中考数学难题突破之圆

2027年中考数学复习难题速递之圆（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，以点A为圆心，边AB的长为半径画弧，与边AD相交于点E；分别以点B，E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAD的内部相交于点F；连接AF并延长，与边BC相交于点G．若AB＝5，BE＝6，则线段A．5 B．6 C．8 D．102．如图，H，I，J，K，L，M分别为正六边形ABCDEF各边上的动点（不与顶点重合）且六边形HIJKLM也是正六边形，它们的中心都是点O，连接AO交HI于点P．当AB＝1时，给出下面四个结论错误是（）A．AH+ME＝1 B．HM的最小值为32C．∠APH＝∠FMH+∠FHM D．AP的最大值为13．某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以BC为边，在BC同侧作正五边形BCEFG和正方形ABCD，然后连接GA，DE，最后隐藏线段AB，DC，并添加眼睛和嘴巴，∠FGA的度数是（）A．18° B．27° C．30° D．81°4．如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB，CD分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为s，三条线段GB，BC，CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，s和l的值分别是（）A．4，3 B．23，4C．33，6 D．s和l5．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（）A．160° B．164° C．162° D．170°6．在⊙O中，AB为直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙相切于点C，点D为AC上的点，且AD=BC，连接AD．如图，延长AD、PC交于点E，点F在AO上，连接DF、CF，∠ECF＝∠AFD﹣∠CFP，DF＝2，AB＝6，线段A．2510 B．4510 C．107．如图，⊙O为四边形ABCD的内切圆，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．2 B．125 C．145 D8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠ADB的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°9．如图，已知正六边形ABCDEF的半径为2，且点O为正六边形ABCDEF的中心，则阴影部分面积为（）A．3 B．32 C．2π3-310．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠BCD＝110°，则DE的长度为（）A．4π3 B．3π2 C．5π3 D二．填空题（共5小题）11．如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知OA＝OB＝2米，则阴影部分图形的面积和为平方米．12．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形ABCDEFGH的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比是．13．如图，将矩形纸片ABCD（AD＜AB）折叠，折痕为AE，使AD落在AB边上，点D′为点D的对应点，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AE于点F．若AB＝6，则BF的长为．14．蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由6个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为1，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点A的距离记为d，则当d＝1时，图中满足条件的格点数为3，分别为点B，C，D，当2.5＜d＜3.5时，图中满足条件的格点共有个．15．如图，一个长AB＝8、宽BC＝6、对角线AC＝BD＝10的长方形ABCD，将它沿直线l作顺时针方向的滚动．当点A第一次落在直线l上时，那么线段AD扫过区域的面积是（结果保留π）．三．解答题（共5小题）16．如图，已知AB是⊙O的直径，点P，C在⊙O上，PA=（1）线段PA与线段PC的数量关系是，若连接AC，则直线PO与AC的位置关系是；（2）求证：PO∥BC；（3）过点P作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l于点D．根据题意补全图形，若PD＝22，BC＝2，求⊙O的半径．17．综合与实践2026年是我国探月工程实施20周年，学校数学兴趣小组对未来月球科研站展开设想：如图所示，月球基地舱先由若干舱段拼接成不同多边形，再通过几个多边形拼接组合搭建整体舱体．