人教版数学七年级下册 第11章 不等式与不等式组（单元自测·培优卷） 试卷 含答案

2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷第十一章不等式与不等式组·培优卷建议用时：120分钟试卷满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．若，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．2．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（

）A． B． C． D．3．不等式组的整数解有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．6．某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（

）A．B．C．D．7．按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为（

）A．32 B．33 C．34 D．358．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．9．若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（

）A． B． C．11 D．910．定义一种新运算，①若，则或；②若，则；③若，则的最小值为14；以上说法正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．不等式的非负整数解为______．12．若不等式组的解集是，则的取值范围是___________．13．长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为____．14．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______．15．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______．16．为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为________套．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来.(1)．(2)．18．（6分）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元．(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？19．（8分）定义新运算：对于任意数a，b，规定．(1)计算：(2)若，求x的取值范围；(3)若关于x的不等式组的解集为，求m的值．20．（8分）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足．(1)求该方程组的解；（用含的式子表示）(2)求的取值范围；(3)若关于的不等式的解集为，且为整数，求的值．21．（10分）新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题．素材1“中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名．素材2周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元．(1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元．(2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？(3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值．22．（10分）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号）(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可）(3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．23．（12分）综合与探究问题背景为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人．甲型客车乙型客车载客量（人辆）日租金（元辆）(1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？问题解决(2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元．至少要租用多少辆甲型客车？若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．24．（12分）定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”．(1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）；(2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；(3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．

2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷第十一章不等式与不等式组·培优卷建议用时：120分钟试卷满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．若，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A．不等式两边同时减2，不等号方向不变，得，故A错误；B．不等式两边同时乘正数6，不等号方向不变，得，故B错误；C．不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，当时，满足，，，即，故C错误；D．不等式两边同时除以4，不等号方向不变，得，故D正确．2．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：“与的的差是非负数”表示．3．不等式组的整数解有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：，∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为，共个．4．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵不等式组无解，∴的取值范围是．5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得该不等式的解集在数轴上表示为：．6．某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：设该卫衣打折销售，则有．7．按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为（

）A．32 B．33 C．34 D．35【答案】B【详解】解：由题意可得，，解得：，所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，，，．8．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，移项得，又∵该不等式的解集为，∴，且，可得，由得，将代入不等式，得，∴，∴．9．若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（

）A． B． C．11 D．9【答案】B【详解】解：得，，∵∴∴；解不等式组得，∵关于的不等式组恰好有三个整数解，∴三个整数解为，0，1，∴，∴，∴∴整数，，∴．∴符合条件的所有整数的和是．10．定义一种新运算，①若，则或；②若，则；③若，则的最小值为14；以上说法正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【详解】解：①，分情况讨论：当，即时，得，解得，符合条件；当，即时，得，解得，不符合，舍去；仅，结论①错误；②，，符合，得，即，解得或，结论②漏解，错误；③由，得与异号，且，∴，解得，时，，，，符合，，原式为，，，即，分情况化简：当时，，原式；当时，，原式；原式最小值为，结论③正确；综上，仅1个结论正确．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．不等式的非负整数解为______．【答案】0，1，2【详解】解：移项得：合并同类项得：系数化为得：不等式的非负整数解是，，．12．若不等式组的解集是，则的取值范围是___________．【答案】【详解】解：解不等式移项得，合并同类项得，系数化为1得，∵不等式组的解集是，∴．13．长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为____．【答案】【详解】解：由题意可得：，解得：．14．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______．【答案】【详解】解：由题意得，解得；解得，两个不等式的解集相同，解得．15．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______．【答案】【详解】解：，，解得：从数轴可知：，解得．16．为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为________套．【答案】835【详解】解：设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据题意得，，得，解得，将代入②，得，化简得，解得，由题意得，，且，，都为正整数，因此，解不等式组得，因为，为整数，所以同时是和的公倍数，在取值范围内的正整数只有，将代入得，，均满足条件，因此尺规套装的总套数为：．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来.(1)．(2)．【详解】（1）解：不等式两边同乘去分母得，去括号得，移项合并同类项得，系数化为得，∴不等式的解集为，数轴表示为：……（3分）（2）解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为，数轴表示为：……（6分）18．（6分）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元．(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？【详解】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，由题意得，解得，答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元；……（3分）（2）解：设买A型机器人台，则买B型机器人台，由题意得，解得，答：最多能买A型机器人台．……（6分）19．（8分）定义新运算：对于任意数a，b，规定．(1)计算：(2)若，求x的取值范围；(3)若关于x的不等式组的解集为，求m的值．【详解】（1）解：；……（2分）（2）解：∵，∴，解得：；……（5分）（3）解：∵，∴，解得：，∵解集为，，解得．……（8分）20．（8分）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足．(1)求该方程组的解；（用含的式子表示）(2)求的取值范围；(3)若关于的不等式的解集为，且为整数，求的值．【详解】（1）解：，，得，解得，，得，解得，∴方程组的解为；……（3分）（2）解：，，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，即a的取值范围为；……（5分）（3）解：，，∵不等式的解集为，，解得，由（2）可知，∴满足条件的的取值范围是，又是整数，满足条件的的值为．……（8分）21．（10分）新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题．素材1“中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名．素材2周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元．(1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元．(2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？(3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值．【详解】（1）解：设线上售价x元/个，线下售价y元/个根据题意得：，解得：，∴线上30元/个，线下35元/个；……（3分）（2）解：设线上销售a个，线下销售(4000−a)个，根据题意得：，解得：，∵a为整数，∴，∴线上销售个数可能有个或个或个；……（7分）（3）解：根据题意得：利润，∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，∴，解得：．……（10分）22．（10分）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号）(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可）(3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．【详解】（1）解：方程①的解为，方程②的解为，方程③的解为，，解不等式④得：，解不等式⑤得：，则不等式组的解集为，所以这个不等式组的关联方程是③；……（2分）（2）解：，解不等式⑥得：，解不等式⑦得：，则不等式组的解集为，所以这个不等式组的整数解为1，∵不等式组的一个关联方程的解是整数，∴这个关联方程可以是（答案不唯一）；……（4分）（3）解：方程的解为，方程的解为，，解不等式⑧得：，解不等式⑨得：，则不等式组的解集为，∵方程都是关于的不等式组的关联方程，∴，解得．……（10分）23．（12分）综合与探究问题背景为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人．甲型客车乙型客车载客量（人辆）日租金（元辆）(1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？问题解决(2)该学校计划租用甲、乙两种型号