模型42 单、多角平分线模型（原卷版）

模型介绍

模型一、角平分线垂两边

模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形

模型四、利用角平分线作对称模型五、内外模型

例题精讲

考点一：角平分线垂两边模型

【例1].如图，已知在四边形4BCZ）中，ZBCD=90°,BD平分/ABC,AB=6,BC=9,CO=4,则四

边形ABC。的面积是

》变式训练

【变式1T】.如图，已知：Zfl=ZC=90°,M是灰?的中点，0M平分N4OC.

求证：（1）AM平分NQA伙

⑵AD=AB+CD.

【变式1-2].已知：如图所示，点P为的平分线上一点，PC_LO4于C,NOAPi180°,

求证：OA+OB=2OC.

考点二:角平分线垂中间模型

[例2].如图，8D是△ABC的角平分线，AE1BD,垂足为F.若N/WC=35°,ZC=50°,则NCOK

狗度数为

D

BEC

》变式训练

【变式27].如图，已知，ZBAC=90°,AB=AC,3。是NH8C的平分线，且CE_L4。交8。的延长线

于点E.求证：BD=2CE.

【变式2-2].如图，在△48C中，NA3C=3NC,平分N8AC,4E_LAO于E,求证：HE=—(AC-

2

AB).(提示：延长8E交AC于点Q.

B

D

考点三：角平分线+平行线构造等腰三角形

【例3].如图，在RtZ^ABC中，CM平分乙4cB交A8于点M,过点M作MN〃BC交AC于点、N,且MN

平分NAMC,若AN=1,则8C的长为

》变式训练

【变式37].如图，在△A8C中，NA8C和NAC8的平分线交于点£,过点£作MN〃8c交A8于M,交

AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为

【变式3-2].(1)加图△AAC中,BD、分别平分N4NCZACB,过点。作EF〃AC交44、4c于点

E、尸，试说明3E+CF=E/的理由.

(2)如图，△ABC中，BD、CZ)分别平分N48C,N4CG,过。作E尸〃BC交AB、AC于点£：、凡则

BE、CF.E尸有怎样的数量关系？并说明你的理由.

D

B

C

考点四：利用角平分线作对称

【例4】.如图，在△A8C中，N8=2NC，N8AC的角平分线交BC于D.

求证：AB+BD=AC.

》变式训练

【变式47].如图，在中，NABC=60°,AD.CE分别平分NMC、NACB,求证：AC=AE+CD.

A

BD

【变式4-2].如图，已知△ABC中，AB=AC>ZA=100°,8。平分NABC,求证：BC=BD+AD.

【变式4-3].如图，ZXABC中，八。是N84C的平分线，E、尸分别为AB、4C上的点，连接DE、DF,Z

EDF+ZBAC=180°.求证：DE=DF.

E

BD

□实战演练

I.已知,N8OC=5U°,(JI)是NAOH的角平分线，OE是N8OC的角平分线，则

2.(1)如图①在△ABC,ZC=90°,AD平分NC48,BC=6cnhBD=4cmf那么点D到AB的距离是cm

(2)如图②，已知N1=N2,

国①图②

3.如图，已知在5c中，BE、CO分别是N48C、/ACB的平分线，BE、CD相交于点/,且8£>+CE=

BC.求NA的度数.

4.如图，在AABC中，BD,C。分别平分NABC和NAC8,DE//AB,DF//AC.若8c=6,则△/)£/的

周长为______

5.如图，已知AO〃8C,N%8的平分线与NC84的平分线相交于E,CE的连线交4P于。.求证：AD+BC

=AB.

.4R

6.如图，在Rt△人8c中，NA8c=90。，CO平分NAC8交AB于点。，OE_L4C于点E,BF〃DE交CD

于点F.求证：DE=BF.

B

7.如图，已知等腰直角三角形46C中，/A=90°,AB=AC,8。平分N48C,CELBD于点、E,若ABCD

的面积为16,则B。的长为（）

C.6D.4

8.如图，在△A8C中，A。是N84C的外角平分线，〃是AO上异于点A的任一点，试比较P8+PC与A8+AC

的大小，并说明理由.

BD

10.如图，BD、CD分别平分N"C、NACB,过点。作直线分别交回、AC于点七、F,若AE=",BE

=4,CF=2,回答下列问题：

(1)证明：ED=FDx

(2)试找出N8DC与NA的数量关系，并说明理由;

(3)求EF的长.

11.感知：如图1,4D平分/A4C./B+/C=180°,/B=90°,易知：DB=DC.

探究：如图2,人。平分NB/1C,N48O+NACO=180°,Z/ABD<90°,求证：DB=DC.

应用：如图3,四边形/WCO口，N8=45°,ZC=135°,DB=DC=a,则AB-AC=（用含〃

的代数式表示)

探究:

12.如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O,点。在CA的延长线上，且AO=AO,CB=CD,连

接BD.

(1)求证：ZOBD=ZODB；

(2)若N8AC=80°,求NAC8的长度.

13.(1)如图①，在中，ZC=90°,N8=45°,AD平分NH4C,交BC于点、D.如果作辅助线

DEtAB于点E,则可以得到AC、CD、A一三条线段之间的数最关系为A8=AC+CQ；

(2)如图，△4NC中，ZC=2ZB.4Q平分NZMC,交BC于点、D.(1)中的结论是否仍然成立？若

不成立，试说明理由；若成立，请证明.

14.如图①，AB=AC,8。平分NA8C,CO平分NAC8.

（1）①图中有哪几个等腰三角形？如图②，若过。作E/〃BC交力8于点E,交AC于点F,则图②比

图①增加了几个等腰三角形？

（2）如图③，若4BWACH8C,其他条件不变，则该图中有哪几个等腰三角形？请直接写出线段E