在其主舱段AB的中点P处设有机器人充电端，机器人需沿各舱段绕行一周进行巡检，每当抵达舱段连接处，机器人调整行进方向驶入下一舱段，从原行进路线转至新行进路线所转过的最小夹角，定义为“转向角”．机器人从点P出发，沿各舱段绕行一周后回到点P，所有“转向角”的总和称为“转向角和”．如图1，当机器人沿P→B方向转向B→C方向时，∠FBC即为“转向角”．【问题1】如图1，机器人从点P出发沿等边三角形ABC的边逆时针行走，走完一周回到起点P，“转向角和”等于度；【问题2】如图2，科研站由两个相同的正方形舱段搭建而成，两个正方形仅有一个公共顶点D，无其他交点，且∠CDE＝α．机器人从点P出发，无重复地走过两个正方形的所有舱段后回到起点P．（1）当0°＜α＜90°时，机器人沿C→D方向行至点D，调整机身驶向下一舱段，求机器人在该位置“转向角”的度数（用含α的代数式表示）；（2）当“转向角和”最小时，求α的度数；【问题3】如图3，科研站由正方形ABCD和正六边形DEFGHI搭建而成，除公共顶点D外，每个正多边形均位于另一个正多边形的外部．机器人从点P出发，无重复地走过两个多边形的所有舱段后回到起点P．当∠CDE的度数发生变化时，机器人的“转向角和”是否存在最小值？若存在，请直接写出“转向角和”的最小值及此时∠CDE的取值范围；若不存在，请说明理由．18．【定义】如图1，AB是⊙O的直径，平移直径AB得到平行四边形ABCD，当对边CD的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是⊙O的“环中点平四”．【探究1】求证：AB＝2AD．【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在⊙O上时，且AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．【探究2】如图2，在正方形ABCD中，AB＝6，以CD为直径作圆，平移直径CD得到线段PQ，当平行四边形PQDC是⊙O的“环中点平四”时，直接写出BQ的最大值．19．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，E为BC边上一点，GE⊥BC，交BA的延长线于点G，交AC于点F，过点A作⊙O的切线交GE于点D．（1）求证：∠C＝∠DAG；（2）若tan∠DAG=23，⊙O的半径为13，AG＝3，求20．【模型提出】如图①，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且∠ACB＝45°，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，则点C在⊙O的优弧ACB上．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．【模型应用】如图②，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边BC、CD上的动点，BE＝CF，连结AE、BF，AE与BF交于点G．（1）求证：AE⊥BF；（2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为；（3）若点I是△ABG的内心，连结CI，则线段CI的最小值为．

2027年中考数学复习难题速递之圆（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCBBBDBCCA一．选择题（共10小题）1．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，以点A为圆心，边AB的长为半径画弧，与边AD相交于点E；分别以点B，E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAD的内部相交于点F；连接AF并延长，与边BC相交于点G．若AB＝5，BE＝6，则线段A．5 B．6 C．8 D．10【考点】圆周角定理；平行四边形的性质．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】C【分析】令BE与AF的交点为O，由作图，可得AB＝AE，AF平分∠BAE，再根据勾股定理求出AO＝4，继而推导出△AOE≌△GOB（AAS），得到AO＝GO＝4，再求出AG＝8，即可解答．【解答】解：令BE与AF的交点为O，如图：由作图可得AB＝AE，AF平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AO=AB2-BO2=4由平行四边形性质可知∠DAO＝∠BGA，∴△AOE≌△GOB（AAS），∴AO＝GO＝4，∴AG＝AO+GO＝8．故选：C．【点评】本题考查了基本作图、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．2．如图，H，I，J，K，L，M分别为正六边形ABCDEF各边上的动点（不与顶点重合）且六边形HIJKLM也是正六边形，它们的中心都是点O，连接AO交HI于点P．当AB＝1时，给出下面四个结论错误是（）A．AH+ME＝1 B．