中考数学难题突破之因式分解

2027年中考数学复习难题速递之因式分解（2026年7月）一．选择题（共7小题）1．我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如4＝22﹣02，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（）A．36 B．40 C．44 D．482．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（）A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）23．下列说法正确的是（）A．分式1a+1，a+1a-1，aa2-1的最简公分母是（a+1）（a﹣1）（aB．144﹣1能被15整除，但不能被13整除 C．设m为正奇数，m2﹣1不能被8整除 D．二次根式1+1n4．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（）A．17687 B．17688 C．17689 D．176705．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（）A．83 B．7 C．121 D．116．已知m2+2m﹣4＝0，则代数式m3+4m2﹣5的值为（）A．3 B．5 C．7 D．97．x2+mx+n＝（x+3）（x﹣1），则m+n＝（）A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣1二．填空题（共6小题）8．一位密码编译者，设置以下规则：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（只需写出一种）．9．如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是．10．已知实数a，b，c满足a＜b＜c．（1）若2a+b＝6，a﹣c＝﹣2，则a的取值范围是；（2）若a，b，c是正整数，且1a+1b+1c=32，则a+11．自然数m与n均为两位数，它们的十位数字相同，个位上的数字之和为8，且m与n的乘积为三位数，m+n的最小值为；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2+1，则所有满足条件的k的值之和为．12．分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，16x2+8x+1＝（4x+1）2，9x2+12x+4＝（3x+2）2．（1）观察上述三个多项式的系数，有（﹣2）2＝4×1×1，82＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小金猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用等式表示小明的猜想：；（2）若多项式2x2+ax+c和2x2﹣cx+a都是完全平方式，利用（1）中的规律求ac＝．13．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x，y都取9时，各因式的值是162，18，0，于是可以把“162180”作为一个六位数密码．类似的对于多项式16x3﹣xy2，当x、y都取10时，最小的6位密码是．三．解答题（共7小题）14．一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，…．因此8，16，24，32都是“神秘数”．（1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（）＝112﹣92；48＝（）2﹣（）2；（2）【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为2n﹣1（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数；（3）【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由；（4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5，…，按此规律拼叠到正方形ABCD，正方形ABCD的边长为99，求阴影部分面积的和．15．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式）．事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法．例如：因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法，如x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．（1）因式分解：x2+8x+7．（2）因式分解：x2﹣y2﹣4x+6y﹣5．16．先阅读下列材料，再解答下列问题：因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1．解：将“x﹣y”看成整体，设x﹣y＝a，则原式＝a2+2a+1＝（a+1）2．再将x﹣y＝a代入，得原式＝（x﹣y+1）2．归纳总结：“换元法”是初中数学经常用到的一种方法．在因式分解时，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．（1）下面是小明同学用“换元法”对多项式（x+2y）2+4（x+2y）+4进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整．解：设x+2y＝a．原式＝＝（a+2）2将x+2y＝a代入，得原式＝（a+2）2＝．（2）请用“换元法”对多项式（x﹣2y﹣1）（x﹣2y+3）+4进行因式分解．（3）当x＝时，多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1存在最值（填“大”或“小”），这个值是．17．阅读并完成相应问题的解答．