人教A版高二数学秋季培优班 第21讲 数列通项与求和综合（总部定稿版）（学生版）

第21讲数列通项与求和综合目录题型01累加累乘与递推通项题型02利用an与Sn关系求通项题型03构造法求通项题型04观察法与周期性题型05错位相减与裂项相消题型06分组求和与绝对值求和强化训练（共12题）知识小测（共5题）题型精讲题型1累加累乘与递推通项【典例1】已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【典例2】已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．4【变式1】已知正项数列，满足，，则（

）A．2 B． C．2024 D．题型2利用an与Sn关系求通项【典例1】已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【变式1】数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：．(1)求数列和的通项公式；(2)求的前n项和．题型3构造法求通项【典例1】对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．无穷多【变式1】已知数列的前项和为，若，.(1)求；(2)记，数列的前项和，证明：.题型4观察法与周期性【典例1】南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（）

A． B．C． D．【典例2】斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是．【变式1】已知数列中，，则（

）A． B． C． D．5题型5错位相减与裂项相消【典例1】已知数列的前项和为，且，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和；(3)若对恒成立，求实数的取值范围．【典例2】已知为各项均为正数的数列，其前项和为，.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和记为，证明：.【变式1】在数列中，，且(1)证明：为定值.(2)求数列的前n项和.(3)若，，求数列的通项公式.题型6分组求和与绝对值求和【典例1】若数列的满足，，则数列的前15项和为（）A．105 B．119 C．135 D．152【典例2】已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记，求数列的前项和．【变式1】设是公差不为零的等差数列，，.(1)求和；(2)求的前项和.强化训练（共12题）1．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（

）A． B．C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得2．已知数列的前n项和为且则（

）A． B．C． D．数列的前n项和为3．已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.4．如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

（1）每次只移动个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面；试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动次.5．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（

）A． B． C． D．6．在数列中，已知，，，则（

）A．3 B． C．6 D．7．已知数列满足点在直线上，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.8．已知数列满足，．(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；(2)令，求数列前n项的和．9．已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2025项和.10．已知正项数列的前n项之积为，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求的前2n项和.11．记是数列的前项和，，，且数列是等差数列．(1)求的通项公式；(2)设若，求数列的前项和12．设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)求中的最大值和最小值；(3)求的前项和．知识小测（共5题）1．设数列满足，且，则数列的前10项和为．2．已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.3．已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.4．下列叙述不正确的有（）A．数列