22∴4+2+4∴9.265km＝9265m，故需要时间为926510小于16分钟，故送货员按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能按时送达．【分析】（1）根据CD=CE（2）根据时间AB+BC+CD10【解答】解：（1）根据题意，得∠GAB＝∠BAF＝45°，BC∥AD，BA＝4km，BC＝2km，∠ECD＝30°，A，F，E，D四点共线，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为点F，点E，∴BF∥CE，根据平行线间的距离处处相等，得BF＝CE，四边形BCEF是平行四边形，∵BF⊥AD，∴四边形BCEF是矩形，∴EF＝BC＝2km，∴AF=BF=ABsin45°=4×2∴CE=AF=BF=22∴CD=CE（2）送货员按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能按时送达，理由如下：根据题意，得ED=CEtan30°=22∴4+2+4∴9.265km＝9265m，故需要时间为926510小于16分钟，故送货员按既定路线A﹣B﹣C﹣D进行运送能按时送达．【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．18．如图，四边形ABCD是某机器狗试验场边沿，其中B位于A正东方向1003米处，D位于B的正北方向，D位于A的北偏东30°方向，且位于C的西北方向，B位于C（1）求AD的长；（结果保留根号）（2）测试人员在机器狗中输入试验场地地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从B到D用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走B→A→D、B→C→D中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．【答案】（1）2003（2）走B→C→D说明机器狗识别路径的能力较强．理由：BD=AB⋅tan60°=1003由题意：D在西北方向，B在西南方向，∴∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝90°，BC＝CD．△BCD是等腰直角三角形，设BC＝CD＝x，由勾股定理：x2+x2＝BD2，∴2x2＝3002，解得x=1502∴线路B→A→D长度：AB+AD=1003线路B→C→D长度：BC+CD=2×1502∵3002∴速度相同时，走B→C→D用时更短．故走B→C→D说明机器狗识别路径的能力较强．【分析】（1）先根据方位角确定△ABD的内角，因为B在A正东，D在B正北，所以∠ABD＝90°，又已知D在A北偏东30°，可得到△ABD中其余角度，结合已知AB的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算AD的长．（2）先根据D在西北方向、B在西南方向，判断△BCD的形状，结合第（1）问求出的BD长度，计算BC+CD的长度．再计算BA+AD的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强．【解答】解：（1）D在B正北，B在A正东，∴BD⊥AB，∠ABD＝90°；∵D在A北偏东30°，∴∠DAB＝90°﹣30°＝60°，且AB=1003在Rt△ABD中，由三角函数定义：cos∠DAB=AB代入cos60°=12得：答：AD的长为2003（2）走B→C→D