2025年成人高考成考(专升本)高等数学(一)试题与参考答案

2025年成人高考成考(专升本)高等数学(一)试题与参考答案一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。极限limx→0tan3xsin2x的值为（）

设函数f(x)=x2−1x设函数f(x)在x=0处可导，且f′(0)函数y=xe−x的单调递增区间为（）

A.(−∞,1]B.不定积分∫e2xdx的结果为（）

A.12e2x+C定积分−π2π2(x3已知向量a=(2,−1,3)设二元函数z=x2y+sin(xy)，则偏导数∂z∂x为（）

A.下列无穷级数中，属于收敛级数的是（）A.n=1∞1nB.n=1∞1n

C.n=1∞(−1)nn2D.n=1∞2n极限limx曲线y=设函数y=arctan(不定积分∫x定积分01过点(1,2交换累次积分的积分次序：01幂级数n=1∞一阶微分方程y′设二元函数f(x,y)=x21.（本题满分8分）计算极限limx→0ex−e−x−2xx−sinx。

22.（本题满分8分）设隐函数y=y(x)由方程ey+xy−e=0确定，求y′(0)，并写出曲线在x=0处的切线方程。

23.（本题满分8分）计算不定积分∫xlnxdx。参考答案一、选择题A解析：本题考查两个重要极限的等价无穷小替换应用，当x→0时，tan3x3x，sin2x2x，因此极限值为limxC解析：本题考查函数连续性的定义，函数在某点连续的充要条件是该点极限值等于函数值，即limx→1C解析：本题考查导数的定义式变形，导数的核心定义为f′(xA解析：本题考查利用导数判断函数单调性，函数单调递增的充要条件是区间内导数值非负。对函数求导得y′=e−x−xA解析：本题考查基本不定积分的凑微分计算，利用积分基本公式∫eudu=B解析：本题考查定积分的对称奇偶性性质，若积分区间[-a,a]关于原点对称，当被积函数为奇函数时积分值为0，为偶函数时积分值为半区间积分的2倍。本题中被积函数x3cosxB解析：本题考查空间向量的数量积运算，若a=(ax,ayA解析：本题考查二元函数的一阶偏导数计算，对x求偏导时将y视为常数，按照一元函数求导法则计算：x2y对x求导为2xy，复合函数sin(xy)对x求导为ycos(xy)，因此C解析：本题考查无穷级数收敛性判断，需结合p级数、调和级数、等比级数的收敛规则逐一判别：选项A为p级数，p=1/2<1，级数发散；选项B为调和级数，是p=1的p级数，发散；选项C为交错p级数，p=2>1，满足绝对收敛条件，级数收敛；选项D为等比级数，公比q=2>1，通项不趋于0，级数发散，对应选项C。B解析：本题考查二阶常系数齐次线性微分方程通解求解，首先写出特征方程r2−3r+e−6解析：本题考查第二个重要极限的计算，公式为limx(1,−1)解析：本题考查曲线拐点的求解，拐点是曲线凹凸性发生改变的点，需通过二阶导数符号变化判别。对函数求二阶导：y′=21+4x2d12sin(x2)12(e−x−101d3解析：本题考查幂级数收敛半径计算，对于标准形式的幂级数∑anxn，收敛半径公式为R=y=Cex2（C为任意常数）解析：本题考查可分离变量一阶微分方程求解，将含y的项与含x的项分离到等式两侧得ddx+dy解析：本题考查二元函数全微分计算，全微分公式为dz=f21.（本题满分8分）解：当x→0时，分子ex−e−xlimx→0=limx→=limx→解：首先确定x=0对应的函数值，将x=0代入隐函数方程ey+xy−ey⋅yy′(ey′(0)=y−1=−1解：被积函数为幂函数与对数函数的乘积，适用分部积分法求解，按照“反对幂指三”的优先级，设u=lnx（优先作为u的函数类型），dv=xdx，则：

du=1x=12x=12x解：首先求曲线与直线的交点，联立方程y=x2S=02Vx=π=π43解：二元函数极值点需在驻点或偏导数不存在的点中筛选，本题函数为多项式，偏导数处处存在，因此首先求解一阶偏导数为0的驻点：fx=3x2−6x=3xfxx=6x−6，f（1）在(0,0)处，A=-6，B=0，C=-6，Δ=36>0，且A<0，因此为极大值点，极大值f(0,0)=0；（2）在(0,2)处，A=-6，B=0，C=6，Δ=-36<0，不是极值点；（3）在(2,0)处，A=6，B=0，C=-6，Δ=-36<0，不是极值点；（4）在(2,2)处，A=6，B=0，C=6，Δ=36>0，且A>0，因此为极小值点，极小值f(2,2)=8+8-12-12=-8。（3分）

综上，函数在(0,0)处取得极大值0，在(2,2)处取得极小值-8。26.（本题满分10分）解：首先确定积分区域D的范围，三条边界分别为过原点斜率为1的直线y=x、过原点斜率为2的直线y=2x、垂直于x轴的直线x=1，两两联立得三个交点为(0,0)、(1,1)、(1,2)，区域为X型正则区域，无需分段计算。（3分）确定X型区域下的积分限：x的取值范围为0≤x≤1，对任意固定的x，y的取值下限为y=x，上限为y=2x，因此二重积分可化为先对y、再对x的累次积分：D​xdx2xx01x2解：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解由对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解叠加构成。第一步，求对应齐次方程y″−2y′−3y=0的通解。写出特征方程为r2−2r−3=0，因式分解得(r-3)(r+1)=0，解得特征根r1=-1，r2=3，为两个不相等的实根，因此齐次