平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减法运算的坐标表示平面向量的数乘运算及坐标表示3

6.&6J.3&6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示.

平面向量加减法运算的坐标表示、平面向量的数乘运算及坐标表示

【题型1对正角分解概念的理解与辨析】

1、（2019•高一课时练习）下列可作为正交分解的基底的是

A.等边三角形力灰、中的左和无

B.锐角三角形力及’中的左和北

C.以角A为直角的直角三角形神C中的衣和衣

D.钝角三角形/仍C中的左和％

【答案】C

【解析】选项A中，7函与灰的夹角为60°；

选项B中，刀与次的夹角为锐角；

选项D中，前与刀的夹角为锐角或钝角.故选项4人。都不符合题意.

选项C中，而与大的夹角为90。，故选项C符合题意.故选：C

2、（2022•全国•高一专题练习）向量方=（3）（。为原点）的终点A位于第二象限，则有（）

A.x>0,j>0B..r>0,y<0C.x<0,y〉0D.x<0,y<°

【答案】C

【解析】•・响量近=（"，），所以,又点A位于第二象限，

・..x<o,y>°.雕:c.

3、（2023・高一课时练习）平面直角坐标系内，。为坐标原点，若点力（3,5）,则向量方的向量

正交分解形式是___________.

【答案】1=37+5]

【解析】因为点力。,5）,所以刀=37+5/

故答案为：«=37+5]

4、（2020•高一课时练习）已；分别是方向与X轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，。为

坐标原点，设/=(/+x+l)7-(f7+l)7(xeR),则点A位于第象限

【答案】四

【解析】由题意得：^(-V+-v+l,-x2+x-l)

v.r2+x+l>0,-x2+.V-1<0，力位于第四象限

故答案为：四

5、在直角坐标系工0，中，向量)区)的方向如图所示，且，=2相=3,同=4,分别计算出它们的

坐标.

,c=(24,-2)

【解析】设”=(卬,生)石=他也),c=(G，j),

：

则4="cos45"=2x丁=6,a2=|a|sin45=2x—=Jl,

/)1=|^|cos120=3x1：(一)=~1，4=|同120：=3

c)=|(?|cos(-30)=4x—=2=f卜in(-30)=4xL—J=-2,

因此0=(V2t因),b=(~~),c=(2\/3,-2).

【题型2用坐标表示平面向量】

1、(2022・高一课时练习)已知力?=(1,3),且点4々5),则点8的坐标为()

A.(L8)B.(-1,8)C.(3,-2)D.(-3,2)

【答案】B

【解析】设点6的坐标为(苍力，则4A=(范),)-(-2,5)=(1,3),

所以«力=。，3)+(-2,5)=(-1,8),即点8的坐标为(-⑶.故选：B

2、已知用0，1),小3),向量近=(-2,-1),则向量前=()

A.(4,3)B.(-4,-3)C.(T3)D.(-3,4)

【答案】B

【解析】设c(w)

因为4(0,1),充=(-2,-1),

由向量的减法坐标运算可知冠=«"1)=(-2,-1),解得｛；二:，即C(-2,0),

又因为5(2,3),所以前=(-2,0)-(2,3)=(-4,-3)，故选B

3、已知力(2,0筋=(x+3,x-3y-5),若［刀，其中O为原点，求的值.

【答案】x=-\,y=-2;

【解析】由题意，。"=(2,0),因为a=3,

x+3=2二；，所以x=Tj=_2.

所以J

x-3^-5=0

4、(2022春天津宁河高-天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习衽平面直角坐标系中，

已知方=(1，2),当归绕原点逆时针旋转60。得到历,则赤的坐标为.

1一262+石)

【答案】(

【解析】设点A在角。的终边上，可得cos。半sin”第，

则点8在角e+q的终边上，坐标为(石cos(e+g,Air(e+g)

cos(^+y)=^y-X巫忠=区手、

525252

制呜)竿卜牙苧守

故答案为：(柠亘，守)

5、(2021春湖南•高一校联考期末)已知对任意的平面向量助=(。力)，把前绕其起点沿逆时

针方向旋转。角得到向量而=("COS°-6sin0,4sin°+6cos0)，叫着把点B绕点A沿逆时针方向旋

转。角得到点P.已知力。，2),川1-五，2+2匈，把点8绕点A沿顺时针方向旋转?得到点P，则

P的坐标为()

A.(1,3)B.(0,1)C.(2,5)D.(-1-3)

【答案】C

【解析】由力。，2),网1-©2+2拒),得方=(-立2&),

则由题意可得"=(-&COS(-?)-2J2sin(-^),-V2sin(-：)+2夜cos(-?))

，上x匹+2岳乌瓜旦2Ox9=(|,3)

(2222)

所以点。的坐标为(2,5)，故选：C

【题型3平面向量线性运算的坐标表示】

1、(2022春天津•高一统考期末)已知向量1=(-2,力心(1,-2),贝！()

A.(-1,-1)B.(-1,-2)C.(-2,-1)D.(-2,-2)

【答案】A

【解析】因为)=(-2,1),A=(1,-2),所以力=故选：A.

