《线性代数》第一学期期末考试试题及参考解答

《线性代数》第一学期期末考试试题及参考解答一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设A、B均为n阶方阵，则下列结论正确的是（）A.若AB=O，则B.若AB=InC.(AD.若|A|答案：B解析：A错误，矩阵乘法存在非零零因子；C错误，矩阵乘法不满足交换律，展开应为A2+AB+BA2.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组A.rB.rC.mD.m答案：B解析：Ax=0只有零解等价于A的列向量组线性无关，即列秩等于列数n3.设向量组α1=(1,A.1B.2C.3D.0答案：B解析：α3=α1+4.设A为3阶方阵，|A|=A.4B.8C.16D.32答案：C解析：对n阶方阵，|kA|=kn|5.设矩阵A与B相似，则下列结论错误的是（）A.|B.trC.rD.A与B有相同的特征向量答案：D解析：相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹和秩，但特征向量不一定相同。若B=P−1AP，则A的特征向量二、填空题（每题4分，共20分）1.行列式12答案：0解析：第二行减第一行得(3,32.设A=12答案：−解析：|A|=1×3.设向量组α1=(1,答案：2解析：α2=2α1，故α1与4.设A为4阶方阵，|A|=3，A*答案：27解析：由AA*=|A5.设A=10答案：1解析：对角矩阵的特征值就是主对角线元素。三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式D=答案：160解析：将第2、3、4列均加到第1列，并提取公因子10，得D对右边行列式作行初等变换R2−R1，1按第1列展开后计算三阶行列式1故D=2.求解线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

2x_1+2x_2+x_3=3,\\

x_1+x_2+2x_3=0.

\end{cases}$$答案：x3=−1，x1+x(解析：对增广矩阵作行初等变换：$$\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

2&2&1&3\\

1&1&2&0

\end{array}\right)

\to

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

0&0&-1&1\\

0&0&1&-1

\end{array}\right)

\to

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

0&0&-1&1\\

0&0&0&0

\end{array}\right).$$由第二行得−x3=1，即x33.设矩阵A=111−答案：X解析：|A|=A于是X4.求向量组α1=(1,1,答案：秩为3；极大线性无关组为α1,α解析：以α1$$A=\begin{pmatrix}

1&0&0&1\\

1&1&0&0\\

0&1&1&0\\

0&0&1&1

\end{pmatrix}.$$对A作行初等变换：$$A\to

\begin{pmatrix}

1&0&0&1\\

0&1&0&-1\\

0&0&1&1\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}.$$由阶梯形矩阵知主元在第1、2、3列，故α1,α5.设矩阵A=1221答案：特征值为3和−1。属于3的特征向量为k(1,1)T（k≠0解析：特征多项式|所以λ1=3当λ=3时，解2得基础解系(1,1)T当λ=−1−得基础解系(1,−1)由于2阶矩阵A有两个线性无关的特征向量，故A可对角化，且可取P=11四、证明题（每题10分，共