河南信阳市五校协作体2027届高三上学期10月联合质量监测数学+答案

第1页/共5页信阳市2027届高三10月联合质量监测A.B.C.D.2.已知复数z=1-2i，z2=4+2i在复平面内对应的点分别为z，Z，为原点，则A.12B.16C.20D.243.已知f(x)是偶函数，且当时则()A.1B.C.2D.34.直角三角形ABC中，LA=900，AE,AF分别为aABC的中线，角平分线，若线段BF,EF,EC的长度成等差数列，公差d>0，则tanc等于()A.5B.C.2D.5.我们把方程xe'=1的实数解称为欧米加常数，记为Q，Ω和e一样，都是无理数，Q还被称为在指数函数中的“黄金比例”．下列有关的结论正确的是()A.B.C.D.6.已知点p(-2p,I)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，则C的准线方程为()第2页/共5页A.B.C.D.7.球的体积公式可以利用微分法推导：先将半球用平行于底面(大圆面)的平面将其分成等高的部分，每一部分可近似看作圆柱，这些圆柱体积之和V就作为半球体积的近似结果，当n→+30时，V的极限即为半球的体积，从而得到球的体积公式．图中，ABCD为过圆柱O,0的轴的截面，M,N分别为圆柱上下底面圆周上的点，且的夹角为．若将直线MN绕OO2转一周，可得双曲面(图2)，即过圆柱的轴的任一截面与双曲面的交线都为双曲线．设0为的中点，在平面ABCD内以0为原点，为y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，记圆柱高为h，底面半径为r，过0作直线GH上平面ABCD，交圆柱侧面于G,H两点，过双曲线E的右焦点F的直线l与双曲线E右支交于S,T两点，将双曲面与圆柱上下底面围成的封闭几何体记为．则下列说法错误的是()参考公式：．A.若h=4,r=2，坐标平面xoy中相应的双曲线E的方程为B.若h=4,r=2，四面体STGH体积的最小值为8.AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设正整数，其中a,e{0,1}，i=0,1,2,…,k.记p(n)=a,+a+…+a.则p(26)=()第3页/共5页A.3B.2C.1D.269.一组样本数据(x,,y9)9ie{1,2,3,…,100}．其中，求得其经验回归方程为残差为．对样本数据进行处理：x=In(xr,-1895)，得到新的数据(x,",y)，求得其经验回归方程为其残差为，分布如图所示，且，A.样本(x,,y)负相关B.C.D.处理后的决定系数变大10.已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是()A.B.（O为坐标原点）C.若点A在第一象限，则D.若E为C的下顶点，则11.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，P为线段B,C上一动点（含端点则下列说法正确的是第4页/共5页A.若长方体的长宽高确定，则四面体APBD的体积为定值B.存在点P，使得C.若底面ABCD为正方形，则过点P有且只有一条直线与AC，B,D所成的角均为D.若AB=AD=1则平面ABD截长方体ABCD-AB,CD,的外接球所得截面的面积是12.函数f(x)=ln(x+1)-ln(l-x)的对称中心坐标为13.已知各项均为正数的等比数列{.}的前n项和为，且，则14.高一年级安排一班的甲、乙，二班的丙、丁，三班的戊共5名同学去A,B,C,D四个社区做志愿者，每名同学只去1个社区，每个社区至少1名同学，且同一班级的同学不去同一个社区，则不同的安排方法共有种用数字作答）15.已知数列{a,}的前"项和为，且a=l，数列是公差为的等差数列．（1）求{a,}的通项公式；（2）设，记数列{b,}的前"项和为r.，求使得T,>120成立的最小正整数"的值．16.甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲．（1）求第3次射箭的人是甲的概率；（2）甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望．17.如图，在三棱柱P-ABC中，PAl平面ABC，PA=AB=AC=2，BC=2、乓，点D是棱PA的中点，点E满足配-2丽，点F是棱BP上的一点（不包含端点第5页/共5页（1）若EF//平面ABC，求证：PF=2FB；（2）若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥P-FCD的体积．18.已知A，B是抛物线C:Y2=4X上异于坐标原点O的两点．（1）若C的焦点恰好是的垂心，求；（2）若直线OA与直线OB的斜率之积为-4．（i）求证：直线AB恒过定点；(ⅱ)已知点G是线段AB的中点，点M(-2,0)关于直线AB的对称点N在C上，求的面积．19.已知定义在[0,+o)上的函数f(x)=e"ln(1+x)．（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）设A(x,f(x)),B(x,,f(x2)),c(x+x,,f(x+x2))为函数f(x)的图象上不同于原点0的三个不同的点，其中．①证明：koz<kon；②定义M,N两点间的距离如下：d(M,N)=ln-xl+yn-l，证明：d(0,C)>d(0O,A)+d(0,B)．