2027届广东省六校高三上学期9月考试数学试卷及答案

2027届高三九月考试数学科试题RAA．a=1且b=1B．a=2且b=0C．a=0且b=2D．a=1且b=−1则四边形ABMN面积的最大值为() fxx211．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在□ABC中，BC=1，W，其“直径”为d，则()A．AB2+AC2=3B.□ABC面积的最大值为(1)求q和a1；记bn=，数列的前n项和为Tn，求Tn.(1)求证：平面A1C1C丄平面BDC1；间6(1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中）；(2)记乘客等待时间为X，随机变量X服从指数分布，且X取值不超过x的概率为=1−e−其中e是自然对数的底数.（i）证明：对于任意的s,t>0，有P(X>s+tX>s)=P(X>t)；（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元若Y>10，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.18．设抛物线C:y2=4x，Q是直线m:x+y+2=0上的动点，QS，QT是抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于S，T两点.(1)设P是抛物线C上任意一点，求PQ最小值；(2)记ST的中点是M，求M的轨迹方程；(3)记抛物线C的焦点是F，记∠QFS=α,∠QFT=β,证明：cos(α−β)=1.2027届高三九月考试数学科试题RA【答案】【答案】B【分析】根据一元二次不等式化简集合A,即可根据元素与集合的关系求解.故RA【答案】【答案】DA．a=1且b=1B．a=2且b=0C．a=0且b=2D．a=1且b=−1【答案】【答案】B【答案】【答案】D【答案】【答案】A【答案】【答案】C【答案】【答案】C则四边形ABMN面积的最大值为()【答案】【答案】B【分析】由条件先判断四边形【分析】由条件先判断四边形ABMN为梯形，设出直线MN的方程，与椭圆方程联立求出MN，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值.【详解】由【详解】由A(2,0)和B(0,1)可得a=2,b=1，所以椭圆方程为+y2=1，因直线因直线AB的斜率为可得其方程为y=−x+1，又因又因MN//AB，故可设直线MN的方程为x+m，2m2−2)>0解得将其与+y2=1联立消去y，可得x2−2mx+2m2−2=0，−−2<m<2，由韦达定理得x由韦达定理得x1+x2=2m,x1x2=2m2−2，541+x2541+x22−4x1x2所以lMNl==2由由MN//AB可知四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即x+2y−2m=0，则梯形ABMN的高也即点B到直线MN的距离为S=1−cosα1+sinα)=1+(sinα−cosα)−2sinαcosα,再令t再令t=sinα−cosα=2sin则t∈(0,2，2sinαcosα=1−t2，2−, aa−x【点睛】对于形如【点睛】对于形如【答案】【答案】ABfx【答案】【答案】ABC11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在□ABC中，BC=1，W，其“直径”为d，则()A．AB2+AC2=3B.□ABC面积的最大值为【答案】ABD 【分析】A利用等面积得出cosA=再利用余弦定理即可；B得出S=bcsinA=，再结合不等式即可；C根据d=即可求出；D结合基本不等式和b+c==3+求出b+c的范围即可.由已知a=1，SΔABC=bcsinA=a.tanA，得cosA=又由余弦定理可知a2=b2+c2−2bccosA⇒b2+c2=3，即AB2+AC2=3，故A正确；又b2+c2=3≥2bc，即bc≤,当且仅当b=c=时取等，设AB,AC边上的中点分别为E,F，在B上取一点M，在C上取一点N，由两点间线段最短可得MN≤ME+EF+FN=当且仅当M,N,E,F四点共线时取等，所以d=当∠ABC=时，b2+c2=3，1+c2=b2，得c=1,b=，由A知b2+c2=3，a=1， b2+c2则d==+≤b2+c2则d==+b2+c2+2bc5=+A>·,则又因b+c=3a+bb2+c2+2bc5=+A>·,则又因b+c=3((+1+17故选：故选：ABD【答案】33【分析】记【分析】记n次交换后黑球仍在甲手中的概率为Pn，根据全概率公式写出Pn与Pn−1的递推关系构造法求出数列构造法求出数列{Pn}的通项公式，将n=5代入通项公式即可求解.【详解】记【详解】记n次交换后黑球仍在甲手中的概率为Pn，则P0=1，若若n−1次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中，nn−1次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中，=P=PPP−,公比为的等比数列，n(1)求q和a1；记bn=，数列的前n项和为Tn，求Tn.2，Sn−1=an−2(n≥2)两式相减an=an+1−an，即an+1=2an，公比q=2，又S1=−2，即a1=2a1−2故a1=2此时an=a1qn−1=2n，检验成立.由知，Sn==2n+1−2，故数列的前n项和Tn=(1)求证：平面A1C1C丄平面BDC1；以D为原点，DA为X轴，DC为Y轴，DD1为Z轴建立空间直角坐标系，-→-→-→-间6(1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中）；(2)记乘客等待时间为X，随机变量X服从指数分布，且X取值不超过x的概率为=1-e-其中e是自然对数的底数.（i）证明：对于任意的s,t>0，有P(X>s+tX>s)=P(X>t)；（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元若Y>10，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.【答案】【答案】(1)7.7分钟（i）由题意知，P(X>t)=1−P(X≤t)=e−,分别记已经等待s分钟和已经等待s+t分钟为事件A和事件B，所以对于任意的s,t>0，有P(X>s+tX>s)=P(X>t).元【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可.（2i）根据条件概率公式证明即可.（2i）略P(Y>10)=P(X>5+10X>5)=P(X>10)=1−P(X≤10)=e−1P(0≤Y≤10)=1−P(Y>10)=1−e−1，所以费用的期望是+20×e−1=2+18．设抛物线C:y2=4x，Q是直线m:x+y+2=0上的动点，QS，QT是抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于S，T两点.(1)设P是抛物线C上任意一点，求PQ最小值；(2)记ST的中点是M，求M的轨迹方程；(3)记抛物线C的焦点是F，记∠QFS=α,∠QFT=β,证明：cos(α−β)=1.(2)(2)y2+2y+4=2x过点过点S，T分别作准线：x=−1的垂线，垂足分别为S1，T1，−由抛物线的定义得由抛物线的定义得SS1=SF，则QS为线段S1F的垂直平分线，得得QS1=QF，同理可得QT1=QF，∠QTS，T1+,得得∠QFS=∠QFT，由∠QFS=α,∠QFT=β,得α−β=0，设P，PQ最小值等于点P到直线m:x+y+2=0的距离的最小值，即可求解；（（3）过点S，T分别作准线：x=−1的垂线，垂足分别为S1，T1，先证明S1F((y2)【详解】（1）由P是抛物线C上任意一点,设P|0,y0点P到直线m:x+y+2=0的距离为+y0+2y0+2)2+1， 当y0=−2时，d取得最小值为=， 故PQ最小值为.2,y2),Mx,y)，与抛物线C:y2=4x,消去x得，y−y0=k整理得，y2−y−kx0+y0=0，4+y0)=0，得k2x0−ky0+1=0，而x0=，2=0由点Q是直线m:x+y+2=0上的动点，设Q(t,−t−2)，则切线QS,QT均过点Q