人教版数学八年级下册 第21章 四边形重难点检测卷（压轴卷） 试卷 含答案

第二十一章四边形重难点检测卷（压轴卷）（满分100分，考试时间120分钟，共26题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：四边形全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（

）A．11 B．10 C．9 D．84．（24-25八年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（

）A．2 B．8 C．10 D．125．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．6．（24-25八年级下·重庆江津·月考）小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形7．（2026·河北沧州·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（

）A． B． C． D．8．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．59．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于两点，连接；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③连接并延长至点；④分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点；⑤作直线分别交于点，连接．根据作图步骤，对四边形的形状判断最准确的是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形10．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），D对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①ΔAPE≌ΔAME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2；④BN＝PF．其中正确结论的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）从七边形的一个顶点出发，可以画出所有对角线的条数是_____条．12．（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是的中点，，则的长为____________．13．（24-25八年级下·辽宁·月考）如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连结和，并分别找出它们的中点M、N．若测得，则A、B两点的距离为____．14．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号）15．（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______．16．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为_______°．17．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分．如图，在菱形中，，点、分别是、的中点，相交于点，连接，交于点．请补全下列结论：①，②，③，④，⑤．小明补全的结论为：①，②，③，④，⑤．如果你给小明批卷，小明可得________分．18．（25-26九年级上·湖北随州·月考）6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为____________________．三、解答题（8小题，共64分）19．（24-25八年级上·江西上饶·月考）如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形和正六边形，和相交于点．求．20．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，对角线交于点，过点作交延长线于点，求证：四边形是平行四边形．21．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，在中，，D，E，F分别是的中点．求证：．22．（2025·山东济宁·一模）如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．(1)求证：；(2)求的最小值．23．（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为．(1)当为多少时，以点为顶点的四边形是平行四边形？(2)当为多少时，以点为顶点的四边形是矩形？24．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接、，如图②．求证：四边形是平行四边形．25．（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题：(1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；(2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由．26．（24-25八年级下·山西长治·期末）综合与实践．问题背景：平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用．例如图在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果．为了更多地了解平面密铺，七（2）班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题．问题一：(1)“对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是为”，其中体现的数学思想主要是______；A．整体思想B．转化思想C．方程思想D．类比思想(2)填表：正多边形的边数正多边形每个内角的度数__________________问题二(3)给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是______；（填序号）(4)用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是______；A．内角都是整十数度数B．边数都是的整数倍C．内角整除D．内角整除问题三(5)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有个正三角形个正六边形，请探究之间满足的关系式，并说明理由；(6)图是图中的一个基本图形，若，，则______．

第二十一章四边形重难点检测卷（压轴卷）（满分100分，考试时间120分钟，共26题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：四边形全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此建立方程求解即可．【详解】解：由题意得，∴．2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可．【详解】解：A、∵，，∴一组对边平行，另一组对边不平行，∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意；B、∵，，∴一组对边平行，另一组对边相等，∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意；C、∵，，∴一组对边平行且相等，∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意；D、∵，∴一组对边相等，∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意．3．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【分析】此题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长．【详解】解：∵在中，，点D是边的中点，，∴，∴，故选：D4．（24-25八年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（

