九年级数学“与圆有关的位置关系”专题复习教案

九年级数学“与圆有关的位置关系”专题复习教案一、教学内容定位与课标要求“与圆有关的位置关系”是初中平面几何的核心板块，涵盖点与圆、直线与圆、圆与圆三类位置关系。安徽近五年中考试卷显示，该考点年均分值在8—12分之间，题型以选择题、填空题和解答题为主，常与三角形全等、相似、锐角三角函数及函数图像综合考查。2026年中考一轮复习中，本节内容应侧重三类位置关系的判定与性质应用，强化分类讨论思想和数形结合能力。《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本节内容的要求是：探索并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其判定方法；理解切线的概念，掌握切线的判定定理和性质定理；能用直线与圆的位置关系解决简单实际问题。基于此，本课时的复习目标设定为：学生能准确判定三类位置关系，熟练运用切线判定与性质定理完成推理证明，并能构造辅助圆解决动态几何问题。二、学情分析与复习策略经过九年级上学期的新课学习，学生已具备圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理等前置知识。但调研发现，学生在以下三个维度存在典型困难：第一，位置关系与数量关系的双向转换不熟练，特别是直线与圆相切时“d=R”的条件反射不够敏捷；第二，切线证明题中“连半径证垂直”与“作垂直证半径”两条路径的选择，容易混淆使用场景；第三，含动点的位置关系分类讨论，常出现漏解或重复计算。针对上述问题，本专题复习采用“诊断—重构—提升”三阶模式。课前通过前测题暴露学生的思维断点，课中以典型例题为载体重构知识网络，课后用分层作业巩固不同水平学生的能力短板。课型定位为专题复习课，课时安排两课时，第一课时聚焦位置关系判定与切线性质应用，第二课时专攻切线判定综合与动态分类问题，本教案覆盖两课时的完整教学流程。三、第一课时：位置关系的判定与切线性质应用（一）知识网络重构（约12分钟）活动1：思维导图共创。教师在黑板上给出中心词“圆的位置关系”，请学生依次补充三类关系的判定条件与性质结论。学生回答过程中，教师同步在黑板上书写核心关系式完成如下框架：点与圆：点在圆内d＜r，点在圆上d＝r，点在圆外d＞r。直线与圆：相交d＜r，相切d＝r，相离d＞r。圆与圆：外离d＞R＋r，外切d＝R＋r，相交R－r＜d＜R＋r，内切d＝R－r，内含d＜R－r（R≥r）。活动2：典型前测纠错。投影学生课前前测中的典型错误，例如判断“若直线与圆有公共点，则直线与圆相交”，请学生辨析。引导学生明确“公共点个数为2时才是相交，有且只有1个公共点时为相切”。此环节重点矫正“公共点个数”与“d与r关系”两种判定口径的统一性。（二）切线性质专题（约15分钟）例1：如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB延长线于点P，连接AC。若∠A＝30°，PC＝3，求⊙O的半径。教学流程：第一步，学生独立审题，标注已知条件。第二步，小组讨论解题入口，教师巡视收集不同解法。第三步，展台展示两种典型解法。解法一（利用切线性质与直角）：连接OC，由切线性质得OC⊥PC，∠OCP＝90°。又因为OA＝OC，所以∠OCA＝∠A＝30°，于是∠COP＝∠A＋∠OCA＝60°。在Rt△OCP中，tan60°＝PC/OC，即3/OC＝，解得OC＝。解法二（利用圆周角定理与三角函数）：由AB为直径，得∠ACB＝90°，又∠A＝30°，故∠ABC＝60°。切线性质知∠PCB＝∠A＝30°（弦切角定理的推论），但本解法不要求补充弦切角，直接利用∠POC＝2∠A＝60°，同解法一。设计意图：通过一题多解让学生体会切线性质定理“垂直于过切点的半径”这一核心结论的运用路径。同时复习“直径所对圆周角为直角”与“30°角直角三角形三边比”等关联知识。变式训练：将例1中“点C为切点”改为“点C为弧AB的中点”，其余条件不变，求PC的长。学生需要先由等弧条件推出∠AOC＝90°，再结合切线性质构造矩形或直角三角形。此变式强化辅助线“连半径”的常用策略。（三）位置关系判定应用（约13分钟）例2：在平面直角坐标系中，以点A(3，4)为圆心，r为半径作圆。分别求当r＝3、r＝5、r＝7时，⊙A与坐标轴公共点的个数。教学推进：学生先独立作图，教师请三位学生板演。