人教版数学八年级下册 期中检测必考题型（一）-运算化简求值（7大考点12类题型） 同步练习 含答案

期中检测必考题型（一）——运算化简求值（7大考点12类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u【知识储备】 1【考点一】二次根式有意义的条件 2【题型1】二次根式有意义的条件（选择填空题4题） 2【考点二】最简二次根式与同类二次根式 2【题型2】最简二次根式与同类二次根式判断与求值（选择填空题4题） 2【考点三】二次根式的基础化简 3【题型3】二次根式的性质化简与分母有理化（选择填空题4题） 3【考点四】二次根式的四则混合运算 3【题型4】二次根式的加减运算（计算题4题） 3【题型5】二次根式的乘除运算（计算题4题） 3【题型6】二次根式的混合运算（计算题4题） 4【考点五】二次根式大小比较 4【题型7】二次根式的大小比较（选择填空题4题） 4【考点六】二次根式化简求值 5【题型8】已知字母的值，化简求值（选择填空解答题4题） 5【题型9】已知条件式，化简求值（选择填空解答题4题） 6【题型10】整体思想化简求值（解答题4题） 6【考点七】二次根式的应用 7【题型11】生产生活中的应用（填空解题题4题） 7【题型12】几何证明计算的应用（选择填空解答题4题） 8【知识储备】1.二次根式：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数.2.最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.3.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简.（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.5.二次根式的性质：（1）；（2）；（3）；（4）.【考点一】二次根式有意义的条件考法：根据二次根式定义，确定自变量取值范围。【题型1】二次根式有意义的条件（选择填空题4题）【例题1】（25-26九年级下·四川成都·月考）使代数式有意义的的取值范围是（

）A．且 B． C． D．且【变式1】（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知满足有意义，则点关于轴的对称点在第________象限．【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）已知实数满足，则______．【考点二】最简二次根式与同类二次根式考法：识别最简二次根式、判断同类二次根式。【题型2】最简二次根式与同类二次根式判断与求值（选择填空题4题）【例题1】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26九年级下·河南周口·月考）下列各数中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么______．【考点三】二次根式的基础化简考法：利用二次根式性质与分母有理化化简【题型3】二次根式的性质化简与分母有理化（选择填空题4题）【例题1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（）A．或 B．2或10 C．10 D．【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，，则a，b之间的数量关系是（）A． B． C． D．【变式2】（25-26九年级下·重庆·月考）若x满足，则的值为________．【变式3】（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________．【考点四】二次根式的四则混合运算考法：加减（合并同类二次根式）、乘除（运算法则）、公式结合运算【题型4】二次根式的加减运算（计算题4题）【例题1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：．【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式：（1）； （2）．【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算：（1）； （2）．【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（1）； （2）．【题型5】二次根式的乘除运算（计算题4题）【例题1】（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）计算：（1） （2）（）【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：（1）； （2）．【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：（1）； （2）；（3）； （4）．【题型6】二次根式的混合运算（计算题4题）【例题1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算：（1）； （2）．【变式1】（24-25八年级下·宁夏固原·月考）计算（1） （2）【变式2】（25-26八年级下·四川德阳·月考）计算：（1）； （2）；（3）； （4）【变式3】（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）计算题：（1）． （2）．（3）． （4）【考点五】二次根式大小比较考法：通过比较被开方数、化系数入根号、估算近似值、平方法、作差法等方法转化为可直接判断大小的形式。【题型7】二次根式的大小比较（选择填空题4题）【例题1】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________．【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：______（填）【考点六】二次根式化简求值考法：已知字母的值、条件式，化简二次根式代入求值【题型8】已知字母的值，化简求值（选择填空解答题4题）【例题1】（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（

