第二章 实数 单元自测卷（含答案）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第二章《实数》单元自测卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列实数中是无理数的是（

）A． B． C． D．2．当时，下列二次根式没有意义的是（

）A． B． C． D．3．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点表示的数可能是（

）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．6．若，则化简的结果为（

）A． B． C． D．7．如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（

）A． B． C． D．8．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(

)A． B． C． D．9．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）A．a B． C． D．10．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．若最简二次根式与是同类二次根式，则________．12．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________．13．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）．14．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____．15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________．16．实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为_____．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．求下列各式中x的值：(1)；(2)．18．计算：(1)(2)．19．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）．，，，，，，（每两个之间多一个），，．属于整数的有：________________________；属于有理数的有：________________________；属于无理数的有：________________________．20．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．(1)求，，的值；(2)求的平方根．21．阅读与思考：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，，这样，，那么便有．例如：化简．解：首先把化为，这里，．由于，，，．仿照上面的例题，解决下列问题．(1)；(2)．22．如图，这是一个数值转换器．(1)当输入x的值为9时，输出______．(2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，．(3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值．23．阅读素材：，，，…按照此规律：(1)初步探究：①填空：________________；②计算：；(2)迁移应用：计算：24．再谈海伦-秦九韶公式材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）；材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为．【解决问题】(1)已知如图在中，，，．的面积______；(2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________；(3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．25．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到．(1)关于1的“美好数”是__________；(2)若是关于4的“美好数”，求的值；(3)化简：．参考答案一、选择题1．C解：无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数.∵是分数，属于有理数，，是整数，属于有理数，是有限小数，属于有理数，开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数；2．B解：，，二次根式没有意义的是．3．D解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是．4．D解：设点所代表的数为，由数轴可知：，即，故B、C错误，∵，∴数轴上点表示的数可能是．5．C解：对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：，故D错误．6．B解：，且，，．7．A解：点表示的实数是，，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，，点表示的实数是，且，，，在中，由勾股定理得：．8．C解：左图两个正方形的面积之和为，所以右图的正方形的面积为，边长为．9．C解：∵a在0的左边，b在0的右边，且，∴，，，∴,,,．10．B解：，，，在中，，，，是直角三角形，且，，．二、填空题11．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得．12．解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是，∴，解得，∵的立方根是，∴，解得，将，代入得，∵的平方根是，∴的平方根是．13．解：∵，，∴．14．解：由题意可知：．15．0解：设内圆圆周上未知的数为c，由题意得：，∴．16．5或解：，，解得，当为直角边时，第三边为斜边，第三边长为；当为斜边时，第三边为直角边，第三边长为；综上可知，第三边长为或．三、解答题17．（1）解：，两边同除以4得：，开平方得：，解得：或；（2）解：，移项得：，开立方得：，解得：．18．（1）解：；（2）解：．19．解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数；，是整数，也是有理数；是有限小数，是有理数，是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数；，是整数，也是有理数；是整数，也是有理数；（每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数；是分数，故是有理数；是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数．综上，属于整数的有：；属于有理数的有：；属于无理数的有：．故答案为：；；．20．（1）解：的立方根是，的算术平方根是，，解得：；，，是的整数部分，；（2），，，，的平方根为．21．（1）解：令，∵，，，∴；（2）解：，令，∵，，，∴．22．（1）解：是有理数，是无理数，∴当输入x的值为9时，输出；（2）解：输入x的值可能是，理由如下：∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根，∴输入的数为负数，∴输入x的值可能是；（3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2，当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2，∴输入的数为，同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……，∴输入的数可以为2或4．23．（1）解：①∵，，，…，∴（是正整数，且）；∴；②根据①中规律