人教A版高一数学秋季培优班 第3讲 充分必要条件与含量词命题（总部定稿版）（教师版）

第3讲充分必要条件与含量词命题目录题型01充分、必要、充要条件的判断题型02条件关系中的不等式与双变量判断题型03由充分必要关系求参数范围题型04充要条件的证明题型05全称量词、存在量词命题的真假判断题型06含量词命题的否定题型07由量词命题真假求参数范围强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读充分条件与必要条件知识点01充分条件与必要条件充要条件的概念符号p⇒q与“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q；“若p，则q”为假命题，记作：充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件.②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.知识点02充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件，②若p⇏q，但q⇒p，则p是q的必要不充分条件，③若，且，即，则、互为充要条件；④若p⇏q，且q⇏p，则从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.知识点03充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.全称量词与存在量词知识点04全称量词与全称量词命题1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.2.全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.3.全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对.知识点05存在量词与存在量词命题1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示.2.存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.3.存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对.知识点06命题的否定1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定.

2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：.一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：知识点07命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个题型精讲题型1充分、必要、充要条件的判断【典例1】是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.【详解】由等价于或，所以是的充分不必要条件.故选：A.题型点播Ⅰ：基础内容概要充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔说明：⑴符号“⇔”叫做等价符号.“p⇔q”表示“p⇒q且q⇒“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.①A⊆B,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；②B⊆A,则p为q的必要条件，q为p的充分条件；③A=由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：⑴充分不必要条件，即p⇒q，而q⇏p；⑵必要不充分条件，即⑶既充分又必要条件，既p⇒q，又有q⇒p；⑷既不充分也不必要条件，即Ⅱ：单一条件判断充分必要结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.题干给定单一值时，一般情况为小范围，而另一个为大范围，此时充分必要显而易见.【典例2】设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件.【变式1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，即．题型2条件关系中的不等式与双变量判断【典例1】已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断.【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件；若，显然，所以“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.题型点播此题作为选择题，可以考虑用特殊值代入求解一般情况可以取以下几组数据：，，也可以取其中一个字母为.【变式1】已知实数a，b，则是的（

）A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断.【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到；当时，若，就不能得到.所以是的既不充分也不必要条件.故选：D题型3由充分必要关系求参数范围【典例1】已知集合．(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是．（2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在．题型点播由充分、必要条件求参数范围的策略（1）巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形（2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍。具体操作方式：记p，q对应的集合分别为A，B，则①若p是q的充分条件，则p⇒q，A⊆B；②p是q的必要条件,则③p是q的充要条件,则p⇒q且q⇒p，A=B；④p是q的充分不必要条件,则⑤p是q的必要不充分条件，则p⇏q且q⇒⑥p是q的既不充分也不必要条件，则p⇏q且q⇏p，形如：已知集合，集合，若是的充分条件，求实数m的取值范围．【步骤】看问题：求实数m的取值范围．（属于范围问题）想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想；看条件：集合，集合，且A∪B＝A，由此知，定措施：由是的充分条件可得，故由集合A、B中端点值的大小关系建立关于m的不等式，利用不等式思想求出实数m的取值范围。【变式1】已知．（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是；（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得．题型4充要条件的证明【典例1】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．【答案】证明见解析【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可.【详解】必要性：设方程与的公共根为，则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去），将代入，得，整理得，所以，因此，必要性成立．充分性：当时，．可化为，即，所以方程的两根为，．同理，由可得，所以方程的两根为，．显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立．故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．题型点播技巧总结：(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.(3)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．【变式1】已知，求证：的充要条件是.【答案】证明见解析【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可.【详解】①必要性：因为.所以.所以.②充分性：因为，所以，又，所以且.因为.所以，即.综上可得，当时，的充要条件是.题型5全称量词、存在量词命题的真假判断【典例1】已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（

