全国大学生线性代数期末考试试卷及答案解析

全国大学生线性代数期末考试试卷及答案解析一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为3阶方阵，且|A|=A.−B.−C.16D.82.设向量组α1=(1,0,A.1B.2C.3D.43.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组A.A的列向量组线性相关B.A的列向量组线性无关C.A的行向量组线性相关D.A的行向量组线性无关4.若n阶矩阵A与B相似，则下列结论中不成立的是（）A.A与B有相同的特征值B.A与B有相同的行列式C.A与B有相同的迹D.A与B有相同的特征向量5.下列二次型中，正定的是（）A.fB.fC.fD.f二、填空题（每题3分，共15分）1.设三阶矩阵A的特征值为1,2,2.已知3阶矩阵A的秩R(A)3.设向量α=(1,−4.若A为3阶可逆矩阵，且A2−3A+2I5.设矩阵A=1234三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式$$D=\begin{vmatrix}

2&-1&3&1\\

0&2&1&-1\\

1&0&2&1\\

3&1&0&2

\end{vmatrix}.$$答案：19解析：交换第一行与第三行，再对第三、四行作消元，可得$$D=-\begin{vmatrix}

1&0&2&1\\

0&2&1&-1\\

0&-1&-1&-1\\

0&1&-6&-1

\end{vmatrix}.$$按第一列展开，得$$D=-\begin{vmatrix}

2&1&-1\\

-1&-1&-1\\

1&-6&-1

\end{vmatrix}.$$计算右端三阶行列式为−19，故D2.解非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+2x_2-x_3=1,\\

2x_1-x_2+x_3=2,\\

x_1-3x_2+2x_3=1.

\end{cases}$$答案：通解为$$\begin{cases}

x_1=1-\dfrac{t}{5},\\[4pt]

x_2=\dfrac{3t}{5},\\[4pt]

x_3=t,

\end{cases}\quadt\in\mathbb{R}.$$或写为向量形式x解析：对增广矩阵作行变换：$$\begin{pmatrix}

1&2&-1&1\\

2&-1&1&2\\

1&-3&2&1

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1&2&-1&1\\

0&-5&3&0\\

0&-5&3&0

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1&2&-1&1\\

0&-5&3&0\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}.$$令x3=t，解得x3.设矩阵$$A=\begin{pmatrix}

1&2&1\\

2&1&1\\

1&1&2

\end{pmatrix},$$求A−答案：$$A^{-1}=\begin{pmatrix}

-\dfrac14&\dfrac34&-\dfrac14\\[4pt]

\dfrac34&-\dfrac14&-\dfrac14\\[4pt]

-\dfrac14&-\dfrac14&\dfrac34

\end{pmatrix}.$$解析：先求|A$$A^*=\begin{pmatrix}

1&-3&1\\

-3&1&1\\

1&1&-3

\end{pmatrix},$$于是A−4.求矩阵$$A=\begin{pmatrix}

1&2&2\\

2&1&2\\

2&2&1

\end{pmatrix}$$的特征值和全部特征向量。答案：特征值为λ1=5对应于λ=5的全部特征向量为k(对应于λ=−1的全部特征向量为k1(解析：特征多项式为$$|A-\lambdaI|=\begin{vmatrix}

1-\lambda&2&2\\

2&1-\lambda&2\\

2&2&1-\lambda

\end{vmatrix}

=(5-\lambda)(\lambda+1)^2.$$对λ=5，解(A对λ=−1，解(A+I)5.已知二次型f求一个正交变换x=答案：二次型矩阵与第4题相同，取正交矩阵$$Q=\begin{pmatrix}

\dfrac{1}{\sqrt3}&\dfrac{1}{\sqrt2}&\dfrac{1}{\sqrt6}\\[4pt]

\dfrac{1}{\sqrt3}&-\dfrac{1}{\sqrt2}&\dfrac{1}{\sqrt6}\\[4pt]

\dfrac{1}{\sqrt3}&0&-\dfrac{2}{\sqrt6}

\end{pmatrix},$$令x=f解析：利用第4题的特征向量，将其单位化得到Q的列向量：$$\eta_1=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^T,\quad

\eta_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)^T,\quad

\eta_3=\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)^T.$$这三个向量两两正交且为单位向量，故Q=(η1,四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶矩阵，且A2=AR即R(另一方面，I=n综上，R(解析：关键依据是A(I−A)=O2.设向量组α1β也线性无关。答案：设k即(因为α1$$\begin{cases}

k_1+k_3=0,\\

k_1+k_2=0,\\

k_2+k_3=0.

\end{cases}$$解得k1=k解析：利用线性无关的定义，将βi的线性组合转化为α参考答案与解析一、单项选择题1.答案：A解析：由|kA|2.答案：C解析：α1,α2,3.答案：B解析：Ax=0仅有零解等价于R4.答案：D解析：相似矩阵有相同的特征多项式，因此特征值、行列式、迹均相同；但特征向量不一定相同。5.答案：B解析：B的矩阵为单位矩阵，正定；A不定，C负定，D半正定但不正定。