【高考专项复习】专题02 利用导数研究曲线的切线问题18种常见考法归类（核心题型清单）

题型01求曲线切线的斜率题型01求曲线切线的斜率题型02求切线倾斜角的取值范围题型03曲线在某点处的切线问题题型04已知曲线和切线斜率求切点坐标题型05已知切点和切线斜率求参数题型06过某点的曲线的切线问题题型07过点切线条数问题题型08根据切线条数求参数题型09切线平行、垂直问题利用导数研究曲线的切题型16利用公切线求表达式的值题型10与切线相关的最值问题题型18公切线斜率/截距最值题型14由公切线存在求参数题型15由公切线条数求参数题型17公共点处公切线问题题型12判断公切线条数题型13由公切线求参1.导数几何意义：函数y=f(x)在x=x₀处的切线斜率k=f'(x₀);2.求导步骤：先对函数求导f'(x),再将切点横坐标代入导函数，计算结果即为斜率；3.复合/四则/指对函数严格遵循求导法则；4.易错提醒：只有在函数图像上的点，导数值才是该点2.(2026高三·福建泉州-阶段检测)曲线y=1n(1-x)在x=0处的切线的斜率为()所以即曲线y=1n(1-x)在x=0处的切线的斜率为-13.(2026高三重庆·阶段检测)曲线y=e在x=0处的切线的斜率为()所以曲线y=e在x=0处的切线的1.先求切点处导数得到切线斜率k;2.设倾斜角θ∈(0,π),满足k=tanθ;4.取值范围题型：先求导函数值域，再结合正切函数图像倾斜角为()的倾斜角为()10.(2026高三·安徽阜阳阶段检测)曲线f(x)=x⁴在x=0处的切线的倾斜角为α,曲线g(x)=xlnx在x=1处的切线的倾斜角为β,则sin(α-β)=()角为α,则α可以取()对照选项，只有选项AC符合题意.角的最小值为()ππ21.判定：点(x₀,f(x。)在曲线上；2.两步求解：①求导代入x。得斜率k=f'(x₀);②点斜式写切线：y-f(x。)=k(x-x₀),整理为一般式；3.分段/奇偶函数：先求出该点对应区间解析式再求导；A.y=-x+2B.y=x-2C.y16.(江西上饶市2025-2026学年高三学期7月期末数学试题)曲线在x=1处的切线方程为 A.y=-6x+5B.y18.(福建宁德市2025-2026学年高三学期期末考试数学试题)定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=x²,f(x)在x=-1处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1对其求导得f'(x)=-2x,1.设切点横坐标x₀,求导得f'(x₀)=k(已知斜率);2.解方程求出x₀,再代入原函数求出纵坐标f(x。);3.多解情况：每个x₀对应一个切点；4.限制条件：切点必须在函数定义域内，舍去无意义解。 ∴(a-1)e⁻×+(1-a)e=0,24(2026辽宁沈阳模拟预测)过点(0,-1)作曲线f(√x)=Inx(x>0)的切线，则切点坐标为1.切点双重条件：①切点在曲线上：将x₀代入f(x)成立；②切点导数等于切线斜率：f'(x。)=k;2.联立两个等式，构造方程组求解参数；3.多参数逐一解出，最后回代检验是否符合题意。求导得f(x)=2*In2,则1.区分两种情况：点在曲线上、点不在曲线上；2.通用解法(无论点是否在曲线):①设切点T(t,f(t));②切线斜率k=f'(t),写出切线方程y-f(t)=f'(t)(x-t);③将已知定点(x₁,y₁)代入切线方程，解关于t的方程；④每个有效t对应一条切线；3.易错：定点在曲线上也不能直接默认t=x₁,必须解方程验证。求出对应的切线方程.因为,所以则1.按上面方法构造关于切点横坐标t的方程；2.方程实数根的个数=切线条数；3.三次型方程：结合导数、零点存在定理判断根的个数；解得或m=1(舍去),所以解得.x₀=0或条数为()而f'(x)=2+2sinx+2xcosx,则f(x。)=2+2sinx₀+2x₀COsx₀,36.(2026重庆沙坪坝·模拟预测)过坐标原点0可作曲线f(x)=x+xsinx的切线条数为()1.设切点，代入定点得到关于t的方程F(t)=0;2.切线条数等价于F(t)=0实数根个数；3.构造函数y=F(t),求导分析单调性、极值；4.根据极值正负、极限图像，列不等式求a的取值范围为()A.(-∞,-2)u(0,+∞)所以△=4a²+8a>0,A.(1,2)C.(-∞,1)u(2,+∞)D.