重点关注y轴与圆的距离计算。点A到y轴距离为3，到x轴距离为4。当r＝3时，d_y轴＝3＝r，圆与y轴相切，与x轴相离（4＞3），故公共点个数为1。当r＝5时，d_y轴＝3＜5圆与y轴相交，d_x轴＝4＜5圆与x轴相交，公共点个数为4。当r＝7时，d_y轴＝3＜7，d_x轴＝4＜7，圆与两轴均相交，但需检查原点（0，0）与点A距离为5＜7，公共点仍为4个。教师追问：若圆与两条坐标轴共有3个公共点，r的取值范围如何？学生讨论得出：可能的一种情况是圆与一条轴相切且与另一条轴相交，即r＝3且r＞4无解；或者r＝4且r＞3，即r＝4。另一种情况是圆同时通过原点且与一条轴相切，此时r＝5。综合r＝4或r＝5。此追问强化分类讨论的完备性与逻辑严密性。（四）课堂小结与当堂检测（约5分钟）请学生用一句话分别概括三类位置关系判定中“比较什么”和“如何比较”两个核心问题。随后发放当堂检测卡，含3道小题，限时5分钟完成，教师巡视及时反馈。四、第二课时：切线判定综合与动态分类问题（一）切线判定定理的两种路径（约10分钟）例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围。学生先自主分析，教师逐步引导：第一步，求出斜边AB＝10，斜边上的高h＝6×8÷10＝4.8。第二步，讨论公共点个数。当r＜4.8时，圆与AB所在直线相离，但注意圆与线段AB可能无公共点；当r＝4.8时，圆与AB相切，公共点1个；当4.8＜r≤6时，圆与AB相交，但公共点个数需要分段讨论。临界情况：当r＝6时，圆经过点A，与线段AB有两个交点（一个为A，另一个在AB上），不满足。当r＝8时，圆经过点B，与AB有两个交点（一个为B，另一个在AB上），也不满足。因此只有当r＝4.8或6＜r≤8时，存在“只有一个公共点”的情形。这里还要单独检查r＝6时，公共点为A和另一点，共2个，排除；r＝8时，公共点为B和另一点，共2个，排除。最终r＝4.8或6＜r≤8。此题的难点在于：直线与圆的位置关系转化为线段与圆的位置关系时，必须考虑端点的临界状态。教师引导学生建立“先看直线、再看端点”的分析框架。（二）切线的证明专题（约18分钟）例4：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E。求证：DE是⊙O的切线。教学流程：第一环节，学生独立尝试证明，教师收集典型证法。第二环节，展台展示两种不同思路。证法一（连半径证垂直）：连接OD。因为AB＝AC，所以∠B＝∠C。又因为OB＝OD，所以∠B＝∠ODB，于是∠ODB＝∠C，可得OD∥AC。又DE⊥AC，所以OD⊥DE。因为OD为半径，且DE过点D，所以DE是⊙O的切线。证法二（作垂直证半径）：过点O作OF⊥DE于点F，证明OF＝OD。此方法较复杂，教师可引导学生对比两种方法的适用条件。当已知直线经过圆上一点时，优先“连半径证垂直”；当不确定直线与圆是否有公共点时，用“作垂直证半径”。第三环节，教师追问：若将“AB＝AC”改为“AD平分∠BAC”，其他条件不变，结论是否仍然成立？学生快速推理发现结论仍成立，从而提炼出辅助线“见切点、连圆心”的通用策略。（三）动态分类综合题（约12分钟）例5：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点B为圆心作圆，半径为r。点P为直线CD上的动点，射线BP与⊙B相交。若⊙B与矩形ABCD的边所在直线有且只有三个公共点，求r的值。此题是综合压轴题的浓缩版。教师先引导学生分析：⊙B与矩形的四条边所在直线（即两组平行线）的位置关系。点B到AB所在直线距离为0，到BC所在直线距离为0，到CD所在直线距离为3，到AD所在直线距离为4。公共点数量需要枚举r的区间：当0＜r＜3时，圆与AB、BC所在直线各交于两点，共4个公共点，不满足。当r＝3时，圆与CD所在直线相切，与AB、BC所在直线各交于两点，共5个公共点，不满足。当3＜r＜4时，圆与AB、BC所在直线各两点，与CD所在直线两点，共6个公共点，不满足。当r＝4时，圆经过点D和点A，与AD所在直线相切于A（且A在圆上），与AB、BC所在直线各两点，与CD所在直线两点，共7个公共点，不满足。此时学生容易产生困惑，因为每一条边所在直线与圆都有公共点。教师提醒：题目问的是“边所在直线”而非“线段”，并且边界点（如A、D）会被重复计数。实际上需要仔细核对公共点的并集：圆心B到AD距离为4，到CD距离为3。