因为（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝（x+2）．即x2+x﹣2能被x﹣1整除．同理，x2+x﹣2能被x+2整除．我们知道，若ab＝0，则a＝0或b＝0．若x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，则x﹣1＝0或x+2＝0，所以x＝1或x＝﹣2．请根据以上的阅读材料，完成以下问题：（1）若（x+2）（x+k）＝x2+5x+6，求数k的值；（2）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，求数m的值；（3）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，当x2+mx﹣15＝0时，求x值．18．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则：原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝；（2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．19．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：x3﹣4x+3．解：观察可知，当x＝1时，原式＝1﹣4+3＝0，所以原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．因为x3﹣4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x﹣1是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为x2+bx+c，即x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c）．因为上式对任意x恒成立，所以可另取几个方便计算的x的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得b，c的值，从而完成对x3﹣4x+3的因式分解．（1）取x＝0和x＝2代入，求b，c的值；（2）尝试用上述方法分解因式：x3+2x2﹣1．20．我们约定：如果一个自然数a（零或正整数）能表示为m2﹣n2的形式（m、n均为自然数，且仅当a＝1时n＝0），那么称这个自然数为完美数．数字自然数分类奇数偶数研判过程1＝12﹣020＝02﹣023＝22﹣122不是完美数5＝32﹣224＝22﹣027＝42﹣326不是完美数9＝52﹣428＝32﹣1211＝62﹣5210不是完美数13＝●12＝☆……（1）表中，符号“●”与“☆”对应的算式是什么？按从小到大排列，第16个完美数是哪一个数？（直接写出）（2）根据表中的数据，你能发现一些与完美数有关的结论吗？将结论写出来并证明；（3）若直角三角形的一直角边长16cm，其余两边的长都是整数，求该三角形周长的最大值．

2027年中考数学复习难题速递之因式分解（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BBDBDAD一．选择题（共7小题）1．我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如4＝22﹣02，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（）A．36 B．40 C．44 D．48【考点】因式分解的应用．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】根据“美丽数”定义，设两个偶数表示出平方差，因式分解推导美丽数的性质，再结合性质判断各选项即可．【解答】解：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，则：设两个偶数分别为2m，2n（m，n为整数，m＞n），根据定义，美丽数M＝（2m）2﹣（2n）2，即M＝4m2﹣4n2＝4（m2﹣n2）＝4（m+n）（m﹣n），∵（m﹣n）+（m+n）＝2m，和为偶数，∴m﹣n与m+n同奇偶，对选项逐一判断：A：36＝4×9，（m﹣n）（m+n）＝9，取m﹣n＝1，m+n＝9，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此36是美丽数．B：40＝4×10，（m﹣n）（m+n）＝10，10的所有正因数分解为1×10、2×5，两组因数均为一奇一偶，不符合同奇偶要求，不存在整数解，因此40不是美丽数．C：44＝4×11，取m﹣n＝1，m+n＝11，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此44是美丽数．D：48＝4×12，取m﹣n＝2，m+n＝6，均为偶数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此48是美丽数．故选：B．【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．2．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（）A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】利用分组分解法分解因式即可．【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3）＝a2（a+b）﹣b2（a+b）＝（a2﹣b2）（a+b）＝（a﹣b）（a+b）（a+b）＝（a﹣b）（a+b）2；故选：B．【点评】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式．3．下列说法正确的是（）A．分式1a+1，a+1a-1，aa2-1的最简公分母是（a+1）（a﹣1）（aB．144﹣1能被15整除，但不能被13整除 C．设m为正奇数，m2﹣1不能被8整除 D．二次根式1+1n【考点】因式分解的应用；最简公分母；二次根式的性质与化简．