HM的最小值为32C．∠APH＝∠FMH+∠FHM D．AP的最大值为1【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的全等；正多边形与圆；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】先用正六边形的性质以及三角形的外角的性质证明△MHF≌△LME（AAS）可得HF＝ME，再根据线段的和差可判断A；如图：连接OH、OM、OF，则△OHM是等边三角形，由等边三角形的性质可得HM＝OH，OA＝OF＝AF＝AB＝1，如图：过O作OG⊥AF，根据三线合一和勾股定理可得AG=12OA=12、OG=32，再根据垂线段定理可判断B；根据三角形的外角以及三角形内角和可知∠FMH+∠FHM＝60°，∠APH＝120°﹣∠AHI，结合∠AHI＜60°可判断C；证明△HOP∽△AOH可得OP=OH2AO，要使AP最大，则需OP最小，即OH【解答】解：∵正六边形ABCDEF和正六边形HIJKLM，∴∠HFM＝∠MEL＝120°，HM＝ML，∵∠HME＝∠MHF+∠HFM＝∠HML+∠LME，∴∠MHF＝∠LME，∴△MHF≌△LME（AAS），∴HF＝ME，∴AH+ME＝AH+HF＝AF＝1，即A正确；如图：连接OH、OM、OF，则△OHM是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝AB＝1，HM＝OH，如图：过O作OG⊥AF，∴AG=1∴OG=O由垂线段最短可知：OH≥OG=32，即OH的最小值为∴MH的最小值为32，即B∵∠APH＝180°﹣∠OAF﹣∠AHI＝120°﹣∠AHI，∠FMH+∠FHM＝180°﹣∠HFM＝60°，∵∠AHI＜60°，∴∠APH＝120°﹣∠AHI＞60°，∴∠APH≠∠FMH+∠FHM，即C错误．由题意可知：∠OAH＝∠OHP＝60°，∵∠HOA＝∠POH，∴△HOP∽△AOH，∴OHAO=OP要使AP最大，则需OP最小，即OH最小，∵OH的最小值为32∴OP的最小值为OP=(∴AP的最大值为1-OP=14，即综上，C错误．故选：C．【点评】本题考查正多边形和圆，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．3．某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以BC为边，在BC同侧作正五边形BCEFG和正方形ABCD，然后连接GA，DE，最后隐藏线段AB，DC，并添加眼睛和嘴巴，∠FGA的度数是（）A．18° B．27° C．30° D．81°【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角．【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；推理能力．【答案】B【分析】根据正五边形的每个内角都相等，每条边都相等得出BC＝BG，∠FGB＝∠GBC＝108°，再根据正方形的每个内角都相等，每条边都相等得出AB＝BC，∠ABC＝90°，即可得出AB＝BG，∠GBA＝18°，再根据等边对等角求出∠AGB＝∠GAB＝81°，即可求出∠FGA的度数．【解答】解：∵五边形BCEFG是正五边形，∴BC＝BG，∠FGB＝∠GBC=(5-2)×180°5∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AB＝BG，∠GBA＝∠GBC﹣∠ABC＝108°﹣90°＝18°，∴∠AGB＝∠GAB=180°-∠GBA2∴∠FGA＝∠FGB﹣∠AGB＝108°﹣81°＝27°，故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的判定与性质，多边形的内角与外角，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．4．如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB，CD分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为s，三条线段GB，BC，CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，s和l的值分别是（）A．4，3 B．23，4C．33，6 D．s和l【考点】正多边形和圆；旋转的性质．【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】连接OA，OC，OB．证明△HOC≌△GOA（ASA），AG＝CH，S△HOC＝S△GOA，即可得到s＝S△HOC+S△BOC+S△BOG＝S△COB+S△OAB，l＝GB+BC+CH＝2BC．