人教A版高一数学秋季培优班 第4讲 不等式的性质与比较大小（总部定稿版）（教师版）

第4讲不等式的性质与比较大小目录题型01作差法比较大小题型02利用不等式性质证明不等式题型03不等式性质的判断与比较题型04代数式取值范围题型05用不等式表示实际关系强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读等式性质与不等式性质知识点01符号法则与比较大小两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.知识点02不等式的性质基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点03比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.题型精讲题型1作差法比较大小【典例1】（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】因为，所以．因为，又，所以，所以．题型点播作差法比较大小的步骤【变式1】已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件．题型2利用不等式性质证明不等式【典例1】（1）已知，，，求证：；（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以．（2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以．题型点播对利用不等式的性质证明不等式(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.【变式1】设，，，证明：．【答案】证明见解析【分析】由，，和，，证明即可.【详解】由题意知，，，则有，，，①，，，所以．又根据①的结论可知，，，所以．综上所述，.题型3不等式性质的判断与比较【典例1】设，则M与N的大小关系是．【答案】【详解】因为，所以．题型点播①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则【变式1】有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误．题型4代数式取值范围【典例1】已知，若，则的取值范围是；若，且，则的取值范围是．【答案】【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即．易错警示题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）.题型点播利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【变式1】已知，，求下列各式的取值范围.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）∵，∴.又∵，∴.（2）∵，∴.又∵，∴.（3）∵，，∴.（4）∵，∴.由，可得.题型5用不等式表示实际关系【典例1】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】经过年后，方案B的投入为，则“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为．题型点播将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.【变式1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．【答案】【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系.【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m，则，菜园的另一条边长为．可得菜园面积，依题意有，即，故该题中的不等关系可用不等式组表示为.强化训练（共10题）1．设，为正实数，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中为真命题的有（写出所有正确命题的序号）．【答案】①【详解】对于①，由题意，为正实数，，则，，，故．若，则，则，这与矛盾，故成立．对于②，取特殊值，，，则，②错误．对于③，取，，则，③错误．2．已知，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可【详解】由，，得，即，，所以，即，故选：D3．（多选）已知，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由不等式的性质可判断；由特值法可判断.【详解】由，得.对于A，由，，得成立，该选项正确；对于B，取，，，得，，此时，该选项错误；对于C，由，，得，所以成立，该选项正确；对于D，取，，，得，，此时，该选项错误.故选：AC.4．已知实数，，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.【详解】因为，则,A选项错误;若，,,B选项正确;若，取，,C选项错误;若，，取,则,D选项错误.故选:B.5．若，，，则的取值范围为【答案】【分析】利用不等式的性质运算即可得解.【详解】解：设，则，解得：，，则，而由，可得，再由，可得，所以，即，可得.故答案为：.6．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于选项A：结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC：首先根据已知条件可得到，然后利用不等式性质即可求解；对于选项D：首先对和平方，然后利用作差法即可求解.【详解】对于A：因为，故，又因为，，所以，从而，故A错误；对于B：由题意可知，，因为，所以，故，即，从而，故B正确，对于C：因为，所以，所以，故C错误；对于选项D：因为，所以，即，故D错误.故选：B.7．已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是．①若，则；

②若，则；③若，则；

④若，则；⑤若，则；

⑥若，则；【答案】②④【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质一一判断即可.【详解】对①，当时，，故①不成立；对②，若，则，即，则，故②成立；对③，若，则，则，故③不成立.对④，若，则且，故，故④成立；对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立，对⑥，，故⑥不成立，故②④为真命题.故答案为：②④.8．已知，，分别求，，，的取值范围．【答案】详见解析.【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.【详解】因为，，所以，即的取值范围是．由，，得，所以的取值范围是．由，，得，所以的取值范围是．易知，而则，所以的取值范围是．9．设，则的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.【详解】，，，，.又，故.则.故选：C.10．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令、得，利用不等式的性质进行运算即可得答案．【详解】令，，则，∵，，即，，∴，则，即.故选：C知识小测（共5题）1．若，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】对ACD，根据不等式的性质以及作差法比较大小即可判断；对B，根据不等式的性质以及作差法，再对赋值法即可判断.【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；对于B，不确定符号，取则，故B错误；对于C，，因为，故，即，故C正确；对于D，，因为，故，即，故D错误．故选：C2．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（

）A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根据题意可知，，根据异向不等式可减的性质有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.3．（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AB【分析】利用不等式的基本性质可判断A；利用作差法比较出大小可判断B；举出反例可判断CD.【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；对于B，，因为，所以，故B正确；对于C，当时，故C错误；对于D，当时，，故D错误；故选：AB.4．下列说法中，错误的是（

）A．若，则一定有 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】对A举反例即可