）A．5 B．7 C．9 D．【变式1】（2025·全国·一模）已知，则__________．【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值．【变式3】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的：，，．请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题：（1）计算：；（2）化简：；（3）若，求的值．【题型9】已知条件式，化简求值（选择填空解答题4题）【例题1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______．【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：已知，，求的值．小迪同学是这样解答的：∵，∴．∵，∴．结合以上材料，解答问题：（1）化简：；（2）已知，求的值．【题型10】整体思想化简求值（解答题4题）【例题1】（24-25八年级下·广西玉林·期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：已知，（1）求代数式的值；（2）求代数式的值．【变式1】（21-22八年级下·山东泰安·期末）问题解决：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．迁移应用：已知，求代数式的值；【变式2】（22-23八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：.把作为整体代入：得即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知，求代数式的值；（2）已知，求代数式的值．【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料：已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法：解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得．这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下列问题：（1）若，求代数式的值；（2）若，求代数式的值．【考点七】二次根式的应用考法：应用主要集中在几何计算、实际生活求解、代数综合运算三大核心方向，同时也是后续函数、方程等知识的基础工具。【题型11】生产生活中的应用（填空解题题4题）【例题1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为__________．【变式1】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，．（1）求长方形广场的周长；（2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·月考）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．（1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【变式3】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长依次分别为2，2，，则的面积为（

）A． B． C． D．【题型12】几何证明计算的应用（选择填空解答题4题）【例题1】（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点P为边上一动点（点P不与点B，C重合），，垂足分别为点E，点F，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．4【变式1】（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，在中，，，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，若，的长为______．【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个长方体的体积为，高为，它的下底面是一个正方形．（1）如图1，求该长方体的下底面的边长；（2）若将该长方体的下底面按图2的方式放置在数轴上，顶点对应的数为，是数轴上的一点，若，求点表示的数．【变式3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）某城市规划局计划在一块平行四边形空地上建设智慧停车场．已知该平行四边形相邻两边长分别为米和米，且其中一条对角线与较短边的夹角为．（1）求该平行四边形的面积；（2）若在停车场内修建两条相互垂直，且宽为的充电桩通道，其中一条通道垂直于平行四边形的长边，求修建的充电桩通道的总面积．

期中检测必考题型（一）——运算化简求值（7大考点12类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u【知识储备】 1【考点一】二次根式有意义的条件 2【题型1】二次根式有意义的条件（选择填空题4题） 2【考点二】最简二次根式与同类二次根式 4【题型2】最简二次根式与同类二次根式判断与求值（选择填空题4题） 4【考点三】二次根式的基础化简 5【题型3】二次根式的性质化简与分母有理化（选择填空题4题） 5【考点四】二次根式的四则混合运算 7【题型4】二次根式的加减运算（计算题4题） 7【题型5】二次根式的乘除运算（计算题4题） 9【题型6】二次根式的混合运算（计算题4题） 13【考点五】二次根式大小比较 16【题型7】二次根式的大小比较（选择填空题4题） 16【考点六】二次根式化简求值 18【题型8】已知字母的值，化简求值（选择填空解答题4题） 18【题型9】已知条件式，化简求值（选择填空解答题4题） 20【题型10】整体思想化简求值（解答题4题） 23【考点七】二次根式的应用 27【题型11】生产生活中的应用（填空解题题4题） 27【题型12】几何证明计算的应用（选择填空解答题4题） 29【知识储备】1.二次根式：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数.2.最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.3.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简.（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.5.二次根式的性质：（1）；（2）；（3）；（4）.【考点一】二次根式有意义的条件考法：根据二次根式定义，确定自变量取值范围。【题型1】二次根式有意义的条件（选择填空题4题）【例题1】（25-26九年级下·四川成都·月考）使代数式有意义的的取值范围是（