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）可得最简公分母是a2﹣1，即可判断A，根据平方差公式因式分解判断B，C选项，计算(1+1n-【解答】解：A：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），∴三个分式的最简公分母是（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，不是（a+1）（a﹣1）（a2﹣1），A分式1a+1，a+1a-1，aa2-1的最简公分母是（a+1）（a﹣1）（B：∵144﹣1＝（142﹣1）（142+1）＝（14﹣1）（14+1）×197＝13×15×197，∴144﹣1能同时被13和15整除，B错误．C：∵m是正奇数，可设m＝2k+1，k为非负整数，∴m2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝4k2+4k＝4k（k+1），∵k和k+1是相邻整数，必有一个是偶数，∴k（k+1）是2的倍数，∴4k（k+1）是8的倍数，即m2﹣1能被8整除，C错误．D：原式=1+=1+1=1+1∵n＞0∴1+1n2故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．4．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（）A．17687 B．17688 C．17689 D．17670【考点】因式分解的应用．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】根据“美好数”的定义，设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1，n为正整数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过530的条件确定n的范围，再求和计算即可．【解答】解：如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1，n为正整数，由平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，即“美好数”可表示为8n，由题意得：8n≤530，解得n≤66.25，∵n为正整数，∴n的最大值为66，∴最大的对应奇数为2×66+1＝133，∴所有“美好数”之和为8×1+8×2+8×3+⋯+8×66=8×(1+2+3+⋯+66)=8×(1+66)×66故选：B．【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．5．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（）A．83 B．7 C．121 D．11【考点】因式分解的应用；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．【专题】因式分解；整式；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解．【解答】解：由图2可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∵ab+bc+ac＝38，a2+b2+c2＝45，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝45+2×38＝121，又∵a+b+c＞0，∴a+b+c＝11．故选：D．【点评】本题考查了多项式乘以多项式与图形的等面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6．已知m2+2m﹣4＝0，则代数式m3+4m2﹣5的值为（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；应用意识．【答案】A【分析】从已知方程得出m2+2m的值；将所求代数式拆分成含m2+2m的形式；把m2+2m的值整体代入拆分后的式子；再次整理式子，继续代入m2+2m的值，计算得出结果．【解答】解：因为m2+2m﹣4＝0，所以m2+2m＝4，m3+4m2﹣5＝m（m2+2m）+2m2﹣5＝4m+2m2﹣5＝2（m2+2m）﹣5＝2×4﹣5＝3．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用整体代入法分解因式．7．x2+mx+n＝（x+3）（x﹣1），则m+n＝（）A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣1【考点】因式分解﹣十字相乘法等．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】先运用十字相乘因式分解法求得m，n的值，再代入、求解．【解答】解：由题意得，m＝3﹣1＝2，n＝3×（﹣1）＝﹣3，∴m+n＝2﹣3＝﹣1，故选：D．【点评】此题考查了十字相乘法因式分解的应用能力，关键是能准确理解并运用该方法．二．填空题（共6小题）8．一位密码编译者，设置以下规则：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是我爱数学（只需写出一种）．【考点】因式分解的应用．【专题】整式；运算能力．【答案】我爱数学．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息．【解答】解：∵2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）＝（a2﹣1）（2x﹣2y）＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y），∵对应密码字：2→我，（x﹣y）→爱，（a+1）→学，（a﹣1）→数，∴密码信息为“我爱数学”．故答案为：我爱数学．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是关键．9．