）A．2 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键．首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可．【详解】解：∵，，∴，∴点C到的距离为，故选：A．5．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：延长与直线交于点，∵正六边形，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B．6．（24-25八年级下·重庆江津·月考）小丽家有一个菱形的小院子，院里有四棵小树E，F，G，H刚好在其院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形【答案】A【分析】连接菱形的对角线和，先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，推出平行四边形有一个内角是直角，即可判定形状．【详解】解：如图，连接，，∵E、F、G、H分别是菱形各边的中点，∴由三角形中位线定理得，，，，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，∵，，∴，即，∴平行四边形是矩形．7．（2026·河北沧州·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查三角形的中位线定理，理解并熟练运用中位线定理是解题关键．【详解】解：∵点，是，的中点，∴是的中位线，∴，故选：D．8．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论．【详解】解：由题意知，，，∴四边形是平行四边形，又∵，，∴，∴平行四边形是菱形；∵点是的中点，点是四边形边上的动点，∴当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，连接，则为的中位线，∴，，∴，∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形，∴，解得：，∴，即的最小值是．9．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于两点，连接；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③连接并延长至点；④分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点；⑤作直线分别交于点，连接．根据作图步骤，对四边形的形状判断最准确的是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【分析】设与交于点，先求出，，，，则，据此可得，即，再根据菱形和正方形的判定即可得．【详解】解：如图，设与交于点，由作图可知，平分，垂直平分，∴，，，，∴，即，∴，∴，∴四边形是菱形，∵不一定是直角，∴菱形不一定是正方形，综上，四边形是菱形．10．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），D对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①ΔAPE≌ΔAME；②PM＋PN＝AC；③PE2＋PF2＝PO2；④BN＝PF．其中正确结论的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°．∵在△APE和△AME中，∵，∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；∴PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，∴四边形PEOF是矩形．∴PF＝OE，又∵在△APE中，AE＝PE，∴PE＋PF＝AE+OE=OA，又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，∴PM＋PN＝AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE＝OF，在直角△OPF中，OF2＋PF2＝PO2，∴PE2＋PF2＝PO2，故③正确．∵∠CDB=45°，PF⊥BD，∴△BNF是等腰直角三角形，∴BN=NF，∵FP＝FN，∴BN＝PF．故④错误．综上所述：正确的有3个．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）从七边形的一个顶点出发，可以画出所有对角线的条数是_____条．【答案】4【分析】此题考查了多边形的对角线，根据多边形对角线的性质，从n边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为条，其中n为多边形的边数，据此求解即可．【详解】解：七边形有7个顶点，从一个顶点出发，除去自身和两个相邻顶点，剩余4个顶点，每个顶点连接一条对角线，因此可以画出4条对角线．故答案为：4．12．（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是的中点，，则的长为____________．【答案】4【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：∵，是的中点，，∴，故答案为：4．13．（24-25八年级下·辽宁·月考）如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连结和，并分别找出它们的中点M、N．若测得，则A、B两点的距离为____．【答案】/32米【分析】本题考查三角形中位线的应用，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．根据三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算．【详解】解：、分别是和的中点，是的中位线，．故答案为：．14．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号）【答案】①③【分析】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．【详解】解：∵直线，∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确；∵，的长随点P的移动而变化，∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误；∵点到直线的距离不变，的长度不变，∴的面积不会随点的移动而变化，故③正确；综上，不会随点的移动而变化的是①③．故答案为：①③．15．（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______．【答案】7【分析】连接、两点，过点作于点．根据平行四边形的性质得出，进而减去公共的的面积可得，同理，得出，进而即可求解．【详解】解：如图，连接、两点，过点作于点．∵，，∴．∵四边形是平行四边形，∴，∴的边上的高与的边上的高相等，∴，∴，同理，∴．∵，，∴，故阴影部分的面积．故答案为：7．16．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为_______°．【答案】【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得，结合平角的定义即可得出，即可得出，由此即可求解.【详解】解：∵由折叠的性质可得，∴点恰好在同一条直线上，∴，∴，∵，∴，故答案为：.17．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分．如图，在菱形中，，点、分别是、的中点，相交于点，连接，交于点．请补全下列结论：①，②，③，④，⑤．小明补全的结论为：①，②，③，④，⑤．如果你给小明批卷，小明可得________分．【答案】70【分析】由菱形的性质与已知条件，得到和是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的外角的性质得出①正确；根据证得，得到，由勾股定理得，得到②错误；由推出③正确；由全等三角形的性质求得，得到④错误；由勾股定理得，根据三角形面积公式求得⑤正确．【详解】解：∵菱形中，∴，∵，∴，∴和是等边三角形，∴，，∵点E、F分别是、的中点，∴，，∴，①正确；∵，，∴，同理，在和中，，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，②错误；，③正确；∵，∴，∴，④正确；在中，，，由勾股定理得：，∴，⑤正确；∴小明得分为：分，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解决问题的关键．18．（25-26九年级上·湖北随州·月考）6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为____________________．【答案】/【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形的性质证出，利用全等的性质证出，利用勾股定理求出的长，即可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．【详解】解：∵，，四边形是正方形，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∵是的中点，∴，故答案为：．三、解答题（8小题，共64分）19．（24-25八年级上·江西上饶·月考）如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形和正六边形，和相交于点．求．【答案】．【分析】本题考查了正多边形的内角与外角．利用正多边形内角和定理求得和的度数，利用正多边形外角和定理结合平角的定义求得的度数，利用四边形内角和定理即可求解．【详解】解：在正五边形中，每个内角的度数为，∴，同理可得正六边形每个内角的度数为，∴，，∴，∴．20．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，对角线交于点，过点作交延长线于点，求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，可得，即可求证．【详解】证明：，四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形．21．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，在中，，D，E，F分别是的中点．求证：．【答案】见解析【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理解答即可．本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．【详解】证明：，E是的中点，．，F分别是的中点，是的中位线，，．22．（2025·山东济宁·一模）如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．(1)求证：；(2)求的最小值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论；（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解．【详解】（1）证明：连接，垂直平分，，四边形为菱形，和关于对角线对称，，；（2）解：连接，和分别是和的中点，点为中点，，即当点与菱形对角线交点重合时，最小，即此时最小，菱形边长为，，为等边三角形，，即的最小值为．【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．23．（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为．(1)当为多少时，以点为顶点的四边形是平行四边形？(2)当为多少时，以点为顶点的四边形是矩形？【答案】(1)当时，以点为顶点的四边形是平行四边形(2)当时，以点为顶点的四边形是矩形【分析】本体考查了平行四边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是：（1）根据平行四边形的性质，对边相等建立方程求解即可（2）根据矩形的性质，对边相等建立方程求解即可．【详解】（1）解：当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，由题意得，则．要使以点为顶点的四边形是平行四边形，则，，解得（符合题意），答：当时，以点为顶点的四边形是平行四边形．（2）解：当时，四边形是矩形，，解得（符合题意）．答：当时，以点为顶点的四边形是矩形．24．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接、，如图②．求证：四边形是平行四边形．【答案】[探究发现]四边形是菱形．理由见解析[探究证明]证明见解析【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，菱形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理．[探究发现]由于将△沿翻折得到△，即知，，而，故；[探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形．【详解】解：[探究发现]四边形是菱形，理由如下：将△沿翻折得到△，，，，，四边形是菱形；[探究证明]证明：如图：将△沿翻折得到△，，，，，四边形是菱形，，为边的中点，为边的中点，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是菱形，，，，，四边形是平行四边形．25．（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题：(1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；(2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由．【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，与所在直线所夹锐角的度数为，理由见解析．【分析】（1）由正方形和正方形证得，即可求得；（2）由正方形和正方形证得，即可求得；（3）由菱形和菱形证得，可求得，，延长交的延长线于点，交于点，再求出即可．【详解】（1）解：，理由：四边形和四边形是正方形，，，，，