人教A版高一数学秋季培优班 第15讲 任意角、弧度制与三角函数概念（总部定稿版）（教师版）

第15讲任意角、弧度制与三角函数概念目录题型01任意角、终边与象限区域题型02弧度制与扇形问题题型03三角函数定义、符号与象限题型04诱导公式（一）与单位圆动点题型05同角关系求值题型06同角关系化简与证明强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读任意角和弧度制知识点01任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按逆时针方向旋转所形成的角．负角：按顺时针方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．2、终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．3、常用的象限角角的终边所在位置角的集合x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴x轴y轴坐标轴是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以知识点02弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=(180/π)°≈57.30°=57°18′，1°=π/180≈0.01745(rad)3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：．三角函数的概念知识点03三角函数定义设角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边与以原点为圆心、r为半径的圆交于点P(x,y)，则r=√(x²+y²)，那么：（1）y/r叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y/r；（2）x/r叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x/r；（3）当x≠0时，y/x叫做α的正切，记作tanα，即tanα=y/x。知识点04三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点05诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：，其中知识点06特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010知识点07同角三角函数的基本关系式及其变形1、平方关系：2、商数关系：3、平方关系式的变形：，，4、商数关系式的变形，．题型精讲题型1任意角、终边与象限区域【典例1】下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】与的终边相同的角为.故选：B题型点播在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法（1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法．（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．【典例2】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（

）A．

B．

C．D．

【答案】C【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致；当时，，此时表示的范围与表示的范围一致，因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反映的.故选：C.题型2弧度制与扇形问题【典例1】如图，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选A.题型点播①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法．【典例2】已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，由题有，则，当时取等号.故选：D【变式1】若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为，所以，取等号时，即，所以面积取最大值时，如下图所示：设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点，因为，所以，所以，所以，故选：C.题型3三角函数定义、符号与象限【典例1】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，化简得，解得或（舍去，因为，且等号不能成立）．故选：D．题型点播利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．【典例2】已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由，得角的终边在轴下方，由，得角的终边在第二或第四象限，所以当且时，角的终边在第四象限．故选：D【变式1】设角的始边为x轴非负半轴，则“角的终边在第三、四象限”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】角的终边在第三、四象限，则，反之，若，则角的终边在第三、四象限或者y轴的非正半轴，所以“角的终边在第三、四象限”是“”的充分不必要条件。故选：C题型4诱导公式（一）与单位圆动点【典例1】（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由所以故选：D题型点播利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式．（2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．【典例2】如图，一个质点在半径为1的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向旋转，每转一圈，由该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知点运动的角速度是（弧度/秒）那么点运动秒后，又三角函数的定义可知，点的纵坐标是，因此该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是.故选：A【变式1】如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角的终边与单位圆交于点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为．(1)求的表达式，并求的值；(2)已知sinα+cosα=√7/4，α∈(-π/2,π/2)，求sinα-cosα的值.【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，则，可知，又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，所以，可得.（2）若，，则，所以.题型5同角关系求值【典例1】已知（x是第二象限角），则．【答案】【详解】根据且x是第二象限角，，则．故答案为：.题型点播利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”进行变形，如等．（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．【典例2】若，则，．【答案】//0.3【详解】；.故答案为：；.【变式1】化简求值：(1)已知，求的值；(2)已知，，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）所以（2），所以，又，，则，故而，所以题型6同角关系化简与证明【典例1】（1）求的值：（2）已知，求函数的值域．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）原式；（2）令，当时，，故，即，又，所以，故，函数开口向下，对称轴为，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，所以的值域为.题型点播化简要求项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值．【变式1】已知(1)求的值；(2)已知求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以．（2）由，即，又，所以，且，解得，所以强化训练（共10题）1．如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，根据已知和图形知，设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即，在圆O中，根据圆心角和圆周角的关系，可知∠AOB=2π-2∠ACB=2π-4π/3=2π/3，由扇形面积公式可得，易知以直径的半圆的半径为，即，于是，故选：A.2．已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（

）A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角【答案】C【详解】由条件可得：，联立消去可得：，解得或.当时，，，第二象限的角，当r=3时，l=4，θ=4/3，第一象限的角，故选：C.3．（多选）下列结论正确的是（）A．若角为锐角，则角为钝角B．是第三象限角C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为D．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2rad【答案】CD【详解】对于A，若取为锐角，但也是锐角，故A错误；对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误；对于C，设扇形半径为，依题，，解得，则扇形面积为，故C正确；对于D，设扇形半径为，弧长为，则，扇形面积为，故当时，扇形面积最大，此时，，扇形圆心角为rad，故D正确.故选：CD.4．如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为.【答案】【详解】，所以在扇形中，弓形面积为，在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为，所以所以阴影面积.故答案为：.5．如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度.(1)求关于的函数解析式；(2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值．【答案】(1)，(2)当x=10时，栅栏长度的最小值为40米【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以，由可得，所以，，.（2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得，当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米．6．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得，因为，即，由图知，对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错；对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错；对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确；对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错.故选：C.7．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【详解】是定义在上的奇函数，则，又满足，可得的最小正周期为，所以，则的图象关于点对称，即，又当时，，所以.故选：C.8．（多选）下列说法正确的是（

）A．若终边上一点的坐标为，则B．若角为锐角，则是第一象限角C．若，且，则D．若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为【答案】BC【详解】A：若终边上一点的坐标为，则，故A错误；B：若角为锐角，则是第一象限角，故B正确；C：若，则，又因为且，所以，解得，则，故C正确；D：圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为，故D错误.故选：BC.9．若，，则.【答案】【详解】由题意，，①所以，即，则．因为，且，所以，，所以，②由①②变形得，所以．故答案为：.10．计算：(1)已知为第二象限角，，求(2)（i）求的值（ii）求的值【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得，所以.（2）由，得（i）；（ii）.知识小测（共5题）1．下列各组角终边相同的一组是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【详解】A.∵，不是的整数倍，∴与终边不相同，选项A错误.B.∵，，∴与终边相同，选项B正确.C.∵，不是的整数倍，∴与终边不相同，选项C错误.D.∵，不是的整数倍，∴与终边不相同，选项D错误.故选：B.2．下列各角中，与终边相同的角为（