如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是10．【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】10．【分析】首先把x2﹣y2因式分解，根据x﹣y＝2，求出x+y的值，再求出x，y的值，代入x2+y2进行计算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝8，∴（x+y）（x﹣y）＝8，∵x﹣y＝2①，∴x+y＝4②，①+②得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝1，把x＝3，y＝1代入x2+y2得：x2+y2，＝32+12，＝9+1，＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了因式分解和二元一次方程组的解法，解题关键是把已知等式因式分解，求出x，y的值．10．已知实数a，b，c满足a＜b＜c．（1）若2a+b＝6，a﹣c＝﹣2，则a的取值范围是43＜a（2）若a，b，c是正整数，且1a+1b+1c=32，则a【考点】因式分解的应用；分式的加减法；不等式的性质．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）43（2）10．【分析】（1）根据条件式可得b＝6﹣2a，c＝a+2，根据（a＜b＜c）得出不等式组，求得不等式组的解集即可求解；（2）根据题意可得1c＜1b＜1a，则3a＞32，得出a＝1【解答】解：（1）∵2a+b＝6，a﹣c＝﹣2，∴b＝6﹣2a，c＝a+2，∵（a＜b＜c），∴a＜解不等式①得：a＜2，解不等式②得：a＞∴43（2）若a，b，c是正整数，且1a∵（a＜b＜c），a，b，c是正整数，∴1c∴3a∴a＜2，又∵a是正整数，∴a＝1，∴1b同理可得2b∴b＜4，∵b是正整数，且b＞1，∴b＝2或b＝3，当b＝2时，12+1当b＝3时，1c∴c＝6，∴a+b+c＝1+3+6＝10．【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．11．自然数m与n均为两位数，它们的十位数字相同，个位上的数字之和为8，且m与n的乘积为三位数，m+n的最小值为28；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2+1，则所有满足条件的k的值之和为45．【考点】因式分解的应用；一元一次不等式的整数解．【专题】整式；运算能力．【答案】28，45．【分析】设两个自然数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位数字为b（0≤b≤8，且b为整数），则n的个位数字为8﹣b，表示出m和n，根据m+n与a的关系，结合乘积为三位数的条件求出m+n的最小值，再将k2＝m2﹣n2+1变形，枚举所有可能的a和b，找出符合条件的k，计算所有k的和即可．【解答】解：设两个自然数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位数字为b（0≤b≤8，且b为整数），则自然数n的个位数字为8﹣b，∴m＝10a+b，n＝10a+8﹣b，∴m+n＝20a+8，mn＝100a2+80a+b（8﹣b），要使m+n＝20a+8最小，需a最小，当a＝1时，mn＝100+80+8b﹣b2＝﹣b2+8b+180＝﹣（b﹣4）2+196，mn的最大值为196＜1000，符合乘积为三位数的条件，因此m+n的最小值为20×1+8＝28，当m＞n时，m﹣n＝（10a+b）﹣（10a+8﹣b）＝2b﹣8＞0，解得b＞4，∴5≤b≤8，且b为整数，∵k2＝m2﹣n2+1，∴k2＝（2b﹣8）（20a+8）+1，且mn＜1000，对b分类讨论如下：①当b＝5时，2b﹣8＝2，k2＝2（20a+8）+1＝40a+17，mn＝（10a+5）（10a+3）＝100a2+80a+15＜1000，a＝1时，k2＝57，不是完全平方数；a＝2时，k2＝97，不是完全平方数；a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；②当b＝6时，2b﹣8＝4，k2＝4（20a+8）+1＝80a+33，mn＝（10a+6）（10a+2）＝100a2+80a+12＜1000，a＝1时，k2＝113，不是完全平方数；a＝2时，k2＝193，不是完全平方数；a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；③当b＝7时，2b﹣8＝6，k2＝120a+49，mn＝100a2+80a+7＜1000，a＝1时，k2＝169＝132，正整数k＝13，符合条件；a＝2时，k2＝289＝172，正整数k＝17，符合条件；a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；④当b＝8时，2b﹣8＝8，k2＝8（20a+8）+1＝160a+65，mn＝（10a+8）（10a+0）＝100a2+80a＜1000，a＝1时，k2＝225＝152，正整数k＝15，符合条件；a＝2时，k2＝385，不是完全平方数；a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；综上，k的值为13，15，17，它们的和为45．故答案为：28，45．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键．12．分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，16x2+8x+1＝（4x+1）2，9x2+12x+4＝（3x+2）2．（1）观察上述三个多项式的系数，有（﹣2）2＝4×1×1，82＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小金猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用等式表示小明的猜想：b2＝4ac；（2）若多项式2x2+ax+c和2x2﹣cx+a都是完全平方式，利用（1）中的规律求ac＝64．