(-2,-1)【详解】因为f(x)=x³-3x²+1,令g(x)=-2x³+3x²+1,原题意等价于y=t与y=g(x)A.(-1,3)B.(-∞0,-1)U(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)因为e⁻¹≠0,所以-(3-x。)=(2-x。)(t-x₀),整理得x-(t+3)x₀+2t+3=0.而△=[-(t+3)]²-4(2t+3)=t²-2t-3,所以t²-2t-3=(t+1)(t-3)>0,42.(2026高三·江苏无锡期中)过点M(m,0)的曲线y=(1过M(m,0):-(1-x₀)eˣ=-x₀e⁰(m-x。)即m+1>2或m+1<-2即m>1或m<-3.因为y|-==3x²-2a,所以1=(3x?-2a)(-1-x₀)+(x³-2ax₀+b),即-2x³-3x2+2a+b-1=0,令f(x)=2x³+3x²+1,当x趋于-∞时，f(x)趋于-∞,当x趋于+∞时，f(x)趋于+0,1.平行条件：两条切线斜率相等k₁=k₂;2.垂直条件：两条切线斜率乘积k₁·k₂=-0(一条水平一条竖直除外);3.直线与切线平行/垂直：先写出已知直线斜率，再令f'(x。)满足等量关系解方程；4.两条不同曲线切线平行：分别求导，令导数相等求解横坐标/参数。根据两直线垂直斜率之积为-1,可得k×k₁=-1,即①距离最小/最大的点处切线与定直线平行；②令f'(x)=直线斜率，解出切点再用距离公式计算；2.公切线斜率/截距最值：设两切点，联立公切线条件，构造单变量函数求导求最值；3.切线相关线段、面积最值：写出切线表达式，转线2x+2y+3=0在坐标系中的位置.解得.舍去),所以P(1,1).1.设曲线y=f(x)切点(t,f(t)),曲线y=g(x)切点(s,g(s);y-f(t)=f'(t)(x-t),y3.同一条直线满足两个条件：斜率相等、截距相等；52.(2026高三·江苏苏州·期中)曲线y=lnx与曲线y=ln(x-1)+1的公切线方程是()A.x-ey=0B.2x-y+1-In2=0C.x-2y-2+21n2=0即代入,得y=x-1,即x-y-1=0.【详解】设1:y=kx+b,与曲线y=x²联立，得x²-kx-b=0,由△=0,得k²+4b=0·直线1与曲线联立，得kx²+bx-1=0,显然k≠0,由△=0,得b²+4k=0·所以直线1的方程为y=-4x-4,即4x+y+4=0即y=ex+e(1-x₀).故x,=0或n(1+x,于点Q.则k=_.即即则k₁=e"-m),即y=e"x+e"(1-m则k₁=e"-m),即y=e"x+e"(1-m则则直线1是f(x)与g(x)的公切线，则的解的个数为()令g(k)=klnk-Ink-k-1(k>所以g(k)m:n=k₀所以e(x₂-x₁)=e-sinx₁综上可知，直线1的条数有2条.1.两曲线存在公切线，设双切点，联立斜率、截距方程组；2.消去切点变量，得到含参数等式；A.e-1B.e+1又f(0)=g(0),所以g(0)=e°+b=-1,b=-2对y=e+¹+a,求导得y'=e¹,1.联立公切线斜率、截距等式，消元得到单变量函数h(x);2.题意等价于h(x)=0有实数解；3.求h(x)极值、值域，根据方程有解列不等式，解参数范64.(2026高三·天津南开期中)已知函数f(x)=e*,g(x)=x°(x>0),若存在直线1既是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，则实数a的取值范围是()令p'(t)=0,得t=a-1,最小值为p(a-1)=alna-a=a(Ina-1)<0,p(t)=0题型15由公切线条数求参数题型15由公切线条数求参数1.转化为辅助函数零点个数问题；2.求导得到极值点，计算极大、极小值；3.根据零点个数要求(1/2条公切线)列出极值正负不等式，求解参数区所以k=ax⁻¹=eˣ,b=(1-a)x⁹=e(1-x₂)即若F(a)>0,则无解，即无公切线.当0<a<1时，则a-1<0,分子a(1-Ina)>0(因a<e恒成立),故F(a)<0;当a>1时，可得a-1>0,令F(a)<0可得a(1-lna)<0,此外，a=1时无公切线，a=e时F(a)=0仅一条.得.由曲线和圆x²+y²=t(t>0) 1.设两条曲线上切点，利用斜率相等、截距相等建立方程组；2.不需求出切点具体值，整体代换、韦达变形，直接求出代数式结果；3.两根对称题型：若t,t₂是方程两根，利用韦达定理求和/积。y=e的切线方程为y-e=e(x-t)→y=e对y=