第1页/共22页信阳市2027届高三10月联合质量监测A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由题设.2.已知复数z1=l-2i，z,=4+2i在复平面内对应的点分别为z，Z，为原点，则A.12B.16C.20D.24【答案】C【解析】【详解】由题设Z(1,-2)，Z,(4,2)，则Z刁=(3,4),OZ=(4,2)，所以z万·0z=3x4+4x2=20.3.已知f(x)是偶函数，且当xc0时则()A.1B.C.2D.3【答案】C第2页/共22页【解析】【分析】先利用偶函数的性质求出x>0时f(x)的表达式，再将求和式转化为对数的和，利用对数运算性质化简.【详解】设x>0，则-x<0，由f(x)是偶函数，得.4.直角三角形ABC中，LA=900，AE,AF分别为aABC的中线，角平分线，若线段BF,EF,EC的长度成等差数列，公差d>0，则tanc等于()A.5B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中项可得，即可利用正弦定理求解.【详解】设BC=a,AC=b,AB=C，由题意可得,由BF,EF,EC成等差数列，得，则，故,由正弦定理可得，即故选：B第3页/共22页5.我们把方程xe'=1的实数解称为欧米加常数，记为，Ω和e一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”．下列有关的结论正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对AB选项由题意得Qe"=1，两边取对数可得lnΩ=-Ω,进而可得eInQ=-1，故AB错误；对CD选项，构造函数f(x)=xe"-l，由导数判断函数在(-l,+0)上单调递增，所以函数有唯一零点，再由零点存在性定理可得零点的范围.【详解】由题意可得Ω满足Qe2=1，据此逐一分析选项：对A，B选项：由Qe2-1，两边取自然对数得：In(se")=lnl=0,Ins2+S2=0,Ins2=-S，所以e"ns=e"(-2)=-se"=-1，因此A、B均错误；对C，D选项：构造函数f(x)=xe"-l，求导得f"(x)=e"(1+x)，当x>-l时，f"(x)>0，故函数f(x)在(-l,+0)上单调递增，函数f(x)有唯一零点为Ω.,,所以，由零点存在定理，故，故C正确，D错误.6.已知点p(-2p,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，则C的准线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】第4页/共22页【分析】先将点的坐标代入标准方程，求出，再求出准线即可.【详解】由点p(-2p,1)在抛物线x2=2py上，则(-2p)=2pxl，即4p2-2p=0，解得或p=0（舍因为抛物线x2=2py(p>0)准线方程为，即，因此，抛物线C的准线方程为.7.球的体积公式可以利用微分法推导：先将半球用平行于底面(大圆面)的平面将其分成等高的部分，每一部分可近似看作圆柱，这些圆柱体积之和V就作为半球体积的近似结果，当n→+30时，V的极限即为半球的体积，从而得到球的体积公式．图中，ABCD为过圆柱O,0,的轴的截面，M,N分别为圆柱上下底面圆周上的点，且aow的夹角为．若将直线MN绕OO2转一周，可得双曲面(图2)，即过圆柱的轴的任一截面与双曲面的交线都为双曲线．设0为的中点，在平面ABCD内以0为原点，O,0,为y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，记圆柱高为h，底面半径为r，过0作直线GH上平面ABCD，交圆柱侧面于G,H两点，过双曲线E的右焦点F的直线l与双曲线E右支交于S,T两点，将双曲面与圆柱上下底面围成的封闭几何体记为．则下列说法错误的是()参考公式：．A.若h=4,r=2，坐标平面xoy中相应的双曲线E的方程为B.若h=4,r=2，四面体STGH体积的最小值为第5页/共22页【答案】ABD【解析】【分析】对于A项，作出相关辅助线，转化为直线到平面的距离计算即可判断；对于B项，设直线ST:x=my+、5，联立双曲线方程，结合韦达定理，利用换元法求出ly-%的最值，再根据锥体体积公式即可得到最值；对于CD项，利用微分法结合体积公式以及三元均值不等式即可得到最值．【详解】对于A项，作MM'垂直圆柱O,0下底面于M'，作NN'垂直圆柱O,0上底面于N'，连接ON",O,M',MN',MN得到正三棱柱OMN'-O,MN，则点0到直线MN距离即为直线O,0到平面MNNM'距离，又因为平面MNNM'，则该距离即为等边三角形ao,MN'的高，所以双曲线E的实半轴为J3．易知双曲线E过(2,2)点，所以双曲线方程为，故A项错误；对于B项，设直线ST:x=my+、下，双曲线，设s(x,y)9T(x3,2)，联立，得，第6页/共22页所以，因为在上单调递增，所以，即f(t)e[-1,0)，则，则，当i=1，即m=0时取等号，,所以四面体STGH体积最小值为165，故B项错误；对于CD项，则到直线间距离，即，过点，所以双曲线E方程为．