人教A版高二数学秋季培优班 第17讲 等差数列的概念（总部定稿版）（教师版）

第17讲等差数列的概念目录题型01等差数列的判断题型02等差数列通项公式及应用题型03等差中项及应用题型04等差数列的实际应用题型05等差数列性质的应用题型06等差数列对称设项法强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．知识点02等差数列的通项公式首项为,公差为的等差数列的通项公式为.(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中两个不同序号的项,就可以确定公差,进而求出其他任意一项.推导过程：（1）观察归纳，得到猜想：根据等差数列定义可得：，所以，，，……当n=1时，上式也成立所以观察归纳可猜想等差数列的通项公式为：（）．（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，所以．（3）迭代法：所以．知识点03等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．题型精讲题型1等差数列的判断【典例1】（多选）已知数列的前项和为，满足，则（

）A．存在，满足B．C．构成公差为4的等差数列D．【答案】ACD【分析】根据给定的递推公式，结合赋值法逐项分析判断.【详解】数列中，，对于A，，则，有，即存在，满足，A正确；对于B，，则，B错误；对于C，，则，，构成公差为4的等差数列，C正确；对于D，，，则，D正确.故选：ACD题型点播对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．【变式1】数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（

）A．15 B．101 C．21 D．19【答案】C【分析】由数列的前几项可得数列的通项公式，进而得到结果.【详解】因为数列的前几项为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，则.故选：C题型2等差数列通项公式及应用【典例1】已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（

）A．4042 B．4050 C．4056 D．4058【答案】B【分析】得到的值，由的每相邻两项之间都插入个数后构成新的等差数列得到的首项和公差，由此得到的通项公式，进而得到.【详解】，所以．当时，，所以等差数列的公差为，故，则．故选：B.题型点播等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．【变式1】（1）已知数列的前n项和，求的通项公式；（2）已知数列满足，，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可；（2）运用累乘法进行求解即可.【详解】（1）当时，，而，满足上式，所以的通项公式是.（2）数列中，由，得，依题意，，则，数列是首项为，公差为2的等差数列，则，即，所以数列的通项公式为.题型3等差中项及应用【典例1】在等差数列中，，则（

）A．0 B．1 C．4 D．49【答案】B【分析】结合对数运算性质，根据等差数列的等差中项性质求解即可.【详解】因为数列为等差数列，所以，所以.故选：B题型点播若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．【变式1】，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质列方程，结合对数函数的知识列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由，解得，依题意，存在使得成等差数列，即存在使得，即存在使得，则，，设，则，函数的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递增，则，所以，而且，所以.故选：B题型4等差数列的实际应用【典例1】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解.【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米，故选：C.题型点播1.解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．【变式1】2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为.【答案】167【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可.【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，则既是3的倍数，也是4的倍数，故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167．故答案为：167题型5等差数列性质的应用【典例1】已知等差数列中，，则．【答案】6【分析】根据题意与等差数列的性质即可求解.【详解】在等差数列中，.又∵，∴.故答案为：6.题型点播等差数列运算的两种常用思路（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．【变式1】已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（

）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】A【分析】由等差数列的性质求解即可.【详解】由，得，则，所以，又，所以.故选：A.题型6等差数列对称设项法【典例1】如果三个数，4成等差数列，则a的值为（

）A． B．1 C．2 D．5【答案】C【分析】根据等差中项计算求参.【详解】因为三个数，4成等差数列，则，所以.故选：C.题型点播等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【变式1】已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为.【答案】41【分析】根据等差数列的性质得到的首项和公差，再由题意求出新的等差数列首项和公差，再求解即可.【详解】设等差数列首项为，公差为，由，得：，解得，所以数列为首项为1，公差为4的等差数列，在数列每相邻两项之间插入三个数，得到新等差数列，则首项为1，公差为1，所以新数列的第41项为.故答案为：41强化训练（共10题）1．记正数满足为和的等差中项，设甲：为整数；乙：为整数，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【分析】由等差中项知，则可得到甲能推乙，当为整数时，易得符合条件，但不是整数，故乙不能推甲，继而可解.【详解】由正数满足为和的等差中项，所以，若为整数，则为整数，故甲能推乙；若为整数，例符合为和的等差中项，但不是整数，故乙不能推甲，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A.2．已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列，结合充分性和必要性的定义进行判断即可．【详解】充分性：当，由等差数列下标和定理得，，必要性：当等差数列公差时，若，则，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A．3．（多选）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项.【详解】设等差数列的公差为，则，所以是等差数列，故A正确；，所以是等差数列，故C正确；若，则，，，，所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误；若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误.故选：AC.4．已知数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解.【详解】由，得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.故选：B.5．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（

）A．13 B．15 C．17 D．19【答案】B【分析】根据题意写出数列前几项，从而可得通项公式，进而可求出答案．【详解】新数列为3，5，7，9，11，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以，所以．故选：B．6．设数列是公差为的等差数列，且，则（

）A．15 B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列的性质计算可求得的值.【详解】由题意得.故选：B.7．已知数列中，且且，则（

）A． B． C． D．9【答案】C【分析】可知数列是以首项，公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解.【详解】因为，可知数列是以首项，公差的等差数列，则，所以.故选：C.8．某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】利用等差数列通项公式可得，再建立不等式可求n的范围得到最小值.【详解】设使用n年后，这台设备的价值为万元，则数列满足.可得数列是一个公差为的等差数列，因为购进设备的价值为230万元，这样，于是，根据题意得：，故选：B.9．（多选）已知正项数列的首项，前项积为，且，则（

）A． B．数列是等差数列C．是递增数列 D．【答案】BC【分析】由数列递推式得，则数列是首项为，公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式得到，可判断A、B；根据即可判断C；根据可求即可判断D.【详解】，，则数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即，，故A错误，B正确；，因为函数在单调递增，所以是递增数列，故C正确；，，故D错误.故选：BC.10．已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（

）A．1941 B．1961 C．1981 D．2001【答案】C【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求.【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故.故选：C.知识小测（共5题）1．在等差数列中，，，则【答案】【分析】由题意建立等式，求得等差数列的首项和公差后计算即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，所以.故答案为：.2．若为等差数列，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论.【详解】设数列的公差为，若等差数列为常数列，则任意的，都有，所以由不能推出；若，则，，所以，即由可以推出；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C.3．已知等差数列，，，则（

）A．4038 B．4040 C．4050 D．4052【答案】C【分