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB，过O作OM⊥AB于M，根据正六边形的性质得，∠AOB＝∠COB＝60°，OA＝OB＝OC，∠HOG=(6-2)×180°∴∠HOG＝∠AOC＝120°，△AOB和△COB是等边三角形，∴∠HOC＝∠GOA＝120°﹣∠GOC，OA＝OB＝OC＝AB＝BC＝2，∠OCH＝∠OAG＝∠AOB＝∠COB＝60°，∴OM=OA2∴S△OAB同理可得S∵OC＝OA，∠OCH＝∠OAG，∠HOC＝∠GOA＝120°﹣∠GOC，∴△HOC≌△GOA（ASA），∴AG＝CH，S△HOC＝S△GOA，∵∠OAG＝∠OBA＝∠AOB＝60°，AB＝2，∴S=Sl＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝4．∴s和l的值分别是23，4故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．5．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（）A．160° B．164° C．162° D．170°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】B【分析】求出∠BCD的度数，根据圆内接四边形的对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝82°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．【解答】解：∵∠DCE＝82°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝98°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝82°，∴∠BOD＝2∠A＝164°，故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键．6．在⊙O中，AB为直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙相切于点C，点D为AC上的点，且AD=BC，连接AD．如图，延长AD、PC交于点E，点F在AO上，连接DF、CF，∠ECF＝∠AFD﹣∠CFP，DF＝2，AB＝6，线段A．2510 B．4510 C．10【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．【答案】D【分析】先由切线的性质和折叠的性质∠ECF＝∠NHF，再结合已知得出∠GFH＝∠NHF，用CD∥AB，得出∠DCH＝90°，即DH是⊙O的直径，进而得出∠FGH是直角，再用等角的余角相等得出∠FHG＝∠FHD，进而用角平分线定理得出HG＝3GF，在直角三角形DGH中，用勾股定理求出GF，HG，FH即可解决问题．【解答】解：过点C作CH⊥AB于M，连接CD，FH，DH，延长DF，PH相交于点N，连接CG，HG，∵CH⊥AB，∴∠FCH＝∠FHC，∠CFB＝∠HFB，∵∠ECF＝∠AFD﹣∠CFP，∴∠GFH＝∠ECH，∵PC，PH于⊙O相切，∴∠PCH＝∠PHC，∴∠PCH+∠FCH＝∠PHC+∠FHC，∴∠PCF＝∠PHF，∴∠ECF＝∠NHF，∵∠GFH＝∠ECH，∴∠GFH＝∠NHF，∴AD=∴CD∥AB，∴∠CMA＝90°，∴∠DCH＝90°，∴DH是⊙O的直径，∴∠DGH＝90°∴∠FHG＝90°﹣∠GFH＝90°﹣∠FHN，∵DH是⊙O直径，∴∠DHN＝90°，∴∠FHD＝90°﹣∠FHN，∴∠FHG＝∠FHD，∴DHHG∵AB＝DH＝6，FD＝2∴6HG∴HG＝3GF，在Rt△DGH中，HG2+DG2＝HD2，∴9GF2+（2+GF）2＝36，∴GF=8∴FH=HG2∵CH⊥HB，∴CF＝FH=8故选：D．【点评】此题考查了切线的性质，等弧所对的圆心角相等，平行线的性质和判定，勾股定理等知识，解本题的关键是得出∠FHG＝∠FHD，也是解本题的难点，由∠ECF＝∠AFD﹣∠CFP作辅助线也是解本题难点，是一道难点比较大的压轴题．7．如图，⊙O为四边形ABCD的内切圆，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．2 B．125 C．145 D【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理；切线长定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】过点D作DG⊥BC于点G，设AD与圆的切点为H，DC与圆的切点为F，BC与圆的切点为E，AB与圆的切点为M，连接OM，OE，OH，得四边形AMOH，四边形BMOE都是正方形，四边形HEGD是矩形，设圆O半径为R，则BE＝AH＝OM＝R，DG＝HE＝2R，根据切线长定理和勾股定理列方程即可求解．