用平行于截面圆0的平面对线段00进行n等分，则几何体上半部分依次被分成等高的部分，每一部分可以近似看成高均为的圆柱，假设这些平行平面与双曲线E第一象限部分从下往上依次交于A,A,?A,?,A,，所以几何体上半部分从下往上第部分体积，第7页/共22页所以几何体的体积,当时由题意4r+2h=16女2r+h=8，所以,当且仅当时取等，所以几何体的体积最大值约为，故C项正确，D项错误；8.AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设正整数n=a,:2"ta:2't…ta.1:2"ta,:2'，其中a,e{0,1}，i=0,1,2,…,k.记A.3B.2C.1D.26【答案】A【解析】【详解】用除2取余的方法将26转换为二进制为，则26用二进制表示为11010，,,第8页/共22页则a,=0,a=1,a,=0,a=l,a,=l，9.一组样本数据(x,,y9)9ie{1,2,3,…,100}．其中，求得其经验回归方程为残差为．对样本数据进行处理：x=In(xr,-1895)，得到新的数据(x,",y)，求得其经验回归方程为其残差为，分布如图所示，且，A.样本(x,y,)负相关B.C.D.处理后的决定系数变大【答案】ABD【解析】【分析】利用回归方程判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图象的波动性判断CD.【详解】对于A，经验回归方程中斜率-0.02<0，则样本(x,y,)负相关，A正确；对于B，原样本均值：天=2x10',下=9.7，由，得⃞=9.7+0.02x2x10'=49.7，B正确：对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误；对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确．故选：ABD10.已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是()第9页/共22页A.B.（O为坐标原点）C.若点A在第一象限，则D.若E为C的下顶点，则【答案】ACD【解析】【分析】根据条件，可得，根据勾股定理、椭圆的定义及面积公式，可得面积的表达式，即可得A点纵坐标，根据y≤b，结合a,b,c的关系，整理计算，可判断A的正误；根据saaon>saor;，分析可判断B的正误；根据余弦定理，可得、lmr的表达式，即可得的表达式，结合的范围，分析求解，可判断C的正误；由条件，可得的表达式，进而可得的表达式及范围，整理化简，即可判断D的正误.【详解】选项A：由，得，则，由椭圆的定义得，则，所以，则，所以，所以，则，即，解得，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：若点A在第一象限，则，第10页/共22页由余弦定理得(2a-m'=m2+4c2-2m·2ccos8，则4a2+m2-4am=m2+4c2-4mccosB，整理得q2-c2=am-mccosB=b2，所以，同理可得，则由点A在第一象限知a<AF<a+c，则，所以，故C正确：选项D：由A项知，所以，,所以，故D正确．第11页/共22页11.如图，在长方体ABCD-ABCD中，P为线段B,C上一动点（含端点则下列说法正确的是A.若长方体的长宽高确定，则四面体APBD的体积为定值B.存在点P，使得C.若底面ABCD为正方形，则过点P有且只有一条直线与AC，B,D所成的角均为D.若AB=AD=l则平面ABD截长方体ABCD-AB,CD,的外接球所得截面的面积是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由三棱锥体积公式求解即可；对于B，先设D=1BC,Ae[0,1]，再用表示，再对比系数求解即可；对于C，过点P可以作两条直线与AC，BD所成的角均为；对于D，先求外接球半径，再求截面（截面为圆）的半径，进而求其面积.【详解】对于A，在长方体ABCD-AB,CD中，因为B,CIlAD，平面ABD，ADC平面,所以B,CIl平面ABD，即点P到平面ABD的距离是定值，故四面体APBD的体积为定值，A正确；对于B，设，由向量运算第12页/共22页：，所以存在点P，使得，B正确；对于C，如图，连接BD、AC交于点F，因为底面是正方形，所以BD上AC，过点F可以作两条直线与AC，BD所成的角均为，可将这两条平行线平移到经过P点，所以过点P有两条直线与AC，BD所成的角均为，C错误；对于D，设长方体的外接球球心为O，半径为R，AC与BD交于点E，所以R=1，设0到平面ABD的距离为d，利用等体积法，先以为底面计算三棱锥。-ABD的体积：，,再以SOBD为底面计算三棱锥O-ABD的体积：由题可知四边形AB,CD是正方形，所以AC山BD，又AC山BB，所以AC山平面BBD，所以OBD，所以AE是三棱锥A-OBD的高，第13页/共22页,等体积法得：V-w=v-onn，所以，解得，则平面ABD截长方体ABCD-AB,CD的外接球所得截面圆的半径，其面积为，D正确.12.函数f(x)=ln(x+1)-ln(l-x)的对称中心坐标为【答案】(0,0)【解析】【分析】根据f(x)的奇偶性求解.【详解】由，解得-l<x<1，所以f(x)的定义域为(-1,1)，关于原点对称，又f(-x)=In(-x+1)-ln(1+x)=-[In(x+I)-In(1-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以函数f(x)的对称中心的坐标为(0,0)，故答案为：(0,0)13.已知各项均为正数的等比数列{.}的前n项和为，且，则【答案】第14页/共22页【解析】·【详解】因为数列{a,}为等比数列，且各项均为正数，设公比为，所以a>0，q>0，由2a,+q=q得2aq'+aq2=aq，即2q2+q-1=0，解得或－1（舍所以．