人教A版高二数学秋季培优班 第2讲 空间向量基本定理（总部定稿版）（教师版）

第2讲空间向量基本定理目录题型01空间向量基底的判断题型02空间向量基本定理的表示与运用题型03空间向量的正交分解题型04用空间向量基本定理解决几何问题强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01空间向量基本定理如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.知识点02空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点03用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立题型精讲题型1空间向量基底的判断【典例1】（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可.【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合；对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合；对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确.对于D项，设不能作为空间的一个基底，则存在实数，使得，由于是空间的一组基底，则满足，故不存在使得，故能作为空间的一个基底，D正确，故选：CD题型点播判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．【变式1】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案.【详解】对于A，设，无解，所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确；对于B，设，解得，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误；对于C，设，解得，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设，解得，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选：A.题型2空间向量基本定理的表示与运用【典例1】如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于.

【答案】【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出.【详解】依题意，.故答案为：题型点播1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【变式1】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出.【详解】在直三棱柱中，.故选：A题型3空间向量的正交分解【典例1】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数．【答案】【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解.【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得，即，所以，解得.故答案为：.题型点播正交基底的三个向量共起点【变式1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】结合基底的概念，根据空间向量基本定理逐项判断即可.【详解】向量是不共面的三个向量，对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C题型4用空间向量基本定理解决几何问题【典例1】如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论.【详解】由题意可知，因为，，，四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．故选：B.题型点播应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).【变式1】平行六面体，其中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】解：如图，可得，故．．故选：A强化训练（共10题）1.已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【分析】根据空间向量共面定理得，进而求解.【详解】由四点共面，所以，即，故选：C.2.如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解.【详解】连接ON，因为，所以()，因为，所以，所以.故选：C.3.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解.【详解】因为点分别为的中点，所以，所以，因为，所以，所以，又，则，所以.故选：D.4．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解．【详解】如下图所示：因为，，，，由空间向量数量积的定义可得，，同理可得，由题意可知，四边形是平行四边形，，，，故，则线段的长度为．故选：C．5．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，.设．

(1)试用表示向量，，(2)求；(3)求证：【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解；（2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解；（3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明.【详解】（1），.（2）因为，所以，，，所以.（3）因为．所以.6．在平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出．【详解】，又，，，，∴，；故选：A7．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】设基底为，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确.【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为.对于A：，，故A错误；对于B：，，故B错误；对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得.，故D正确；又，故C错误.故选：D.8．在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为．【答案】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式和同角三角函数的平方关系即可求解.【详解】由题意有，，所以，，所以，又，所以，所以，所以，故答案为：.9．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为．【答案】16【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值.【详解】由题设，不与共面，且四点共面，所以，可得，且，所以，当且仅当时取等号，则最小值为16.故答案为：1610．（多选）在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．平面B．若，则C．若，则直线与所成角的余弦值为D．若，则平面与平面的夹角为【答案】ABD【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用空间位置的向量证明判断B；（或其补角）即为直线与所成的角，由余弦定理求出异面直线夹角余弦判断C；是平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，利用三角函数关系求出二面角大小判断D.【详解】对于A：依题意，，则四边形为平行四边形,所以，又A1E⊈平面，平面，故平面，故A正确；对于B：因为，又，，所以，则，故B正确；对于C，因为，所以（或其补角）即为直线与所成的角，不妨设，，则，，故直线与所成角的余弦值为，故C错误；对于D，取的中点，连接，则是正三棱柱的中截面，平面平面，平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角，取的中点，连接，由，得，又，则是平面与平面的夹角，在中，，则，所以平面与平面的夹角为，故D正确．故选：ABD知识小测（共5题）1.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值.【详解】在平行六面体中，，，记，，则，，，AC因此，所以直线与所成角的余弦值为.故选：C2．正方体中，．（用、、表示）【答案】【分析】根据空间向量的运算转化求解即可.【详解】在正方体中，.故答案为：.3．已知平行六面体，底面是正方形，，，则的长度为.【答案】【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，