【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，设AD与圆的切点为H，DC与圆的切点为F，BC与圆的切点为E，AB与圆的切点为M，连接OM，OE，OH，如图，∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形AMOH，四边形BMOE都是正方形，四边形HEGD是矩形，∴BG＝AD＝4，CG＝BC﹣BG＝6﹣4＝2，H，O，E共线，∵点E、F、H是切点，∴DF＝DH，CF＝CE，设圆O半径为R，则BE＝AH＝OM＝R，DG＝HE＝2R，∴CE＝CF＝6﹣R，DF＝DH＝4﹣R，∵DG2+CG2＝CD2，∴（2R）2+22＝[（4﹣R）+（6﹣R）]2，解得：R=12故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，勾股定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠ADB的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【答案】C【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠ADC的度数，再根据等弦对等弧、等弧对等角得出∠ADB＝∠CDB，从而求解．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∵AB＝BC，∴AB=∴∠ADB＝∠CDB，∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB，∴∠ADB=1故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．如图，已知正六边形ABCDEF的半径为2，且点O为正六边形ABCDEF的中心，则阴影部分面积为（）A．3 B．32 C．2π3-3【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；推理能力．【答案】C【分析】连接OC，OD，作OG⊥CD于点G，得到OC＝OD＝2，∠COD=16×360°=60°，得出△COD是等边三角形，求出OG=OC2-CG2=3，再由【解答】解：连接OC，OD，作OG⊥CD于点G，∵正六边形ABCDEF的半径为2，且点O为正六边形ABCDEF的中心，∴∠COD=16×360°=60°，OC＝OD∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝2，∴CG=1∴OG=O∴S阴影故选：C．【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形与圆的关系是解题的关键．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠BCD＝110°，则DE的长度为（）A．4π3 B．3π2 C．5π3 D【考点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】连接OC．根据圆内接四边形的性质以及∠BCD＝110°，求出∠A＝70°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A＝140°，那么∠DOE＝180°﹣∠BOD＝40°，然后利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠A＝70°，∴∠BOD＝2∠A＝2×70°＝140°，∴∠DOE＝180°﹣∠BOD＝180°﹣140°＝40°，∵⊙O的半径为6，∴DE的长度为40π×6180故选：A．【点评】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理．求出∠DOE的度数是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知OA＝OB＝2米，则阴影部分图形的面积和为8π平方米．【考点】扇形面积的计算；中心对称图形；正方形的判定．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】8π．【分析】阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，再列式计算即可．【解答】解：∵观赏鱼池是中心对称，且OA＝OB＝2米，∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，∴阴影部分图形的面积和为2×π×22＝8π（平方米）．故答案为：8π．【点评】本题考查了圆的面积，发现阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆是解题关键．12．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形ABCDEFGH的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比是(3+22)：【考点】正多边形和圆；相似多边形的性质；全等图形．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】(3+22【分析】如图，设小正八边形边长为a．连接JK，过点P作PM⊥JK于点M，过点Q作QN⊥JK于点N．则四边形PQNM，四边形JKGH都是矩形．求出GH，再利用相似多边形的性质求解．【解答】解：如图，设小正八边形边长为a．连接JK，过点P作PM⊥JK于点M，过点Q作QN⊥JK于点N．则四边形PQNM，四边形JKGH都是矩形．