人教A版高二数学秋季培优班 第4讲 空间向量的应用（总部定稿版）（教师版）

第4讲空间向量的应用目录题型01法向量与平面方程题型02向量法证明平行与垂直题型03空间角计算（异面直线与线面角）题型04二面角问题题型05空间距离问题强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.2.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；(i知识点02用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a,b，则要证明l1（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，需证明a⟂u，即②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量，并补充该直线不在此平面内．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，可证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示，并补充该直线不在此平面内．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面α,β的法向量u,v，则要证明α∥β，需证明知识点03用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l⟂α，只需证明②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点04用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A,C与B,则．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点05用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．当直线a∥α时，直线a与平面α之间的距离：d=|AB⋅两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3.点线距设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设AP题型精讲题型1法向量与平面方程【典例1】结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量.【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取，平面的法向量可取，设直线的方向向量，则，令，则，故选：A.题型点播求平面的法向量通常采用待定系数法。先设平面的一个法向量为n=(x,y,z【变式1】已知，则平面ABC的一个法向量可以为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可.【详解】由题设，，若是平面ABC的一个法向量，则，取，则.故选：A题型2向量法证明平行与垂直【典例1】（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（

）A． B．平面C． D．平面【答案】BD【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，又平面，则，则，因为是正三角形，为中点，则，则又，所以，则不成立，故A错误；对于B，因为在正三棱柱中，平面，又平面，则，因为是正三角形，为中点，则，又平面，所以平面，故B正确；对于D，因为在正三棱柱中，又AA1⊂平面AA1D，CC1∥A对于C，因为在正三棱柱中，，假设，则，这与矛盾，所以不成立，故C错误；故选：BD.法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，则，对于A，，则，则不成立，故A错误；对于BD，，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，则平面，平面，故BD正确；对于C，，则，显然不成立，故C错误；故选：BD.题型点播（1）线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a,b，则要证明l1（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，需证明a⟂u，即②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量，并补充该直线不在此平面内．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，可证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示，并补充该直线不在此平面内．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面α,β的法向量u,v，则要证明α∥β，需证明（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l⟂α，只需证明②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．【典例2】如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题：①四棱锥的体积为20；②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值；③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面；④存在唯一的点E，使得平面，且.其中正确的是（填写所有正确的序号）.【答案】①②④【分析】由给定条件可得是平行四边形，求出三棱锥体积可判断①；求出中的最小值可判断②；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算可判断③，④即可作答.【详解】平面与棱交于点F，连接，如图，在长方体中，平面平面，平面平面，平面平面，则有，同理，因此，四边形是平行四边形，而平面，所以四棱锥的体积，①正确；因截面四边形是平行四边形，则周长为，把矩形与矩形展开在同一平面内，如图，连接交于E，从而得的最小值为，显然点E唯一，所以存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值，②正确；在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，，，令是平面的一个法向量，则，令得，设AD上点，而，，当平面时，有，即，，由得，则有，即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含点）上移动时，在棱AD上均存在点G，使得平面，当时，，此时点G在线段AD的延长线上，即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含两个端点）上移动时，在棱AD上不存在点G，使得平面，③不正确；由③中信息知，要有平面，必有，而，因此，，解得，所以存在唯一的点E，使得平面，且，④正确.故答案为：①②④【变式1】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明）(1)求证：平面PBC；(2)求证：平面BDE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，因为，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因为，平面PBC．所以平面PBC．（2）证明：由（1）可得，，．设平面BDE的法向量为，则，即令，得，，则是平面BDE的一个法向量，因为，所以，因为平面BDE，所以平面BDE．题型3空间角计算（异面直线与线面角）【典例1】在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解.【详解】设正四棱锥的高为，则，解得，所以.由已知，，，设，且，又，所以，所以，当且仅当时等号成立，设直线与直线所成角为，所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为.故选：A.题型点播已知a,b为两异面直线，A,C与B,设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．【典例2】如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，求直线与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据中位线性质得线线平行，即可证线面平行；（2）运用等腰三角形和等边三角形三线合一的性质证出两组线线垂直，从而得到线面垂直，线面垂直可直接推出面面垂直；（3）解法一：由正四面体的性质求出点C到平面PAD的距离，即可求解；解法二：建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量和平面的法向量，代入线面所成角的正弦公式即可.【详解】（1）四边形是菱形，则是中点的同时也是中点，分别为的中点，是的中位线，，平面，平面，平面.（2），是中点，等腰三角形三线合一，，，，是等边三角形，是中点，等边三角形三线合一，，，平面，平面，平面，故平面平面.（3）解法一：由题意，,所以三棱锥为正四面体，设棱长为2，则，设交于点O，连接PO，则点O为底面的中心，平面ABD，由正三角形的性质可得，所以,由正四面体的性质可得点B到平面PAD的距离也为，又平面APD，平面APD，所以平面APD，所以点C到平面PAD的距离也为，所以直线与平面夹角的正弦值解法二：由（2）可知，故以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，易知，，，，，，，，再设，由，，，可得：，解得，即，，设平面的法向量，，，，解得，设直线与平面夹角为，，故直线与平面夹角的正弦值为.【变式1】如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为.【答案】【分析】解法一：将直线与平面所成角转化为与平面所成的角即可求解；解法二：设，由等体积法得出，由线面夹角定义即可求解；解法三：以平面为底面，为高，将原几何体补成长方体，再由线面夹角定义即可求解；解法四：以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用直线与平面夹角的向量公式求解即可．【详解】解法一：如图所示，设是的中点，连接，则，故与平面所成的角相等，设为的中点，连接，则，因为，所以，因为平面，平面，所以，又，，平面，且，所以平面，又平面所以平面平面，因为平面PBC∩平面OP所以点在平面上的射影，过点作于点，因为OG⟂PF，平面PBC∩平面OP所以平面，则即为与平面所成的角．设，则，由此可得，，则，由平面，平面，所以，在中，，则由等面积法得，，故，即直线与平面所成角的正弦值为．解法二：如图所示，过点作平面，垂足为，连接，则为与平面所成的角．设，则，则，，，，因为，所以，由解法一得，，由可得，代入数据得，故．解法三（补体法）：如图所示，以平面为底面，为高，将原几何体补成长方体（为该长方体的体对角线）．设是的中点，则，点在平面上，又平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，所以点在平面上的射影必在上，过点作于点，因为，平面，所以平面，因此即为与平面所成的角，设，则，，在中，．解法四（向量法）：因为底面，底面，所以，又因为，是的中点，所以，如图所示，以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，可得，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则由，得，取，得，设直线与平面所成的角为，则．题型4二面角问题【典例1】如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则.【答案】【分析】依题意，可得，，及，再由空间向量的数量积公式与模长计算公式，代入求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知，所以.由，得.因为，所以，所以.故答案为：.题型点播如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，【变式1】如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则．【答案】1【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量的坐标表示，再由二面角为即可得或，可求出.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，设，则，设平面的法向量，则，令，得，所以可得，设平面的法向量，则，令，得，即，因此，化简可得，解得或，即或，可得.故答案为：1题型5空间距离问题【典例1】如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．(1)求点到平面的距离；(2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，点是中点【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离；（2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，且平面，故平面．

