2026线性代数期末考试试卷及答案详解

2026线性代数期末考试试卷及答案详解一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|=A.2B.2C.2D.42.设A为m×n矩阵，r(A.rB.nC.nD.m3.设A与B均为n阶正交矩阵，则下列矩阵中不一定为正交矩阵的是（）A.AB.AC.AD.A4.设3阶方阵A的特征值为1,−1A.18B.36C.54D.725.二次型f(A.1B.1C.1D.1二、填空题（每题3分，共15分）1.设A=1234，则A−12.三阶行列式123456783.设向量组α1=(1,0,1)4.设3阶方阵A满足|A|=3，则|A*|5.设矩阵A的特征值为1,2,3，则tr(A三、计算题（每题10分，共50分）1.计算四阶行列式D答案：D解析：将第2、3、4列加到第1列，得D再用第1行乘以−1D2.设A=1225，BA|AA3.求向量组α1$$A=\begin{pmatrix}

1&2&0&1\\

2&4&1&1\\

1&2&0&1\\

0&0&1&1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-r_1}

\begin{pmatrix}

1&2&0&1\\

0&0&1&-1\\

0&0&0&0\\

0&0&1&1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_4-r_2}

\begin{pmatrix}

1&2&0&1\\

0&0&1&-1\\

0&0&0&0\\

0&0&0&2

\end{pmatrix}.$$阶梯形矩阵有3个非零行，故秩为3。主元所在列为第1、3、4列，故α1,α4.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+2x_2+x_3=4,\\

2x_1+4x_2+3x_3=9,\\

3x_1+6x_2+5x_3=14

\end{cases}$$的通解。答案：$\begin{cases}x_1=3-2t,\\x_2=t,\\x_3=1\end{cases}，其解析：对增广矩阵作初等行变换：$$\begin{pmatrix}

1&2&1&4\\

2&4&3&9\\

3&6&5&14

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-3r_1}

\begin{pmatrix}

1&2&1&4\\

0&0&1&1\\

0&0&2&2

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_3-2r_2}

\begin{pmatrix}

1&2&1&4\\

0&0&1&1\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}.$$由第二行得x3=1，代入第一行得x1+5.求矩阵A=|故特征值为1,当λ1=1−得x1+x2=0，基础解系为(1当λ2=31得x1=x2，基础解系为(1,1四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶方阵，且A2=Ar移项得r另一方面，E=n综上，r(2.设向量组α1,αk即k整理得(由于α1$$\begin{cases}

k_1+k_3=0,\\

k_1+k_2=0,\\

k_2+k_3=0.

\end{cases}$$解得k1=k参考答案与解析一、单项选择题1.答案：B解析：由行列式性质|kA|2.答案：C解析：基础解系所含解向量个数等于未知量个数n减去系数矩阵的秩r。3.答案：D解析：正交矩阵的乘积、逆、转置仍为正交矩阵，但两个正交矩阵的和一般不满足正交矩阵定义。4.答案：C解析：若A的特征值为λ，则A2+2E的特征值为λ25.答案：B解析：二次型矩阵为对称矩阵，交叉项2a12x1x2对应二、填空题1.答案：−解析：|A|=2.答案：0解析：第一行与第二行的差为3，第二行与第三行的差也为3，三行成等差数列，行列式值为0。3.答案：3解析：以它们为列向量构成矩阵A，|A|=4.答案：9解析：|A5.答案：6解析：迹等于特征值之和1+三、计算题2.答案：AB=解析：矩阵乘法3.答案：秩为3，极大无关组可取α1,α解