∴MN＝PQ＝a，∵MJ＝MP=22a，NK＝NQ=∴GH＝JK=22a+a+22a=正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比＝（HGPQ）2＝（2a+aa）2＝（3+22故答案为：(3+22【点评】本题考查正多边形与圆，全等图形，相似多边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．13．如图，将矩形纸片ABCD（AD＜AB）折叠，折痕为AE，使AD落在AB边上，点D′为点D的对应点，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AE于点F．若AB＝6，则BF的长为32π【考点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】32π【分析】根据折叠性质可知∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用弧长公式计算即可．【解答】解：由题意可知∠BAE＝∠DAE＝45°，∴BF的长=45π×6180故答案为：32π【点评】本题考查了折叠的性质，弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．14．蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由6个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为1，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点A的距离记为d，则当d＝1时，图中满足条件的格点数为3，分别为点B，C，D，当2.5＜d＜3.5时，图中满足条件的格点共有8个．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；推理能力．【答案】8．【分析】分别以A为圆心，以不同格点到A点的距离的长度为半径作圆，找到所有满足条件的格点数即可．【解答】解：当d＝1时，以A为圆心，以AC的长度1为半径作圆，满足条件的格点数为3，分别为点B，C，D，以A为圆心，以AF的长为半径作圆，与该圆相交的格点有3个（包括点F），∵图中为6个相同的正六边形，∴AF＝2AC＝2，∵2＜2.5，∴不满足题意，以A为圆心，以AE的长为半径作圆，与该圆相交的格点有6个（包括点E），∵图中为6个相同的正六边形，∴∠CAE=1∴AE=2×3∵3≈1.732∴不满足题意，以A为圆心，以AG的长为半径作圆，与该圆相交的格点有4个（包括点G），过点G作GH⊥AK于点H，∵图中为6个相同的正六边形，∴∠KGH＝30°，∴HK=12GK=∴AH=AK-HK=5∴AG=G∵7≈2.646∴2.5＜以A为圆心，以AK的长为半径作圆，与该圆相交的格点有3个（包括点K），∴AK＝AB+BK＝3，∵2.5＜3＜3.5，∴满足题意，以A为圆心，以AM的长为半径作圆，与该圆相交的格点有1个（点M），∵图中为6个相同的正六边形，∴AM=2AE=23∵23∴2.5＜以A为圆心，以AN的长为半径作圆，与该圆相交的格点有1个（点N），∵图中为6个相同的正六边形，∴∠AMN＝120°﹣30°＝90°，∴AN=A∵13≈3.606∴13＞综上所述，满足条件的格点有8个，故答案为：8．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形和圆的性质是解题的关键．15．如图，一个长AB＝8、宽BC＝6、对角线AC＝BD＝10的长方形ABCD，将它沿直线l作顺时针方向的滚动．当点A第一次落在直线l上时，那么线段AD扫过区域的面积是18π（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】18π．【分析】根据旋转的性质，扇形面积、三角形面积、矩形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，线段AD所扫过部分的面积即图中阴影部分，所以S阴影部分＝S阴影部分①+S阴影部分②＝（S△ABC+S扇形CAA1+S△A1D1C）﹣S矩形ABCD﹣S扇形CDD1+S扇形D1A1A2=12×6×8+90π×102360+1＝24+25π+24﹣48﹣16π+9π＝18π，故答案为：18π．【点评】本题考查扇形面积的计算，旋转的性质，理解旋转的性质，掌握扇形面积、三角形面积、矩形面积的计算方法是正确解答的关键．三．解答题（共5小题）16．如图，已知AB是⊙O的直径，点P，C在⊙O上，PA=（1）线段PA与线段PC的数量关系是PA＝PC，若连接AC，则直线PO与AC的位置关系是PO⊥AC；（2）求证：PO∥BC；（3）过点P作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l于点D．根据题意补全图形，若PD＝22，BC＝2，求⊙O的半径．【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）PA＝PC；PO⊥AC；（2）延长PO交AC于点H，由（1）可得，PO垂直平分AC，即HA＝HC，∵OA＝OB，∴OH是△ABC的中位线，∴OH∥BC，即PO∥BC；（3）；3．