以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量为，

所以点到平面的距离为；（2）由（1）知，平面的一个法向量为，“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“DM⋅n=因为，设，，则，，所以，解得，所以线段上存在点，即中点，使得平面.题型点播1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【变式1】如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值；(3)求二面角余弦值的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）设点，其中，利用空间向量法求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式以及三角函数的有界性可求得三棱锥的体积的最大值；（3）利用空间向量法可求得二面角余弦值的取值范围.【详解】（1）由题意可知，，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，易知平面的一个法向量为，则，即，又因为平面，所以平面.（2）不妨设点，其中，则、、，，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，所以点到平面的距离为，因为为是圆柱的一条母线，故平面，因为平面，故，则，所以，因为，则，故，所以，则，即三棱锥的体积的最大值为.（3）设平面的一个法向量为，，，则，取，则，所以，因为，则，故.结合图形可知，二面角的平面角为锐角，因此，二面角余弦值的取值范围为.强化训练（共10题）1．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，.(1)证明：BC∥平面(2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值；(3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证；（2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可；（3）利用可求.【详解】（1）因，，，则，又，四点共面，则，因平面，平面，则平面.（2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，设平面的法向量为则，令，则，易知为平面PAD的一个法向量，则，所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为；（3），因Q为线段PC的中点，则.2．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可．【详解】如图，连接，因为为中点，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由，可得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，得，则，则平面与平面夹角的余弦值为．故选：B．3．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过的母线为，连接，则，以为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求与所成角的余弦值.【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以，

以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，所以与所成角的余弦值为.故选：A.4．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解.解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果.【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角.设该正四棱台的高为，则，得.，故.过点作交于点，则，.连接，易得，在中，利用余弦定理可得，故异面直线与所成角的余弦值为.解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面，以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.5．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点面距的向量公式，可得答案.【详解】由题意可得.故选：C.6．若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离.【详解】因为点，点，所以，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.故选：B.7．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线方程，求出直线经过点，且为一个方向向量，再利用向量法求解即可．【详解】由题意可得直线的方向向量，直线经过点，又，则，所以，则点到直线的距离为.故选：B.8．如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），.(1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，得到，且，证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得.（2）方法一：连接AC，BD交于点，得到和，证得平面，得到，进而证得平面，得到，作，证得，得到为平面与平面所成二面角的平面角，在直角中，即可求解；法二：以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：由翻折的性质，可得，且因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）解：方法一：连接AC，BD交于点，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以由（1）知：，且，平面，所以平面，因为平面，所以，作，连接，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，在直角中，可得，所以.法二：以点为原点，以所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，由（1）知平面，所以平面的法向量为，设，则，即，解得，即，设平面的法向量为，且，则，即，取，可得，所以，设平面与平面所处二面角的平面角为，则.9．如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证；（2）说明两两垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式以及平方关系即可得解.【详解】（1）连接交于点，连接，如图，由平面图易得为平行四边形，则为的中点，连接，则，又平面平面，故平面．（2）取的中点，连接，，由平面图形可知，，则．又平面平面，且平面平面，面，故平面．以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为，，即，取，又平面的法向量为，设平面与平面所成二面角为，，即所求平面与平面所成二面角的正弦值为．10．如图，在三棱锥中，，，平面.(1)求证：平面平面；(2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，则利用线面垂直的判断定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理正解即可.（2）平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出，可得，即可得解.【详解】（1）∵平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面，平面，∴平面平面.（2）过在平面内作，以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图∵，，∴，∴