2、(2022春广西南宁•高一宾阳中学校考期末)B知向量＜；=(T2)》=(3,-5)则3工+涕等五)

A.(X-4)B.(0.-4)C.(3,6)D.(0,6)

【答案】A

【解析】31+2否=3(7,2)+2(3,-5)=(3,~4).故选：A

3、(2023•高一课时练习)已知点儿B的坐标分别为(-2,5),(1,4),若点尸满足后=一2万，

则点P的坐标为.

【答案】(4,3)

【解析】设解"),又；人B的坐标分别为(-2,5),(1,4)

万=-2而n(x+2,j，-5)=-2(l-x,4r),.”=4/=3,所以点P(4,3).

故答案为：(4,3)

4、(2022春福建福州•高一福州黎明中学校考期末)已知向量瓢石满足;(3,4),215=(7,?),

则3=.

【答案】(T1)

【解析】由已知可得办=21(2>*2(3,4)-(7,7)=(7」).

故答案为：(-1,1).

5、(2022・高一)设Nl，0),7=(0J),^=3H-4/,b=-^~j,则与B的坐标分别为

【答案】(2,5),(4,3)

【解析】因为片(1，0),>(04),上37+4],b=-H-j,

所以『3"4j=g4),b=-iVj=(-\,1)

所以箱=(2,5),a-^=(4,3).

故答案为：(2,5),(4,3)

【题型4线段的定比分点问题】

1、(2022春山西运城高一统考期中)已知肛-2,5),N(10,-l),点尸是线段MN的一个三等分

点且靠近点M,则点P的坐标为.

【答案】(2,3)

【解析】由题可知诉=3诉，

设夕(xj),贝砺=(12,-6),标=(x+2,j，一5),3赤=I：3X+6,3J，-15),

.3x+6=12

,*[3y-15=-6=仁;…)・

2、(2022春湖北•高一宜昌市夷陵中学校联考期中)已知在平面直角坐标系中，点用0,1)出(2,5),

当P是线段弋A靠近匕的一个四等分点时，点P的坐标为.

【答案】(1,2)

【解析】因为尸是线段46靠近4的一个四等分点，

所以联［质,设P(2),

.K=；X2［__1_

则有(xj—l)=Z(2,4)n4=X=5=P0,2：

1=；x4|y=22

3、(2022春河北保定•高二河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习)若4(L3),由4、0)且/，是

线段3的一个三等分点，则点F的坐标为()

A.(2,1)B.(2,2)C.(3J)D.(3,2)

【答案】BC

【解析】由题意，辟="根或7=：亚，

由于根=(3,-3),设P("),则9=(X-1,J，-3)

则当时，(x-l,y-3)=；(3,-3“.x=2,j，=2，即P(2⑵；

9=1近时,(X-1,J-3)=1(3,-3),/..V=3,J=1,即P(3,l);故选：BC

4、(2022春山东枣庄高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习)已知两点出2,-1),6(-1,3),

点P在直线66上,且满足I相1=：1巫I,则点尸的坐标为.

【答案】8)或(8,一9)

【解析】若点。在线段"4的反向延长线上，又因为|己尸|=白尸鸟］,

___2________

则有用＞=一严,设尸(."),则■=(x-2,y+l),%=(-lT,3-y),

•■2=一|(一1一力rx=8

所以；，解得g，即尸他-9);

y+i=J(3-y)1—9

若点。在线段66上，又因为I9|=金配I,则有取q形

JJ

设尸(x,力,则肝=(x-2j+l)质=(—-),

X-2=—(-1-x)x=—

所以2，解得3

y+i=§(3_y)

__2__

若点尸在线段66的延长线上，又因为修口=亨〃6],则显然不成立;

故答案为：6[)或(&-9).

【题型5用坐标解决向量共线问题】

1、(2022春天津静海高一校考期中)下列各组向量中，能作为基底的是()

A.e,=(0,0),e2=(1.1)B.q=(l，2),e2=(-2,1)

,34-._

c.q=(3,4),e,=(-,-)D.e1=(2,6),e,=(h3).

【答案】B

【解析】A,因为零向量与任何非零向量共线，故不能作为基底；

B.因为4=(12),]=(-2,1)不共线,故能作为基底；

一一？4

C.因为0=(-3,4),共线,故不能作为基底；

JJ

D.因为1=(2,6),-=(-1,-3)共线,故不能作为基底；故选：B

2、(2022春北京•高一清华附中朝阳学校校考阶段练习已知向量2=(1,2)/=(-1,2)那么与215

共线的一个向量是()

A.(6,4)B.(4,6)C.(0,4)D.(l,6)

【答案】A

【解析】由题设,2力=(2,4)-(-1,2)=(3,2),显然(6,4)=2(3,2)=2(2]"，A正确，

对于B、C、D,不存在2GR使坐标所对应的向量等于故选：A

3、已知向量1=(2,3)/；=(./一356),且,贝打=.

【答案】T或4

【解析】因为，所以2x6-3：＜卜2一3、)=。，解得尸_1或4.

