人教A版高一数学秋季培优班 第14讲 函数零点、方程与函数模型（总部定稿版）（教师版）

第14讲函数零点、方程与函数模型目录题型01函数零点的求法题型02零点存在性定理题型03零点个数与参数范围题型04函数与方程综合题型05二分法求近似解题型06函数模型应用题型07指数、对数与拟合模型应用强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读函数的应用（二）知识点01函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.（2）二次函数的零点二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的零点个数，方程ax²＋bx＋c＝0的实根个数见下表.否则当a＝0时不是二次函数。判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．3、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4、判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：可直接研究方程f(x)＝0，或利用零点存在性定理，并结合函数的单调性、图象、奇偶性等确定零点的个数；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．知识点02二分法1、二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x₀的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间[a₀，b₀]⊆D，使f(a₀)与f(b₀)异号，即f(a₀)·f(b₀)<0，零点位于区间[a₀，b₀]中．第二步：取区间[a₀，b₀]的中点c₀，则c₀＝a₀＋1/2(b₀－a₀)＝1/2(a₀＋b₀)．计算f(c₀)和f(a₀)，并判断：①如果f(c₀)＝0，则c₀就是f(x)的零点，计算终止；②如果f(a₀)·f(c₀)<0，则零点位于区间[a₀，c₀]中，令a₁＝a₀，b₁＝c₀；③如果f(a₀)·f(c₀)>0，则零点位于区间[c₀，b₀]中，令a₁＝c₀，b₁＝b₀．第三步：取区间[a₁，b₁]的中点c₁，则c₁＝a₁＋1/2(b₁－a₁)＝1/2(a₁＋b₁)．计算f(c₁)和f(a₁)，并判断：①如果f(c₁)＝0，则c₁就是f(x)的零点，计算终止；②如果f(a₁)·f(c₁)<0，则零点位于区间[a₁，c₁]中，令a₂＝a₁，b₂＝c₁；③如果f(a₁)·f(c₁)>0，则零点位于区间[c₁，b₁]中，令a₂＝c₁，b₂＝b₁；……继续实施上述步骤，直到区间[aₙ，bₙ]的长度满足|aₙ－bₙ|<ε时停止二分；此时可取区间端点、中点或区间内任意一点作为函数零点的近似值．3、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度小于给定的精确度ε，即|a－b|<ε；“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位．（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．知识点03几种常见的函数模型1、一次函数模型：（，为常数，）2、二次函数模型：（为常数，）3、指数函数模型：（为常数，，且）4、对数函数模型：（为常数，，且）5、幂函数型模型：y＝ax^α＋b，其定义域应根据指数α及实际背景确定．6、分段函数模型：分段函数模型没有固定的统一形式，例如y＝{ax＋b，x<m；cx＋d，x≥m}．知识点04解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题分析弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将实际问题转化为数学问题，初步选择函数模型．第二步：建立函数模型在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．第三步：求解数学模型运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出数学结果．第四步：检验并还原把数学结果转译成实际问题的答案，并代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）→审题分析→建立函数模型→求解数学模型→检验并还原为实际问题的答案．题型精讲题型1函数零点的求法【典例1】已知是函数的零点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】均为单调增函数，故为单调增函数;对A：因为，故，故A错误;对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确;对C：，故，则，则，故C错误;对D：因为，故，则，故D错误．故选：B．题型点播求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.【变式1】若函数，，的零点分别为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数，，的零点，即为函数的图象分别与函数，，的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得，故选：B．题型2零点存在性定理【典例1】已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误.在，，连续，且单调递减，下面证明：设，则.对其进行化简：，因为，所以，，，，那么.所以，即，也就是.根据函数单调性的定义，函数在上是减函数.当时，，当，，当，，当，.根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确.在区间，没有零点，故B选项错误.在区间，也没有零点，故D选项错误.故选：C题型点播解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，应先验证函数在相应区间上连续，再利用端点函数值异号判断零点存在性；若要确定零点唯一，还需结合函数的单调性等性质．【变式1】已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【详解】易知函数的定义域为，且在上单调递增；显然，，所以，再根据的定义可知.故选：B题型3零点个数与参数范围【典例1】函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】易知在上是增函数，它的零点在区间上，则，解得，故选：C．题型点播体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．【典例2】已知函数在区间恰有一个零点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【详解】解：若，则，它的零点为，故符合题意．若，函数在区间恰有一个零点，则需满足：①或②或③解①得，或；解②得，解集为；解③得；综上，的取值范围是．故选：D．

【变式1】已知函数．(1)若，求实数的取值范围；(2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以原不等式可化为，所以，解得，所以实数的取值范围为．（2）若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，则方程有且仅有一个实数解，所以有且仅有一个属于的实数解．因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，，当趋向于0时，趋向于，所以或，解得或或，所以实数的取值范围是．题型4函数与方程综合【典例1】已知存在实数满足，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以当时，则在上单调递增，在上单调递减，当时，所以在上单调递增，所以的图象如下所示，又，，，∵存在，满足，函数图象可知，，，所以，∴，即，，的取值范围是.故选：B．题型点播一元二次方程的实数根也称为函数的零点.当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：的实数根（其中）方程无实数根的图象的零点函数无零点【变式1】已知且，函数的图象恒过点．(1)若，求的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)设函数，若关于的方程恰有唯一解，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)奇函数，理由见解析；(3)．【详解】（1）因为函数的图象恒过点，所以，即，解得，所以，即．由，解得．（2）为奇函数，理由如下：由（1）知，所以，所以，又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数．（3）由，得，所以由，得，解得．由，整理得，解得或．因为关于的方程恰有唯一解，所以或解得或，即实数的取值范围为．题型5二分法求近似解【典例1】下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（