）A．且 B． C． D．且【答案】A【分析】本题考查的是二次根式和分式有意义的条件，灵活运用二次根式的被开方数非负性、分式的分母不为零是解题的关键。根据二次根式有意义的条件得到，根据分式有意义的条件得到，进而求出的取值范围．解：代数式有意义，二次根式的被开方数满足，分母满足，解不等式得由得，的取值范围是且．故选：．【变式1】（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解．解：代数式有意义，，，且，则实数x的取值范围是且．【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知满足有意义，则点关于轴的对称点在第________象限．【答案】一【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，判断点所在的象限，根据二次根式有意义的条件，确定x的取值范围；再求出点P关于x轴的对称点的坐标，根据x的取值范围判断的横纵坐标的符号，从而确定所在象限即可．解：∵有意义，∴，解得：，点关于x轴的对称点的坐标为，即，∵，∴，，故点在第一象限．故答案为：一．【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）已知实数满足，则______．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，代数式求值，由了二次根式有意义的条件可得，即得，进而得到，即得到，再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．解：由题意可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【考点二】最简二次根式与同类二次根式考法：识别最简二次根式、判断同类二次根式。【题型2】最简二次根式与同类二次根式判断与求值（选择填空题4题）【例题1】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意.【变式1】（25-26九年级下·河南周口·月考）下列各数中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同类二次根式的定义判断．解：A、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B、，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意；C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．【答案】5【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键．根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可．解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同，则的最简形式为，其中为正整数，即，解得由为正整数，得，解得，则可取1，2，3，当时，；当时，；当时，因此的最小值为5，故答案为：5．【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么______．【答案】【分析】本题考查解一元一次方程，同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式，得到被开方数为，再令，完成求解．解：，与最简二次根式是同类二次根式，∴，解得：．故答案为：．【考点三】二次根式的基础化简考法：利用二次根式性质与分母有理化化简【题型3】二次根式的性质化简与分母有理化（选择填空题4题）【例题1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（）A．或 B．2或10 C．10 D．【答案】B【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可．解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去，∵时，和都满足，当时，，当时，，∴的值为2或10．【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，，则a，b之间的数量关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分母有理化，二次根式四则运算，熟练掌握利用分母有理化进行化简是关键．根据分母有理化将a化简，再计算，，的值，，即可得出答案．解：∵，∴A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．【变式2】（25-26九年级下·重庆·月考）若x满足，则的值为________．【答案】【分析】将变形得到，再整体代入计算即可．解：∵，∴，即，∴，∴，∵，∴．【变式3】（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________．【答案】//【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键．根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解．解：对于，分子和分母同乘以，得；对于，分子和分母同乘以，得；故答案为：；．【考点四】二次根式的四则混合运算考法：加减（合并同类二次根式）、乘除（运算法则）、公式结合运算【题型4】二次根式的加减运算（计算题4题）【例题1】（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．先分母有理化，再运用二次根式的性质化简，然后再计算即可．解：．【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可；（2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【分析】本题考查二次根式的加减，正确化简是解答的关键．（1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可；（2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（1）； （2）．【答案】（1）15；（2）【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、乘方、零次幂、负整数指数幂的运算，熟练掌握各类运算的法则和二次根式的化简是解题的关键．（1）先分别计算算术平方根、平方运算，再进行加减运算即可；（2）先分别计算乘方、零次幂、负整数指数幂和二次根式，再进行有理数的加减运算．解：（1）解：；（2）解：．【题型5】二次根式的乘除运算（计算题4题）【例题1】（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）计算：（1） （2）（）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先把带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，对系数与根号内的部分分别运算，最后通过有理化分母化简得到结果；（2）先将系数和根号内的部分分别进行乘除运算，再对根号内的分式进行化简，最后整理得到最简二次根式．解：（1）解：原式．（2）解：原式．【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：（1）； （2）．【答案】（1）6；（2）5【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．解：（1）解：；（2）解：．【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）15；（3）1；（4）【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可；（2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可；（3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可；（4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本题考查了二次根式的混合运算．（1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可；（2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可；（3）根据平方差公式计算即可；（4）先化简二次根式，再根据完全平方公式计算即可．解：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【题型6】二次根式的混合运算（计算题4题）【例题1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据二次根式的混合运算求解即可；（2）利用平方差公式，完全平方公式求解即可．解：（1）解：原式．（2）解：原式．【变式1】（24-25八年级下·宁夏固原·月考）计算（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则、平方差公式与完全平方公式，再进行化简与合并同类二次根式．（1）先利用二次根式的乘除运算法则分别计算乘除部分，再将结果化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；（2）先利用平方差公式和完全平方公式分别展开，再合并计算结果．解：（1）解：；（2）解：．【变式2】（25-26八年级下·四川德阳·月考）计算：（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可；（2）先去括号，然后计算加减法即可；（3）先化简二次根式，再计算括号内的减法，最后计算除法即可；（4）先化简二次根式，再计算乘除法即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【变式3】（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）计算题：（1）． （2）．（3）． （4）【答案】（1）；（2）4；（3）；（4）解：（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【考点五】二次根式大小比较考法：通过比较被开方数、化系数入根号、估算近似值、平方法、作差法等方法转化为可直接判断大小的形式。【题型7】二次根式的大小比较（选择填空题4题）【例题1】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系．解：，，，，．【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．解：，，，∵，∴，∴，故选：A．【变式2】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________．【答案】/【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案．解：∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：______（填）【答案】【分析】本题考查了分母有理化和无理数的大小比较，解题的关键是通过有理化消除分母中的无理数．通过分母有理化将转化为，再与比较大小即可得．解：=×===．比较和．，，，，∴，∴，，即．故答案为：．【考点六】二次根式化简求值考法：已知字母的值、条件式，化简二次根式代入求值【题型8】已知字母的值，化简求值（选择填空解答题4题）【例题1】（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（