【考点】因式分解﹣十字相乘法等；规律型：数字的变化类；因式分解﹣运用公式法．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）b2＝4ac；（2）64．【分析】（1）根据题中给出的三个式子，结合多项式ax2+bx+c（a＞0），由（﹣2）2＝4×1×1，82＝4×16×1，122＝4×9×4的形式即可猜想出答案；（2）由（1）中的猜想，根据多项式2x2+ax+c是完全平方式，得到a2＝8c①，多项式2x2﹣cx+a是完全平方式，得到c2＝8a②，从而两式相乘即可得到ac的值．【解答】解：（1）∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，对比多项式ax2+bx+c（a＞0）有a＝1，b＝﹣2，c＝1，由（﹣2）2＝4×1×1可知b2＝4ac；同理，对于9x2+12x+4＝（3x+2）2，16x2+8x+1＝（4x+1）2，由122＝4×9×4，82＝4×16×1，均可得到b2＝4ac；用数学式子表示小金的猜想：b2＝4ac，故答案为：b2＝4ac；（2）由（1）中猜想，当多项式2x2+ax+c是完全平方式，得到a2＝8c①，当多项式2x2﹣cx+a是完全平方式，得到c2＝8a②，∴a2c2＝64ac，∵2x2+ax+c和2x2﹣cx+a都是完全平方式，∴ac≠0，a2c2＝64ac两边同时除以ac得，ac＝64，故答案为：64．【点评】本题考查因式分解，掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．13．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x，y都取9时，各因式的值是162，18，0，于是可以把“162180”作为一个六位数密码．类似的对于多项式16x3﹣xy2，当x、y都取10时，最小的6位密码是103050．【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；应用意识．【答案】103050．【分析】先提取公因式x，然后运用平方差公式分解因式，将x、y等于10代入因式中，要想使密码最小，需要将最小的数放在前面．【解答】解：16x3﹣xy2，＝x（16x2﹣y2）＝x（4x+y）（4x﹣y），当x、y都取10时，4x+y＝40+10＝50，4x﹣y＝40﹣10＝30，各个因式的值为：10，50，30，所以最小的6位密码是103050．故答案为：103050．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法、平方差公式分解因式．三．解答题（共7小题）14．一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，…．因此8，16，24，32都是“神秘数”．（1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（40）＝112﹣92；48＝（13）2﹣（11）2；（2）【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为2n﹣1（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数；（3）【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由；（4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5，…，按此规律拼叠到正方形ABCD，正方形ABCD的边长为99，求阴影部分面积的和．【考点】因式分解的应用；平方差公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）40，13，11；（2）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，则：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，∵8n是8的倍数，∴“神秘数”一定是8的倍数．（3）960是神秘数，960＝2412﹣2392；（4）阴影部分面积的和为5000．【分析】（1）计算112﹣92：用平方差公式（11+9）×（11﹣9）＝20×2＝40；求48对应的两个连续奇数：设为2n+1和2n﹣1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n＝48，得n＝6，对应132﹣112；（2）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，8n是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数；（3）判断960是否是8的倍数即可；（4）阴影面积和为（32﹣12）+（72﹣52）+（112﹣92）+…+（992﹣972），用平方差公式展开得2×（4+12+20+…+196），计算求解即可．【解答】解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40．设48＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，则8n＝48，解得n＝6，则2n+1＝13，2n﹣1＝11，即48＝132﹣112．故答案为：40，13，11；（2）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，则：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，∵8n是8的倍数，∴“神秘数”一定是8的倍数．（3）设960＝8n，解得n＝120，则2n+1＝241，2n﹣1＝239∴960＝2412﹣2392，960是神秘数．（4）阴影面积和＝（32﹣12）+（72﹣52）+（112﹣92）+…+（992﹣972）＝（3+1）（3﹣1）+（7+5）（7﹣5）+…+（99+97）（99﹣97）＝2×（4+12+20+…+196）=2×(4+196)×25＝5000．