）A．和都是真命题B．和都是真命题C．和都是真命题D．和都是真命题【答案】D【分析】通过举特例可判断命题正误，推理判断命题的正误，结合命题否定含义可得答案.【详解】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题；对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题.故选：D.题型点播（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；（2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题.【变式1】设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得.上述三个命题的否定是真命题的序号是．【答案】①②【分析】举特例，根据元素与集合关系判断各项命题是否为真即可.【详解】根据题意，设，则A与B之间不存在包含关系．因为且，所以①②是假命题；由，若，即对于，都有，若且不存在包含关系，则必，使，所以③是真命题．综上，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题．故答案为：①②题型6含量词命题的否定【典例1】命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由特称命题的否定定义可判断.【详解】由特称命题的否定可知，命题“”的否定是.故选：D题型点播(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.【变式1】（多选）下列说法正确的是（

）A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题B．命题“，”的否定是“，”C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件【答案】BD【详解】对于A，是无理数，是有理数，故A错误；对于B，由全称量词命题与存在量词命题的定义知其正确；对于C，，可取，，不符合且，而且可以推出，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C错误；对于D，若，但时，有，而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．题型7由量词命题真假求参数范围【典例1】已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则．题型点播解题技巧：（等价转化+数形结合，分离参数+数形结合）类型1：对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集类型2：对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围:形如1：已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围针对此类可以取全体实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用二次函数图象第一步：等价转化恒成立第二步：画出符合要求的图象写约束条件由二次函数图象可知：需满足a>0且Δ<0，即第三步：求任意时集合的补集形如2：命题“”是假命题，则的取值范围为针对此类只能取一部分实数情况下，一元二次不等式求解参数取值范围应该用参变分离及新的二次函数图象处理第一步：等价转化恒成立第二步：参变分离画出新的二次函数图象写约束条件令t=1x，则t∈(12形如3：命题“”是假命题，则的取值范围为由函数y=−(第一步：等价转化恒成立第二步：参变分离画出对勾函数图象写约束条件恒成立故求的最小值，定义域为当时取最小故【典例2】若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得．【变式1】已知集合，且.(1)若命题是真命题，求m的取值范围；(2)若命题是真命题，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件可得，再由集合间的包含关系求解即可；（2）由条件得到，再由集合间的包含关系求解即可；【详解】（1）由于命题是真命题，所以，所以，解得，（2）q为真，则，因为，所以.所以，解得.强化训练（共12题）1．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题：①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件.其中与等价的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】由得图：或对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于A⊂B，故④错误.所以与等价的有①③，共2个.2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以．3．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】由题意得，解得，所以．4．已知集合，．(1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为．（2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为．5．已知非空集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解；（2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围．【详解】（1）已知集合，.当时，，或，又，.（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，又，，所以，解得，当时，是Q的真子集；当时，也满足是Q的真子集，综上所述：实数的取值范围为.6．已知集合，集合．(1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若是成立的充要条件，求实数的值．【答案】(1)．(2)2【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解；（2）由题意得到，进而可求解.【详解】（1）由题意A是B的真子集，所以，即，所以实数的取值范围为.（2）因为是成立的充要条件，所以,所以，即．即实数的值为2．7．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全称命题的否定，将原命题的任意改为存在，并否定原结论，即可得.【详解】由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是.故选：C8．已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.故选：B.9．已知，命题，；命题，．(1)若p是真命题，求a的最大值；(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值.（2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围.【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，即a的最大值为.（2）若q是真命题，，解得或，若q是假命题，，解得，由已知p、q一真一假，若p真q假，则，若q真p假，则，综上：或10．（多选）下列说法中正确的有（

）A．命题p：，，则命题p的否定是B．“”是“”的必要条件C．命题“”是真命题D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件【答案】AD【分析】利用全称命题的否定判断A；利用必要条件的定义判断B；举例说明判断C；利用充要条件的定义判断D.【详解】对于A，命题p的否定是，A正确；对于B，不能推出，如，但；也不能推出，如，而，因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，关于x的方程有一正一负根，则，解得m<0，所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，D正确．故选：AD11．已知集合，集合或，全集.(1)若，求，；(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)，或(2)【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可；（2）由已知可得，进而得到或，求解即可.【详解】（1）当时，，因为或，所以，或；（2）因为“，都有”是真命题，所以，因为集合，集合或，所以或，即或，所以实数的取值范围.12．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立．(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据命题为真命题，可得出