14.高一年级安排一班的甲、乙，二班的丙、丁，三班的戊共5名同学去A,B,C,D四个社区做志愿者，每名同学只去1个社区，每个社区至少1名同学，且同一班级的同学不去同一个社区，则不同的安排方法共有种用数字作答）【答案】192【解析】【分析】先将5名同学分成4组，再将分好的4组全排列安排到4个社区，同时要考虑同一班级的同学不去同一个社区这一限制条件，最后用分步乘法计数原理计算总数即可.【详解】5人分配到4个社区，且每个社区至少1人，则分组模式为2，1，1，1型（1个2人组，3个1人组不考虑限制时，从5人中选2人的组合数：，剔除同班同学同组的无效组合：{甲，乙}、{丙，丁}，共2种，有效2人组有10-2=8种，再将1个2人组和3个1人组分配到4个不同社区进行全排，则不同的安排方法共有8XA=192种.15.已知数列{a,}的前"项和为，且a=l，数列是公差为的等差数列．（1）求{a,}的通项公式；（2）设，记数列{b,}的前"项和为r.，求使得I,>120成立的最小正整数"的值．【解析】第15页/共22页【分析】（1）根据条件得到，再由".与s.间的关系，即可求解；（2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解.【小问1详解】因为，数列是公差为的等差数列，所以，则，当"≥2时整理得到，则，所以数列是常数列，【小问2详解】由题意知，所以，所以{T}是递增数列，所以使得I,>120成立的最小正整数n的值为9．16.甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲．（1）求第3次射箭的人是甲的概率；（2）甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望．（2）分布列见解析，第16页/共22页【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可；（2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可.【小问1详解】记“第3次射箭的人是甲”为事件A，所以，即第3次射箭的人是甲的概率为．【小问2详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，所以，,,,所以X的分布列为X0123P所以．17.如图，在三棱柱P-ABC中，PA上平面ABC，PA=AB=AC=2，BC=2、乓，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点第17页/共22页（1）若EFl/平面ABC，求证：PF=2FB；·（2）若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥P-FCD的体积．【答案】（1）证明见解析）．【解析】【分析】（1）利用线面平行性质推得线线平行，结合向量线段比例关系，借助相似三角形比例证得线段倍数关系；（2）依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角公式列方程求解参数，再利用等体积转化与线段比例，算出几何体体积．【小问1详解】在SPAC中，点D是棱PA的中点，点E满足，所以E是SPAC的重心，连接PE，并延长交AC于点G，连接BG，如图所示，则PE=2EG，因为EF//平面ABC，平面PEF平面ABC=BG，EFC平面PEF，所以EF//BG，所以，即．【小问2详解】因为P4上平面ABC，AB,AC平面ABC，所以P4上AB，PALAC，又AB=AC=2，BC=2、乓，所以AB2+AC2=BC2，所以AB上AC，所以PA,AB,AC两两垂直，以A为坐标原点，AB,AC,AP所在的直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第18页/共22页所以A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,1)，设平面BCD的法向量为n=(x,y,z)，又丽=(-2,0,1)，D=(0,-2,1)，所以AF=ap+丽=(0,0,2)+(2A,0,-2A)=(2A,0,2-2A)，所以，解得，所以，所以三棱锥P-FCD的体积.18.已知A，B是抛物线C:Y2=4X上异于坐标原点O的两点．（1）若C的焦点恰好是的垂心，求；（2）若直线OA与直线OB的斜率之积为-4．（i）求证：直线AB恒过定点；(ü)已知点G是线段AB的中点，点M(-2,0)关于直线AB的对称点N在C上，求的面积．（2i）证明见解析；(ü).第19页/共22页【解析】·值，即得；（2i）依题设直线AB的方程为X=ny十t，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为-4，列方程求得t=1，即可得证；（ii）由（i）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点A,B的坐标，进而得到点G的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案.【小问1详解】记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，A