答：阴影面积为5000．【点评】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．15．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式）．事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法．例如：因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法，如x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．（1）因式分解：x2+8x+7．（2）因式分解：x2﹣y2﹣4x+6y﹣5．【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）（x+7）（x+1）；（2）（x+y﹣5）（x﹣y+1）．【分析】（1）先利用配方法得到原式＝（x+4）2﹣32，然后利用平方差公式分解因式；（2）先分组得到原式＝x2﹣4x+4﹣（y2﹣6y+9），再利用完全平方公式分别分解因式，然后利用平方差公式分解因式．【解答】解：（1）原式＝x2+8x+16﹣9＝（x+4）2﹣32＝（x+4+3）（x+4﹣3）＝（x+7）（x+1）；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣（y2﹣6y+9）＝（x﹣2）2﹣（y﹣3）2＝（x﹣2+y﹣3）（x﹣2﹣y+3）＝（x+y﹣5）（x﹣y+1）．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法，掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．也考查了公式法和分组分解法分解因式．16．先阅读下列材料，再解答下列问题：因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1．解：将“x﹣y”看成整体，设x﹣y＝a，则原式＝a2+2a+1＝（a+1）2．再将x﹣y＝a代入，得原式＝（x﹣y+1）2．归纳总结：“换元法”是初中数学经常用到的一种方法．在因式分解时，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．（1）下面是小明同学用“换元法”对多项式（x+2y）2+4（x+2y）+4进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整．解：设x+2y＝a．原式＝a2+4a+4＝（a+2）2将x+2y＝a代入，得原式＝（a+2）2＝（x+2y+2）2．（2）请用“换元法”对多项式（x﹣2y﹣1）（x﹣2y+3）+4进行因式分解．（3）当x＝﹣1时，多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1存在最小值（填“大”或“小”），这个值是0．【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）a2+4a+4；＝（x+2y+2）2；（2）（x﹣2y+1）2；（3）﹣1；小，0．【分析】（1）仿照示例，进行因式分解，可得到结果；（2）设x﹣2y＝a，则原式＝（a﹣1）（a+3）+4，进行因式分解，可得到结果．（3）设x2+2x＝a，原式变形为（a+1）2，可得（x2+2x+1）2＝（x+1）4，故可得结论．【解答】解：（1）设x+2y＝a，原式＝a2+4a+4，将x+2y＝a代入得：原式＝（x+2y+2）2；故答案为：a2+4a+4；（x+2y+2）2；（2）设x﹣2y＝a，则原式变为（a﹣1）（a+3）+4＝a2+3a﹣a﹣3+4＝（a+1）2，把a＝x﹣2y代入得：原式＝（x﹣2y+1）2；（3）设x2+2x＝a，则原式变为：a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2，代入a＝x2+2x，得（x2+2x+1）2＝（x+1）4，∴当x＝﹣1时，（x+1）4＝0，∴当x＝﹣1时，多项式存在最小值，这个最小值为0．故答案为：﹣1；小，0．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．17．阅读并完成相应问题的解答．因为（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝（x+2）．即x2+x﹣2能被x﹣1整除．同理，x2+x﹣2能被x+2整除．我们知道，若ab＝0，则a＝0或b＝0．若x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，则x﹣1＝0或x+2＝0，所以x＝1或x＝﹣2．请根据以上的阅读材料，完成以下问题：（1）若（x+2）（x+k）＝x2+5x+6，求数k的值；（2）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，求数m的值；（3）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，当x2+mx﹣15＝0时，求x值．【考点】因式分解的应用；解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】因式分解；应用意识．【答案】（1）3；（2）﹣2；（3）x＝﹣3或x＝5．【分析】（1）先把左边的（x+2）（x+k）用多项式乘法展开，得到x2+（k+2）x+2k；让展开后的式子和右边的x2+5x+6对应项的系数相等，列出关于k的等式；解等式验证后得到k的值；（2）因为x2+mx﹣15能被x+3整除，说明这个二次式可以分解成（x+3）和另一个一次式（x+a）的乘积；把（x+3）（x+a）展开，和原式对比常数项，先算出a的值；再对比一次项的系数，代入a的值算出m；（3）把第（2）问算出的m代入原式，得到完整的一元二次方程；对这个方程左边的多项式做因式分解；根据“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的规则，分别让两个因式等于0，解出对应的x值．