【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明PO垂直平分AC即可；（2）证明OH是△ABC的中位线，再由中位线的性质求解即可；（3）先根据题意补全图形，然后连接AC，延长PO交AC于点H，然后证明四边形PDAH是矩形，再由圆周角定理得到∠ACB＝90°，最后对Rt△ABC运用勾股定理求解．【解答】（1）解：∵在⊙O中，PA=∴PA＝PC，连接AC，∵PA＝PC，OA＝OC，∴PO垂直平分AC，∴直线PO与AC的位置关系是PO⊥AC，故答案为：PA＝PC；PO⊥AC；（2）证明：延长PO交AC于点H，由（1）可得，PO垂直平分AC，即HA＝HC，∵OA＝OB，∴OH是△ABC的中位线，∴OH∥BC，即PO∥BC；（3）解：补全图形如图：连接AC，延长PO交AC于点H，由（2）可知∠PHA＝90°，HA＝HC，∵直线l是⊙O的切线，AD⊥l，∴∠PDA＝∠DPH＝90°，∴∠PDA＝∠DPH＝∠PHA＝90°，∴四边形PDAH是矩形，∴AH=PD=22∴AC=2AH=42∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴AB=(4∴半径为12【点评】本题考查了圆的基本性质，圆的切线等，掌握圆的综合知识是解题的关键．17．综合与实践2026年是我国探月工程实施20周年，学校数学兴趣小组对未来月球科研站展开设想：如图所示，月球基地舱先由若干舱段拼接成不同多边形，再通过几个多边形拼接组合搭建整体舱体．在其主舱段AB的中点P处设有机器人充电端，机器人需沿各舱段绕行一周进行巡检，每当抵达舱段连接处，机器人调整行进方向驶入下一舱段，从原行进路线转至新行进路线所转过的最小夹角，定义为“转向角”．机器人从点P出发，沿各舱段绕行一周后回到点P，所有“转向角”的总和称为“转向角和”．如图1，当机器人沿P→B方向转向B→C方向时，∠FBC即为“转向角”．【问题1】如图1，机器人从点P出发沿等边三角形ABC的边逆时针行走，走完一周回到起点P，“转向角和”等于360度；【问题2】如图2，科研站由两个相同的正方形舱段搭建而成，两个正方形仅有一个公共顶点D，无其他交点，且∠CDE＝α．机器人从点P出发，无重复地走过两个正方形的所有舱段后回到起点P．（1）当0°＜α＜90°时，机器人沿C→D方向行至点D，调整机身驶向下一舱段，求机器人在该位置“转向角”的度数（用含α的代数式表示）；（2）当“转向角和”最小时，求α的度数；【问题3】如图3，科研站由正方形ABCD和正六边形DEFGHI搭建而成，除公共顶点D外，每个正多边形均位于另一个正多边形的外部．机器人从点P出发，无重复地走过两个多边形的所有舱段后回到起点P．当∠CDE的度数发生变化时，机器人的“转向角和”是否存在最小值？若存在，请直接写出“转向角和”的最小值及此时∠CDE的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】正多边形和圆；余角和补角；等边三角形的性质；多边形内角与外角．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力．【答案】（1）360；（2）①机器人在该位置“转向角”的度数为（180﹣α）°或（90﹣α）°；②90°；（3）存在，“转向角和”最小值为600°，此时30°≤∠CDE≤60°．【分析】（1）根据已知条件结合等边三角形的性质和补角的性质得出结果；（2）①结合已知条件利用补角的性质得出结果；②根据题意分情况讨论，根据不同的线路情况进行计算即可得出最终结果；（3）结合多边形外角和和正多边形内角的性质进行分析即可得出结果．【解答】（1）由题意知，∠FBC，∠ACD，∠EAB为“转向角”，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠FBC＝∠ACD＝∠EAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠FBC+∠ACD+∠EAB＝120°×3＝360°，即“转向角和”等于360度，故答案为：360．（2）①由题意知，机器人沿C→D方向行至点D，调整机身驶向下一舱段，∴机器人有两条线路可选：C→D→G，C→D→E，∴C→D→E的“转向角”为（180﹣α）°，C→D→G的“转向角”为（90﹣a）°；②分情况讨论：（i）若机器人路线中存在C→D→E或A→D→G，则“转向角和”为90°×6+180°﹣α+α＝720°；（ii）若机器人路线中存在C→D→G或A→D→E，当50°＜α＜90°时，“转向角和”为90°×6+90°﹣α+90°﹣α＝720°﹣2α；当α＝90°时，“转向角和”为540°；当90°＜α＜180°时，“转向角和”为90°×6+α﹣90°+α﹣90°＝360°+2α；综上所述，当“转向角和”最小为540°时，此时α＝90°；（3）存在．