）A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx【答案】C【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；对于D，f(x)＝lnx在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选：C．题型点播1.用二分法求近似解的条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．用二分法求方程近似解的过程（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）．（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）．3.利用二分法求函数近似零点的流程图：【变式1】下列关于函数，的叙述中，正确的个数为（

）①若且满足，则是的一个零点；②若是在上的零点，则可用二分法求的近似值；③函数的零点是方程的根，的根也一定是函数的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是根的近似值．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】B【详解】①若且满足，则是的一个零点，而不是，所以①错误；②因为函数不一定连续，所以②错误；③函数的零点是方程的根，方程的根一定是函数的零点，所以③正确的；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④错误．故选：B．题型6函数模型应用【典例1】某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（元/件）与月销售量（件）之间的关系为，生产件的成本为若每月获得的利润不少于元，该厂的月销售量的不可能取值为（）A． B． C．. D．【答案】D【详解】设该厂月获得的利润为元，则.

由题意，，解得：，∴当月产量在至件（包括和）之间时，月获得的利润不少于元.故选：D.题型点播1、一次函数模型的应用一次函数在给定区间上的最值可根据函数的单调性，在区间端点处取得；若自变量只能取整数，还需结合实际定义域确定可取的端点整数．2、二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．【典例2】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（

）A．60 B．100 C．140 D．180【答案】B【详解】当时，设，则，解得，于是，设车流量为q，则车流量，当时，；当时，，当且仅当取等号，所以当时，车流量最大，最大值约为3333辆．故选：B【变式1】2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时.研究表明：当时，车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的一次函数.(1)当时，求的函数表达式；(2)当车流密度x（单位：辆/千米）为多大时，车流量可以达到最大？并求出最大车流量.（注：车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）【答案】(1).(2)当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大车流量为6050辆【详解】（1）由题意，当时，若，则，解得∴.（2）当时，，由（1）得：，∴，当时，为增函数，所以的最大值为；当时，.当时，取得最大值，且的最大值为．综上，当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大车流量为6050辆．题型7指数、对数与拟合模型应用【典例1】（多选）下列说法错误的是（

）A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的C．对任意的D．不一定存在，当时，总有【答案】ABC【详解】对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错误；对于B，C，当时，显然不成立，故B，C错误；对于D，当时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，就不一定存在，故D正确．题型点播1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．【典例2】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．(1)求车流速度（单位：千米/小时）关于车流密度（单位：辆/千米）的函数；(2)当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，即）可以达到最大，并求出最大值？【答案】(1)(2)当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆【详解】（1）当时，设，则，解得，所以；（2）由（1）得，当时，，此时函数在区间上是增函数，恒有；当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数，因此恒有，等号成立当且仅当，综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．【变式1】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．(1)当时，求关于的函数解析式；(2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．【答案】(1)(2)当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.【详解】（1）由题意得当时，，当时，设，由已知得，解得，故，故；（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，由（1）可得，当时，单调递增，故；当时，，故当时，取得最大值，最大值为，由于，故当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.强化训练（共10题）1．已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题,因为，对称轴为，故，在定义域内为增函数，由图像可知，若存在实数，使得关于x的方程有三个不同的根,则当时,的值大于的值，因为，所以，解得，故B正确.故选：B.2．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，在上单调递增，且值域为，所以必有唯一解；所以当时，有两个不同的根，即有两个不同非正根，并设其两根为，即，解得，由，则，解得，综上所述：的取值范围为，故B项正确.故选：B.3．设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因，则的一个周期为4.因时，，又是定义在上的偶函数，则，结合一个周期为4，可得大致图像如下.注意到恰有三个不同的实数根等价于在上的大致图像与函数在上的大致图像有三个不同交点，则由图可得：.故答案为：B4．一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（

）（参考数据：）A．6.402 B．6.463 C．6.502 D．6.522【答案】B【详解】由题意知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即，所以，整理得.又分裂速度变化是连续的，所以，整理得，所以，得，解得.5．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足的函数关系式为（a，b为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳.某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知当时，图象是直线；当时，图象的解析式为，图象过和，则解得即.当时，得，解得，故最少需要的时间为.6．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（

）A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元【答案】ABC【详解】对于A，当打车距离为时，甲对应的函数图象在乙图象的下方，即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱，即A正确；对于B，当打车距离为时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲､乙方案均可，即B正确；对于C，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为（元），乙方案每公里增加的费用为（元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确；对于D，由图可知，甲方案内（含）内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加1元，故D错误；故选：ABC7．已知函数，若有4个零点，则的取值范围是．【答案】【详解】令，，所以有4个零点等价于函数与图象有4个交点，作出图象：当时，，所以由图可知.故答案为：8．已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为.【答案】【详解】令函数，函数的图象，如图所示，由题意知，的零点为的图象与的交点横坐标，且令，解得，结合函数图象，可得，所以，因为，所以，所以的取值范围为.故答案为：.9．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元．【答案】【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可得，即，当时，函数的对称轴为，则；当时，，当且仅当时，取得最大值，综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元．故答案为：．10．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数