人教A版高一数学秋季培优班 第1讲 集合的概念与基本关系（总部定稿版）（教师版）

第1讲集合的概念与基本关系目录题型01集合中元素的互异性及参数问题题型02列举法与描述法表示集合题型03子集、真子集个数问题题型04空集性质与分类讨论题型05集合间关系的图形与相等判断题型06集合关系与集合相等中的参数问题强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读集合的概念、元素特征与表示方法知识点01集合的有关概念元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示．知识点02集合的元素特征元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．知识点03元素与集合的关系元素与集合的关系(1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．(2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．知识点04常用集合及其表示常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R知识点05集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．集合间的基本关系、真子集与空集知识点06集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：读作：A包含于B(或B包含A).（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.记作：A=B读作：A等于（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）当A不是B的子集时，我们记作“A⊄B（或B⊅A）”，读作：“A不包含于B”（或“知识点07真子集若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。记作：A⊊B（或B⊋A）读作：A真包含于B（或知识点08空集不含有任何元素的集合称为空集，记作：.规定：空集是任何集合的子集。结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。题型精讲题型1集合中元素的互异性及参数问题【典例1】已知集合，且，求x的值.【答案】或【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，结合集合元素的互异性，可得答案.【详解】∵，∴或，∴或.当时，，满足集合元素的互异性，∴符合题意；当时，，也满足集合元素的互异性，∴也符合题意.综上，x的值为或.题型点播根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤：【变式1】若，则a的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可.【详解】因为，所以，或，或，当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，当时，得，此时集合为，当时，得无解，综上，.故选：A题型2列举法与描述法表示集合【典例1】已知集合．(1)若，求集合；(2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）当时，直接解出集合即可；（2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解.【详解】（1）当时，，解得或或，故．（2）因为，解该方程可得或或．根据集合中元素的互异性知当方程有重根时，重根只能算作集合的一个元素，当时，可得，不符合题意；当，即时，可得，符合题意；当且时，，则，解得，此时，符合题意．综上，实数的值为或；当时，；当时，．题型点播用列举法表示集合的三个步骤：1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。描述法表示集合的2个步骤：【典例2】集合的另一种表示法是（

）A．{0,1,2,3,4【答案】B【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定.【详解】因为，所以．又因为，所以，所以．故选：B.【变式1】已知集合，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断.【详解】依题意可得，所以.故选：A.题型3子集、真子集个数问题【典例1】已知集合，，，则集合C的子集有（

）A．64个 B．63个 C．16个 D．15个【答案】C【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解.【详解】由集合，，且，因为，，可得集合，所以集合的子集有个.故选：C.题型点播有限集的子集个数要确定非空有限集合A的子集的个数，一般需先确定集合A中的元素的个数，再求解．若集合A中有n个元素,求它的子集个数,可用乘法原理：在一个子集中,每个元素都有被选中与不被选中两种可能,由乘法原理可知：A的子集个数为,由此可得到以下结论：若集合A中有个元素,则集合A的所有子集的个数为,真子集个数为,非空子集个数,非空真子集个数为.当集合的子集个数较少时，一般用列举法列出所有子集，其中不要忽略空集和集合本身．三、问题的佐证写出集合的所有子集【问题提出】问题1：空集有多少个子集？【答案】1个，即。问题2：有多少个子集？ 【答案】2个，即，。,问题3：写出集合的所有含有元素a的子集【答案】问题4：集合有多少个子集？【答案】共16个，分别为，，，，。高端结论：若则的所有子集的元素之和为多少？推导：出现在，，，中，即在所求和中出现的次数等于集合的子集个数（）同理，出现了，出现了，出现了故所求的和为【变式1】已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（

