人教A版高二数学秋季培优班 第5讲 倾斜角与斜率（总部定稿版）（学生版）

第5讲倾斜角与斜率目录题型01倾斜角与斜率题型02斜率范围与线段相交题型03直线平行与垂直题型04平行垂直在几何问题中的应用强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，以x轴的正方向为始边，绕交点按逆时针方向旋转到与直线向上的方向重合，所成的最小非负角记为α，则α叫做直线的倾斜角．规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．知识点02直线的斜率1．定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．2．直线的倾斜角与斜率之间的关系：由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．知识点03斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．知识点04两直线平行的条件设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．因此，若，则．反之，若，则．知识点05两直线垂直的条件当两条直线l1,l2的斜率k1题型精讲题型1倾斜角与斜率【典例1】已知直线的倾斜角为，方向向量，则（

）A． B． C．1 D．2题型点播（1）倾斜角的定义包含三个要点：以x轴正方向为始边，按逆时针方向旋转，与直线向上的方向重合，所得角的范围为[0（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．【典例2】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（

）A．2 B． C． D．【变式1】已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型2斜率范围与线段相交【典例1】已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．题型点播当A,B,C为三个不同的点，且所涉及的斜率均存在时，斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．一般地，若已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，过P(x0,y0)作垂直于x轴的直线l′，过P(x0,【典例2】已知直线l经点，若直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B． C． D．题型3直线平行与垂直【典例1】已知直线l:ax+by+c=（1）若，则线段的中点在直线上（2）若，则直线与直线平行（3）若，则点、分布在直线的两侧A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3）题型点播判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．【典例2】已知直线，动直线，则下列结论错误的是（

）A．存在，使得的倾斜角为；B．对任意的，与都有公共点；C．对任意的，与都不重合；D．对任意的，与都不垂直；【变式1】已知，直线，，若，则（

）A． B． C． D．题型4平行垂直在几何问题中的应用【典例1】如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且，，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（

）

A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线题型点播解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．【变式1】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限，点O为坐标原点.若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（

）A． B．C． D．强化训练（共10题）1．已知矩形ABCD四个顶点分别为A(0,2．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围.3．已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为.4．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为．5．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（

）A．9 B． C． D．6．已知直线，若，则实数.7．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为．8．已知直线与满足.则.9．已知，直线和垂直，则的最小值为.10．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为．知识小测（共5题）1．直线与直线平行，则