由题意知，正方形ABCD和正六边形DEFGHI除公共顶点D外，其他顶点的转向角均为对应正多边形的外角，∵正方形的外角为：180°﹣90°＝90°，而正方形有3个非D顶点，∴转向角和为：3×90°＝270°，∵正六边形的外角为：180°﹣120°＝60°，而正六边形有5个非D顶点，∴转向角和为：5×60°＝300°，∴非D点的转向角和固定为：300°+270°＝570°，∵机器人在D点有两次转向，一次从正方形到正六边形，一次从正六边形到正方形，正方形内角∠ADC＝90°，正六边形内角∠EDI＝120°，设∠CDE＝α，需保证转向角为最小夹角，即转向角≤180°，当从CD转向DE时，转向角取值范围为180°﹣α≥120°，解得：α≤60°，当从DE转向DA时，转向角取值范围为180°﹣（120°+90°﹣α）＝α﹣30°≥0，解得：α≥30°，∴当α＝30°时，“转向角和”的最小值为570°+30°＝600°，此时∠CDE的取值范围为30°≤∠CDE≤60°．【点评】本题考查正多边形的内角，等边三角形的性质，补角，多边形的外角，掌握以上知识点是解题的关键．18．【定义】如图1，AB是⊙O的直径，平移直径AB得到平行四边形ABCD，当对边CD的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是⊙O的“环中点平四”．【探究1】求证：AB＝2AD．【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在⊙O上时，且AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．【探究2】如图2，在正方形ABCD中，AB＝6，以CD为直径作圆，平移直径CD得到线段PQ，当平行四边形PQDC是⊙O的“环中点平四”时，直接写出BQ的最大值．【考点】圆的综合题．【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】【探究1】证明：连接OM，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点M为CD的中点，点O为AB的中点，∴OA=12AB，DM=∴OA＝DM，∴四边形AODM为平行四边形，∴AD＝OM，∵点M在⊙O上，∴OM=12∴AD=12∴AB＝2AD．【应用】平行四边形ABCD的面积=3【探究2】BQ取得最大值＝BD+DQ＝62+3【分析】【探究1】连接OM，理由平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，利用圆的性质和线段的中点的定义得到OA＝DM，利用平行四边形的判定定理和性质定理得到AD＝OM，再利用圆的性质将点即可得出结论；【应用】连接AC，利用圆周角定理得到AC⊥BC，利用勾股定理求得AC，再利用平行四边形的面积公式将点即可得出结论；【探究2】连接BD，利用正方形的性质求得BD，利用【探究1】的结论得到DQ＝3，则点Q在以点D为圆心，3为半径的圆上，利用线段的公理得到BQ≤BD+DQ，则当点B，D，Q在一条直线上时，BQ取得最大值＝BD+DQ＝62+3【解答】【探究1】证明：连接OM，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点M为CD的中点，点O为AB的中点，∴OA=12AB，DM=∴OA＝DM，∴四边形AODM为平行四边形，∴AD＝OM，∵点M在⊙O上，∴OM=12∴AD=12∴AB＝2AD．【应用】解：连接AC，如图，∵点C落在⊙O上，AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，由【探究1】知：AB＝2AD＝2，∴AD＝1，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝1，∴AC=A∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝1×3【探究2】解：BQ的最大值为62+3连接BD，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝BC＝6，BD=2AB＝62∵平行四边形PQDC是⊙O的“环中点平四”，∴CD＝2DQ，∴DQ＝3，∴点Q在以点D为圆心，3为半径的圆上，∵BQ≤BD+DQ，∴当点B，D，Q在一条直线上时，BQ取得最大值＝BD+DQ＝62+3【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题是新定义型，正确理解新定义并熟练运用是解题的关键．19．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，E为BC边上一点，GE⊥BC，交BA的延长线于点G，交AC于点F，过点A作⊙O的切线交GE于点D．（1）求证：∠C＝∠DAG；（2）若tan∠DAG=23，⊙O的半径为13，AG＝3，求【考点】切线的性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）（1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠C+∠B＝90°，由条件可知∠B＝∠OAB，∴∠C+∠OAB＝90°，∵AD与⊙O相切，∴∠OAD＝90°，∴∠DAG+∠OAB＝90°，∴∠C＝∠DAG；（2）GE=21【分析】（1）由直径得到∠BAC＝90°，推出∠C+