）A．1个 B．2个 C．4个 D．8个【答案】D【分析】根据子集的定义，列举出符合题意的集合即可.【详解】因为，所以，故集合可以为，共个.故选：D.题型4空集性质与分类讨论【典例1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.．【详解】方程整理得，则有，解得且，由方程的解集为空集，所以，即.故选：D.题型点播1.空集是任何集合的子集2.空集是任何非空集合的真子集3.任何一个集合是它本身的子集4.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．【变式1】已知：集合，.(1)若，求实数a的取值范围；(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得.【详解】（1）由，得，解得，所以实数a的取值范围是.（2）由A和B有且只有一个是，得且或且，则有或，解得或，所以实数a的取值范围是或.题型5集合间关系的图形与相等判断【典例1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可.【详解】，又，所以⊆，选项B符合，故选：B.题型点播Venn图是直观表示集合及集合间关系的图示方法，可以辅助分析问题，但图示不能替代严格的推理论证。如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.【典例2】下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由集合元素的特征和属性进行判断.【详解】A选项：，故A错误；B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误；C选项：,，故C选项正确；D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误．故选：C.【变式1】下列各组集合中表示同一集合的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解.【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，所以集合与集合不相等，所以C不符合题意；对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，所以集合与集合不相等，所以D不符合题意；故选：A.题型6集合关系与集合相等中的参数问题【典例1】已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.【详解】，，故当时，易求；当时，由得，或,所以所有的取值构成的集合为，故选：C.题型点播对于两个集合A与B，A或B中含有待定的参数（字母），若已知集合A与B的关系，求参数的值或取值范围时，常采用分类讨论和数形结合的方法：方法一：分类讨论：若，在未指明集合A非空时，应分为和两种情况进行讨论；方法二：数形结合：在对这种情况进行参数的确定时，要借助于数轴来完成；将两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心，根据两个集合之间的基本关系，列不等式（组）求解；具体解题步骤：第一步：化简：将给定的集合加以化简，若有不确定因素则需分类讨论；第二步：判断：判断集合之间的关系；第三步：画轴：画出数轴以便明确集合之间的关系；（或直角坐标系、文氏图）第四步：列式：根据数轴及所给集合关系列出不等式（组）；第五步：求解：对所列出的不等式（组）进行求解。关于集合为空集的高端结论（1）若集合,则;（2）若集合,则≥;（3）若集合或，则≥，元素相同注意互异性【变式1】（多选）已知集合，，且，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可.【详解】当时，满足，此时；当时，，此时，因为，所以或，即；或综上所述，或或，故选：BCD.【典例2】设集合，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令或分类讨论即可．【详解】因为集合，，若，由集合的互异性知，则或．当时，，，有，得，所以；当时，集合，，有，又，所以，得，不满足题意．综上．故选：C．强化训练（共10题）1．已知集合，则A中元素的个数为（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可.【详解】因为，所以，又，所以，可得，所以x可能取值为当时：代入得，又，所以，此时得到元素；当时：代入得，，，此时得到元素；当时：代入得，.，，此时得到元素；当时：代入得，，，此时得到元素；当时：代入得，所以，此时得到元素；满足条件的元素分别为：，，，，共11个，故选：C2．已知集合，若，则的值为.【答案】【分析】分类讨论和，注意元素的互异性.【详解】因为，所以或，当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去；当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意，综上可知，，故答案为：.3．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为．【答案】且．【分析】根据描述法的定义求解．【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且．故答案为：且．4．集合的另一种表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据描述法转化为列举法得解.【详解】由集合的描述法知，，故选：C5．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为．【答案】【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】当时，，符合题意.当时，.综上所述，的取值范围是.故答案为：6．已知集合,，则集合的真子集个数为（

）A．3 B．5 C．7 D．15【答案】C【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果.【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：.故选：C7．设集合，，则满足且的不同集合的个数是（结果用数字表示）.【答案】24【分析】根据条件且，即可确定集合的元素取值情况，然后确定集合P的个数即可．【详解】集合的子集有：共个；又，，所以不能为：，共8个，则满足且的集合的个数是．故答案为：．8．已知集合，，若，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据集合的包含关系列不等式求结论即可.【详解】因为，，，所以，所以．故答案为：9．，集合，则.【答案】2【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值.【详解】由题意知，所以，则，又，所以，.故.故答案为：2.10．（1）已知，求实数的值；（2）已知，求实数，的值.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性