【解答】解：（1）（x+2）（x+k）＝x2+（k+2）x+2k，因为（x+2）（x+k）＝x2+5x+6，所以等式两边对应项系数相等，即k+2＝5且2k＝6，由k+2＝5得k＝3，代入2k＝6验证，2×3＝6，等式成立，故k＝3．（2）因为多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，所以可设x2+mx﹣15＝（x+3）（x+a）（a为常数），（x+3）（x+a）＝x2+（a+3）x+3a，与x2+mx﹣15对比得：3a＝﹣15，解得a＝﹣5；又因为m＝a+3，代入a＝﹣5得m＝﹣5+3＝﹣2．（3）求x的值第一步：代入m的值确定多项式由（2）知m＝﹣2，所以多项式为x2﹣2x﹣15，所以x2﹣2x﹣15＝0，得（x+3）（x﹣5）＝0，得x+3＝0或x﹣5＝0，解得x＝﹣3或x＝5．【点评】本题考查多项式乘法与整除的关系，通过展开等式、利用整除性质建立方程求解未知数，再结合因式分解求解方程的根．18．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则：原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝（x﹣y+1）2；（2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）（x﹣y+1）2；（2）证明：将“a2b2﹣4a”看成整体，令a2b2﹣4a＝A，则：原式＝A（A﹣2）+1＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2，再将“A”还原，得原式＝（a2b2﹣4a﹣1）2，∵（a2b2﹣4a﹣1）2≥0，∴无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．【分析】（1）令x﹣y＝A，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“A”还原即可；（2）令a2b2﹣4a＝A，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“A”还原，得原式＝（a2b2﹣4a﹣1）2，任何情况下，都是非负数，题目得证．【解答】（1）解：将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则：原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x﹣y+1）2；故答案为：（x﹣y+1）2；（2）证明：将“a2b2﹣4a”看成整体，令a2b2﹣4a＝A，则：原式＝A（A﹣2）+1＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2，再将“A”还原，得原式＝（a2b2﹣4a﹣1）2，∵（a2b2﹣4a﹣1）2≥0，∴无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．19．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：x3﹣4x+3．解：观察可知，当x＝1时，原式＝1﹣4+3＝0，所以原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．因为x3﹣4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x﹣1是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为x2+bx+c，即x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c）．因为上式对任意x恒成立，所以可另取几个方便计算的x的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得b，c的值，从而完成对x3﹣4x+3的因式分解．（1）取x＝0和x＝2代入，求b，c的值；（2）尝试用上述方法分解因式：x3+2x2﹣1．【考点】因式分解﹣十字相乘法等；有理数的加减混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）b＝1，c＝﹣3；（2）x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+x﹣1）．【分析】（1）按要求代入指定x的值，得到关于b，c的方程组求解即可；（2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解．【解答】解：（1）取x＝0和x＝2代入，已知x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c），将x＝0代入等式两边，得左边＝03﹣4×0+3＝3，右边＝（0﹣1）（0+0+c）＝﹣c，因此3＝﹣c，解得c＝﹣3，将x＝2，c＝﹣3代入等式两边，得左边＝23﹣4×2+3＝3，右边＝（2﹣1）（22+2b﹣3）＝1+2b，因此3＝1+2b，解得b＝1，即b=1c=-3（2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式可得：对于多项式x3+2x2﹣1，当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）3+2×（﹣1）2﹣1＝0，因此原式可分解为（x+1）与一个二次整式的乘积，设另一个整式为x2+bx+c，可得x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+bx+c），取x＝0代入等式，得左边＝﹣1，右边＝1×c＝c，因此c＝﹣1，取x＝1代入等式，得左边＝13+2×12﹣1＝2，右边＝（1+1）（1+b﹣1）＝2b，因此2＝2b，解得b＝1，因此x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+x﹣1）【点评