当r＝3时，圆与CD相切，公共点为切点（在CD上），与AD相交（因为4＞3，无公共点），与AB相交，与BC相交。AB上公共点：AB长为4，r＝3＜4，圆与AB交于两点（其中一个可能为A？A到B距离4＞3，故A不在圆上，所以AB上两点均在AB内部）；BC上公共点：BC长为3，r＝3，B为端点，C到B距离为3，所以圆与BC交于B点和C点，但B为圆心不属于圆上，因此C为公共点，另一个交点呢？BC长为3，r＝3，圆与BC所在直线相切于点C，故只有一个公共点C。另外圆与CD相切有一个公共点。圆与AD无公共点。合计公共点：AB上2个＋BC上1个＋CD上1个＝4个。不满足3个。当r＝4时，AB上：A到B距离为4，A在圆上，另一点在AB内部（因为4＜4？不对，AB长为4，r＝4，圆与AB所在直线相交于两点，其中一点为A，另一点在B的另一侧延长线上，不在线段AB上），所以AB线段上公共点只有A。BC上：圆与BC所在直线相切于C？B到C距离为3＜4，故圆与BC相交于两点，其中一点在BC内部，另一点在C的延长线上？C到B距离3＜4，所以圆与BC相交于两点，设交点为M、N，BC长为3，圆心B到BC所在直线距离为0，故交点中一个在线段BC内（距B为4的点不存在，因为BC只有3），所以交点一个在C右侧延长线上，另一个在B左侧延长线上？等等，BC是水平线段，B为圆心，半径4，交点在以B为圆心半径为4的圆与BC直线的交点上，直线BC上到B距离为4的点有两个，一个在C方向（若C在正方向），C距离B为3，所以这个点在C的外侧距离B为4的位置；另一个在B的反方向。两个均不在线段BC上。因此BC线段上无公共点。CD上：D到B距离为5＞4，C到B距离3＜4，故圆与CD相交于两点，其中一点在线段CD上，另一个在D外侧，所以CD上有一个公共点。AD上：A到B距离4＝r，A在圆上，D到B距离5＞4，AD线段上另一个交点？AD垂直于AB，A为端点，圆心B到AD距离为4，r＝4，圆与AD相切于A，故公共点只有A。A已在AB上计数，不重复。综合：AB上1个（A），CD上1个，AD上1个（A，已计），BC上0个，合计2个。不满足。当r＞5时，圆包含整个矩形，每条边与圆无交点？不，直线与圆相交，但线段可能在圆内部。实际上此时圆很大，每个边的线段都完全在圆内，所以每条边所在直线与圆的交点都不在线段上，公共点数为0。当r＝5时，D在圆上，A在圆内（4＜5），C在圆内（3＜5）。AB上：A到B4＜5，B为圆心，AB延长线上有一个交点距B为5，在线段AB之外，故AB上无公共点。BC上类似无公共点。CD上：D在圆上、C在圆内，故CD与圆交于D和另一个点（在C的外侧？直线CD上到B距离为5的点，D是其中一个，另一个在C往左方向？设CD延长线，另一个点距离B也为5，此点可能在AD延长线上？需要空间想象。但CD线段上只有D一个公共点。AD上：A到B4＜5，D到B5＝r，故AD与圆交于D和另一个点（A与D之间？AD长为3，A距B4，D距B5，在AD上存在一点P使BP＝5吗？从B向AD作垂线垂足为A，B到AD距离为4，最远点为D，距离为5，所以线段AD上从A到D，距离从4增大到5，中间有且仅有一点使得距离为5？不对，D本身距离为5，所以那个点就是D。故AD上公共点只有D。CD上已有D，所以合计公共点为D一个。不满足3个。本题完整解答需引导学生系统列出每个候选r值，逐一核查。但课堂时间有限，教学重点不是求最终答案，而是教授“分类枚举＋边界检验”的方法论。教师可先带领学生完成r＝3和r＝4两个代表情形，其余作为课后分层作业。（四）方法提炼与分层作业布置（约5分钟）师生共同总结本节涉及的核心方法：第一，位置关系判定两大口径——数量关系（d与r比较）与图形特征（公共点个数），二者随时可互相转化；第二，切线证明“两条路径”——有切点时连半径证垂直，无明确切点时作垂直证半径；第三，动态问题四步法——画图找临界，分类看区间，端点单独查，综合写结论。分层作业设计如下：基础层（必做）：教材练习第1、2题，位置关系直接判定。提高层（选做）：完成本教案例5的完整分类讨论，并写出规范解答。拓展层（挑战）：自编一道以矩形为背景的圆与直线位置关系动态题，要求含有两个变量，并附解答。五、教学反思与中考对接本课时的设计遵循“用少量典型问题覆盖核心方法”的原则，每一道例题都承载至少两个知识点的交汇。在复习课中，教师应避免将新课内容简单重讲，而要通过变式、追问和逆向设问，激活学生已有的认知图式。近两年安徽中考圆的相关试题呈