向量在平面几何中的简单应用

一、向量法解几何问题的操作步骤及方法二、⊿ABC诸元素及关系的向量表示1.三边2.三角3.四线①中线②角平分线③高④中垂线5.三角形不等式三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示4.五心①重心②内心③外心④垂心⑤旁心§123向量在平面几何中的简单应用向量概述运算应用两技巧四定理＜＞十大运算三算法①②遗传变异运算律数形结合是关键加减乘数模角影单位方向法向量几何字母坐标式①②两个技巧四定理③④平行垂直角距离⑤注1.十大运算：①加法②减法③数乘④数量积⑤模⑥夹角⑦投影⑧单位向量⑨方向向量⑩法向量注2.三种算法：①几何式②字母式③坐标式注3.两技巧：①平方法②乘向量法注4.四定理：①平面向量基本定理②空间向量基本定理③共线定理④共面定理注5.应用：平行垂直角距离……一、向量法解几何问题的操作步骤及方法二、⊿ABC诸元素及关系的向量表示1.三边2.三角3.四线①中线②角平分线③高线④中垂线5.三角形不等式三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示4.五心①重心②内心③外心④垂心⑤旁心§123向量在平面几何中的简单应用一、向量法解几何问题的操作步骤及方法﹥﹤几何坐标法基底法向量平行垂直角距离练习1.向量法解几何问题的举例(1)用向量法证明余弦定理①②则如图，基底法证明余弦定理ACbcaB故即同理可证一、向量法解几何问题的操作步骤及方法﹥﹤几何坐标法基底法向量平行垂直角距离二、⊿ABC诸元素及关系的向量表示1.三边2.三角3.四线5.三角形不等式4.五点(心)①中线②角平分线③高线④中垂线①重心②内心③外心④垂心⑤旁心二、⊿ABC诸元素及关系的向量表示1.三边2.三角同联本角首尾补同向为O反向π练习2.三角形边与角的向量表示(2)(课本P：108A组Ex2)在⊿ABC中，BC=5，AC=8，∠ACB=600,则_____ACB析：如图，85600则二、⊿ABC诸元素及关系的向量表示3.四线①中线①中线②角平分线③高线④中垂线③高②角平分线④中垂线练习3.四线(3)（2005年江苏）在⊿ABC中的若AM=2，则一个动点，O为中线AM上最小值是_______ACBMO法1：小作如图(1)不妨将⊿ABC特殊化成：等腰直角三角形(2)然后建立坐标系……(3)字母坐标化……(-2,0)(2,0)(0,2)(0,y)该方法显然不能“上台面”。如何大作呢？坐标化的思路和方法虽可，但操作量太大……-2练习3.四线①中线:（2005年江苏）在⊿ABC中，的若AM=2，则一个动点，O为中线AM上-2最小值是_______ACBMO法2：如图，②角平分线:(4)(2005年天津)在直角坐标系xOy中，|=2,则=____________已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|ACBO(-3,4)(0,1)析：如图，由题意得而，故即二、⊿ABC诸元素及关系的向量表示4.五心①重心②内心③外心④垂心⑤旁心如图，COAB①

O是⊿ABC的重心②

O是⊿ABC的内心④

O是⊿ABC的垂心③

O是⊿ABC的外心⑤

O是⊿ABC的旁心练习4.⊿ABC诸元素及关系的向量表示(5)已知O点是△ABC所在平面内一点，且满足撒在△ABC内，则质点落在△AOC的概率为______，现将一粒质点随机(6)(2003年全国)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足【B】A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心则P的轨迹一定通过△ABC的二、⊿ABC诸元素及关系的向量表示1.三边2.三角3.四线5.三角形(绝对值)不等式4.五点(心)①中线②角平分线③高线④中垂线①重心②内心③外心④垂心⑤旁心参：课本P：82三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示1.圆内接四边形判定定理：圆内接四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补那么它的四个顶点共圆2.圆内接四边形性质定理：DABC三、四边形及圆的某些元素及关系的向量表示练习5.四边形及圆的某些元素及关系的向量表示(7)(2011年全国Ⅱ)设向量满足A.2B.C.D.1,,则的最大值为析1：由和得故可以构造一个圆内接四边形……析2：又因(7)(2011年全国)设向量满足即所求最大值为⊿OAB外接圆的直径A.2B.C.D.1析3：如图,由题意得O,A,B,C四点共圆C【A】ABO,,则的最大值为在⊿OAB中，由正弦定理可得其外接圆的直径为(7)(2011年全国)设向量满足A.2B.C.D.1,,则的最大值为另法：由得即即(7)(2011年全国)设向量满足另法：由题意得,,则的最大值为?而即(7)(2011年全国)设向量满足另法：由题意得,,则的最大值为?即?(7)(2011年全国)设向量满足另法：由题意得,,则的最大值为?即而(7)(2011年全国)设向量