故答案为：-1或4.

4、(2022•全国高一假期作业)已知向量£=(3/),B=(1,-2),且日-6//储+〃而,则实数胆的值

()

93

A,-B.1C.--D.-1

48

【答案】D

【解析】•；=(3,1)[=(1,-2)

:.a-b=(2,3),a+mb=(3,1)+(叫-2〃。=(3+mt\-2m)

^(a-b)//(a+mb),2x(l-2m)-3x(3+m)=0,解得川=-1，故选:D

5、(2022春•陕西西安・高一统考期末)已知向量£=(1㈤石=亿2)，若(力即恒-可，则*.

【答案】土&

【解析】因为向量"=(1/)石=(%，2)，可得a+g=(l+4,2+2),a-刃=(1-4"-2),

又因为6+5)〃(【石),可得(1+2)("2)-(2+2)(|_2)=0,

解得解=2,可得7=±VL

【题型6用坐标解决三点共线问题】

1、设。；4=(2,-1),O%=(3,0),OC=(/«,3),若4民。三点能构成三角形，则实数〃?的取值范围

是.

【答案】{必"6}

【解析】・・・4民。三点能构成三角形，・・.力力，北不共线.

又：崩=(1,1),AC=(m-2,4),

/.lx4-lx(w-2)*0.解得〃?=6.

・•・〃?的取值范围是{，山"6}.

2、(2021春•山东泰安高一校联考阶段练习)已知向量3=(T1),无=(1,-2)碇=(x-6,x+，,

若点力，8,C能构成三角形，则工的值不可以为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由题意：儿=(4,-3),命=(x-7,x+7),

若点4RC三点共线,则4(x+7)+3(x-7)=0,解得--1,

所以X的值不可以为-L故选：B.

3、(2022・高一课时练习)向量苏=伏［2),而=(4,5),正=(10阳.若48,。三点共线,则A的

值为()

A.-2B.1C.-2或11D.2或-II

【答案】C

【解析】由题可得：而=苏-而=(储2)-(4,5)="4,7),

CA=PA-PC=(k,12)-(lOJc)=(k-10,12-k).

因为4伉。三点共线，所以而〃品,

所以(&-4)(12T)-7("I0)=0,整理得严-9"22=0,解得％=-2或A=11.故选：C.

4、(2022春湖南长沙•高一长郡中学校考期末)已知题，〃,0)4(0,，且4仇。三点共线,

则吁()

3232

A.—B.-C.--D.--

【答案】A

【解析】由解叫0)在(0,1),C(3,-1),得而=(一肛1),而=(3,-2),

因为4法。三点共线，所以万"死,即(0)x(-2)-1x3=0,解得，2*

所以切4.故选：4

5、(2022春全国•高一期末)已知刘=(-1,3),农=(2,-2),而=(a+l,2a),若8、C、。点共线,

则实数〃的值为()

A-2B-7C--TD.$

【答案】D

【解析】根据题意,已知荏=(T3),AC=(2-2),则而=加而=(3,-5),

若8、C、。点共线，H11BC//BD,则有3x2L("])，解得：…得，故选：D.

【题型7用向量坐标解决几何问题】

1、(2021高一)(多选)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是才(3,7)向4,6),。(1,-2).则第

四个顶点的坐标为()

A.(0,-1)B.(6,15)C.(2,-3)D.(2,3)

【答案】ABC

【解析】第四个顶点为。EV),

当而=及时，"-3,)，-7)=(-3,-8),解得-0,尸-1,此时第四个顶点的坐标为(0「1);

当而=而时,(x-3,y-7)=(3,8),解得x=6/=15,此时第四个顶点的坐标为(6,15);

当而=而时，(3)=(-),解得x=2,y=-3,比时第四个顶点的坐标为(2,-3).

・••第四个顶点的坐标为。T)或(6,15)或(2,-3).故选：,48C

2、已知点小4,5),6(1,2),0(12,1),0(11,6)，试用向量的方法求力C与4。的交点坐标.

【答案】(6,4)

【解析】设/C与4。的交点夕的坐标为(2),则通=(-—4,广5),BP=(x-\yy-2),

因为而与前共线，元=(8T).

所以-4(x-4)-8(尸5)=0,即x+2y-14=0,

因为丽与丽共线，丽=(10.4),

所以4(*1)10&2)=0,即2x5,yI8-0.解得x-6,y-4.

故交点坐标为(6,4),

3、(2022春河北邯郸高一校联考期中)已知平面向量4=(2,-1),^=(3,-3),<,

BC=M+24,CD=-4ej+2e2,且力，C,。三点共线.

(1)求丽的坐标；

(2)已知。(2,-1)，若A,B,D,E四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点E的坐标.

【答案】(1)(-]4,1);(2)(-5,7)

【解析】(1)因为4=(21),1(3,-3),所以不与「不共线,

即♦与I可以作为平面内的一组基底，

因为而=-《+3己,而=痴+2可

所以4C=44+4C=(九一1)q+50，又CQ=-4q+2e2,

因为A,C,。三点共线，所以