人教A版高二数学秋季培优班 第2讲 空间向量基本定理（总部定稿版）（学生版）

第2讲空间向量基本定理目录题型01空间向量基底的判断题型02空间向量基本定理的表示与运用题型03空间向量的正交分解题型04用空间向量基本定理解决几何问题强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01空间向量基本定理如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.知识点02空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点03用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立题型精讲题型1空间向量基底的判断【典例1】（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（

）A． B． C． D．题型点播判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．【变式1】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，题型2空间向量基本定理的表示与运用【典例1】如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于.

题型点播1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【变式1】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．题型3空间向量的正交分解【典例1】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数．题型点播正交基底的三个向量共起点【变式1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，， C．，， D．，，题型4用空间向量基本定理解决几何问题【典例1】如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（

）A． B． C． D．题型点播应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).【变式1】平行六面体，其中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．强化训练（共10题）1.已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．02.如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（

）A． B．C． D．3.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（

）

A．1 B．2 C． D．4．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（

）A． B． C． D．5．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，.设．

(1)试用表示向量，，(2)求；(3)求证：6．在平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．7．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（

）

A． B．C． D．8．在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为．9．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为．10．（多选）在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．平面B．若，则C．若，则直线与所成角的余弦值为D．若，则平面与平面的夹角为知识小测（共5题）1.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．2．正方体中，．（用、、表示）3．已知平行六