）A．5 B．7 C．9 D．【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得．解：∵，∴，故选：B．【变式1】（2025·全国·一模）已知，则__________．【答案】0【分析】本题考查二次根式的运算，分式的求值，将分式变形后，代值计算即可．解：∵；∵，∴，∴原式；故答案为：0．【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将原式中的分子、分母因式分解，利用完全平方公式化简和二次根式的性质把原式化简，然后代入计算得到答案．解：，，原式，当时，原式．【变式3】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的：，，．请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题：（1）计算：；（2）化简：；（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）通过平方差公式完成分母有理化化简；（2）先将每一项分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果；（3）先对分母有理化，再将所求式子变形为完全平方，代入计算即可．解：（1）解：（2）解：原式（3）解：，，把代入得【题型9】已知条件式，化简求值（选择填空解答题4题）【例题1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解．解：∵∴∴，故选：B．【变式1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可．解：∵，∴且，解得．将代入原方程，得，∴．∴．故答案为：．【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键；将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可；利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可；利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可；解：（1）解：，，；（2）解：，，，，，；（3）解：，，，，，由知：，则，原式；【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：已知，，求的值．小迪同学是这样解答的：∵，∴．∵，∴．结合以上材料，解答问题：（1）化简：；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）2【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键．（1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式；（2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解．解：（1）解：．（2）解：设，，则，，而，，，，解得，即．【题型10】整体思想化简求值（解答题4题）【例题1】（24-25八年级下·广西玉林·期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：已知，（1）求代数式的值；（2）求代数式的值．【答案】（1）；（2）．【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用、二次根式的混合运算、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据完全平方公式求出，进而得出，然后代入计算即可；（2）由（1）可知，对代数式变形，再将整体代入可得出，然后代入x计算二次根式的加减运算即可．解：（1）解：∵，∴，∴，∴，∴（2）【变式1】（21-22八年级下·山东泰安·期末）问题解决：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．迁移应用：已知，求代数式的值；【答案】【分析】按照题中方法进行解答即可．解：∵，∴，则原式．【点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意运用整体思想．【变式2】（22-23八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：.把作为整体代入：得即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知，求代数式的值；（2）已知，求代数式的值．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；（2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可．（1）解：∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，即，∴，∴．【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料：已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法：解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得．这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下列问题：（1）若，求代数式的值；（2）若，求代数式的值．【答案】（1）；（2）2【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键．（1）先求出，进而得到，则，再把整体代入所求式子中求解即可；（2）先仿照题意求出，则，再把变形为，进一步变形为，由此可得答案．解：（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．【考点七】二次根式的应用考法：应用主要集中在几何计算、实际生活求解、代数综合运算三大核心方向，同时也是后续函数、方程等知识的基础工具。【题型11】生产生活中的应用（填空解题题4题）【例题1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为__________．【答案】4【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．解：∵两张正方形纸片面积分别为和，∴两张正方形纸片边长分别为和，∴剩余部分的面积，故答案为：．【变式1】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，．（1）求长方形广场的周长；（2）除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？【答案】（1）长方形广场的周长为；（2）购买地砖需要花费元【分析】（1）根据长方形周长公式求出广场周长；（2）用广场面积减去绿地面积得到铺地砖区域的面积，然后乘以地砖单价算出总花费．解：（1）解：根据题意，得．故长方形广场的周长为．（2）解：根据题意，铺地砖区域的面积为，故购买地砖的花费为（元）．【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·月考）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．（1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【答案】（1）电视背景墙的周长为；（2）整个电视背景墙需要花费元【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．解：（1）解：电视背景墙长方形的周长．答：电视背景墙的周长为．（2）解：长